УДК 517.9
MSC: 35Q30, 76D05, 76T10, 76T15
DOI: 10.21538/0134-4889-2025-31-4-214-229
Рассмотрена экстремальная (вариационная) задача на минимум некоторого функционала невязки. Экстремальная задача является вариационной формулировкой обратной задачи о нахождении коэффициента температуропроводности в модели стационарной диффузии-адвекции-реакции. Исходной информацией для решения обратной задачи являются результаты измерения следа нормальной производной от решения соответствующей краевой задачи для этой модели на границе функционирования модели. Функционал невязки представляет собой разность между нормальными производными моделируемого и наблюдаемого состояниями модели в метрике отрицательного пространства Соболева на границе области функционирования модели. Предварительно доказывается некоторое утверждение о существовании и единственности следа нормальной производной от решения в отрицательном пространстве Соболева дробного порядка на границе, позволяющее корректно поставить обратную задачу и ее вариационную формулировку. Исследуются различные аспекты экстремальной задачи. Показано, что множество точек минимума в вариационной задаче может оказаться пустым. Приведены также некоторые условия разрешимости вариационной задачи, когда множество точек минимума непусто. Указаны некоторые необходимые условия единственности минимизирующего элемента. Сформулированы понятия слабой и сильной корректности экстремальной задачи. Сильная корректность влечет слабую, указаны некоторые условия сильной корректности. Приведены примеры задач, в которых отсутствуют и сильная, и слабая корректности задачи; имеет место слабая, но не сильная корректность. Сформулированы необходимые условия минимума функционала невязки в специальной задаче.
Ключевые слова: уравнение диффузии-адвекции-реакции, коэффициент температуропроводности, обратная задача, функционал невязки, экстремальная задача, вариационный метод, точка минимума
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Гидродинамика. М.: Наука, 1986. 736 с.
2. Chandrasekhar S. Hydrodynamic and hydromagnetic stability. Oxford: Clarendon Press, 1961. 652 p. https://doi.org/10.1017/S0022112062210592
3. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1979. 288 с.
4. Иванов В.К., Васин В.В., Танана В.П. Теория линейных некорректных задач и их приложения. М.: Наука, 1978. 206 с.
5. Кабанихин С.И. Обратные и некорректные задачи. Новосибирск: Сиб. науч. изд-во, 2009. 457 с.
6. Самарский А.А., Вабищевич П.Н. Численные методы решения обратных задач математической физики. М.: УРСС, 2004. 480 с.
7. Алексеев Г.В. Задачи управления для стационарных моделей тепломассопереноса и магнитной гидродинамики. М.: Наука, 2007. 292 с.
8. Алексеев Г.В., Терешко Д.А. Анализ и оптимизация в гидродинамике вязкой жидкости. Владивосток: Дальнаука, 2008. 365 с.
9. Короткий А.И., Цепелев И.А., Исмаил-Заде А.Т. Ассимиляция данных о свободной поверхности потока жидкости для нахождения ее вязкости // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2022. Т. 28, № 2. С. 143–157. https://doi.org/10.21538/0134-4889-2022-28-2-143-157
10. Короткий А.И., Цепелев И.А. Ассимиляция граничных данных для восстановления коэффициента поглощения в модели стационарной реакции-конвекции-диффузии // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2023. Т. 29, № 2. С. 87–103. https://doi.org/10.21538/0134-4889-2023-29-2-87-103
11. Ладыженская О.А. Математические вопросы динамики вязкой несжимаемой жидкости. М.: ФМ, 1961. 203 с.
12. Ладыженская О.А., Уральцева Н.Н. Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа. М.: Наука, 1973. 576 с.
13. Grisvard P. Elliptic problems in nonsmooth domains. Boston, London, Melbourn: Pitman Advanced Publishing Program, 1985. 410 p.
14. Adams R.A. Sobolev spaces. NY: Acad. Press, 1975. 268 p.
15. Михайлов В.П. Дифференциальные уравнения в частных производных. М.: Наука, 1976. 392 с.
16. Михлин С.Г. Линейные уравнения в частными производными. М.: Высшая школа, 1977. 432 с.
17. Обэн Ж.-П. Приближенное решение эллиптических краевых задач. М.: Мир, 1977. 384 с.
18. Треногин В.А. Функциональный анализ. М.: Физматлит, 2002. 448 с.
19. Васильев Ф.П. Методы оптимизации. М.: Факториал Пресс, 2002. 824 с.
20. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука, 1972. 496 с.
Поступила 10.10.2025
После доработки 23.10.2025
Принята к публикации 27.10.2025
Короткий Александр Илларионович
д-р физ.-мат. наук, профессор
зав. отделом
Институт математики и механики им. Н.Н. Красовского УрО РАН
г. Екатеринбург
e-mail: korotkii@imm.uran.ru
Ссылка на статью: А.И. Короткий. Ассимиляция нерегулярных граничных данных при восстановлении коэффициентов моделей // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2025. Т. 31, № 4. С. 214-229
English
A.I. Korotkii. Assimilation of irregular boundary data in recovering model coefficients
An extremal (variational) problem for minimizing a certain residual functional is considered. The extremal problem is a variational formulation of the inverse problem of finding the thermal diffusivity in a steady-state diffusion-advection-reaction model. The initial information for solving the inverse problem is the results of measuring the trace of the normal derivative of the solution to the corresponding boundary value problem for this model at the model’s operating boundary. The residual functional is the difference between the normal derivatives of the simulated and observed states of the model in the metric of negative Sobolev space at the boundary of the model’s operating domain. A preliminary assertion is proved regarding the existence and uniqueness of the trace of the normal derivative of the solution in fractional-order negative Sobolev space at the boundary, allowing for a correct formulation of the inverse problem and its variational formulation. Various aspects of the extremal problem are investigated. It is shown that the set of minimum points in the variational problem may be empty. Some conditions for the solvability of a variational problem are also presented when the set of minimum points is nonempty. Some necessary conditions for the uniqueness of a minimizing element are indicated. The concepts of weak and strong well-posedness of an extremal problem are formulated. Strong well-posedness implies weak well-posedness, and some conditions for strong well-posedness are indicated. Examples of problems in which both strong and weak well-posedness of the problem are absent are given; weak but not strong well-posedness exists. Necessary conditions for the minimum of the residual functional in a special problem are formulated.
Keywords: diffusion–advection–reaction equation, thermal diffusivity coefficient, inverse problem, residual functional, extremal problem, variational method, minimum point
Received October 10, 2025
Revised October 23, 2025
Accepted October 27, 2025
Alexander Illarionovich Korotkii, Dr. Phys.-Math. Sci., Prof., Krasovskii Institute of Mathematics and Mechanics of the Ural Branch of the Russian Academy of Sciences, Yekaterinburg, 620108 Russia, e-mail: korotkii@imm.uran.ru
Cite this article as: A.I. Korotkii. Assimilation of irregular boundary data in recovering model coefficients. Trudy Instituta Matematiki i Mekhaniki UrO RAN, 2025, vol. 31, no. 4, pp. 214–229.
