УДК 512.579+512.577+512.534.2
MSC: 20N02, 20М30
DOI: 10.21538/0134-4889-2025-31-4-230-246
Работа выполнена в рамках исследований, проводимых в Красноярском математическом центре при финансовой поддержке Министерства науки и высшего образования Российской Федерации (Соглашение № 075-02-2025-1790).
Изучаются антиэндоморфизмы произвольного $n$-группоида (т. е. алгебраической системы с единственной операцией, которая является $n$-арной операцией). Строятся биполярные классификации антиэндоморфизмов произвольного $n$-группоида с индексом $j$, где $j$ — это произвольное натуральное число меньше либо равное $n$. Данные классификации антиэндоморфизмов обобщают биполярную классификацию антиэндоморфизмов обычного группоида (т. е. $2$-группоида). Устанавливается связь между биполярными типами антиэндоморфизмами (в биполярной классификации с индексом $j$) в паре изоморфных $n$-группоидов. Получены формулы вычисления биполярного типа произвольного антиэндоморфизма. Строятся полугруды (т. е. $3$-группоиды с условием косо-ассоциативности) антиэндоморфизмов, которые состоят из антиэндоморфизмов одного смешанного биполярного типа.
Ключевые слова: группоид, $n$-группоид, антиэндоморфизм, биполярная классификация антиэндоморфизмов, биполярный тип антиэндоморфизма
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Щучкин Н.А. Гомоморфизмы из бесконечных полуциклических $n$-групп в полуабелеву $n$-группу // Чебышев. сб. 2021. Т. 22, № 1. С. 340—352
2. Щучкин Н.А. Эндоморфизмы полуциклических $n$-групп // Чебышев. сб. 2021. Т. 22, № 1. С. 353—369.
3. Щучкин Н.А. Конечно порожденные абелевы $n$-группы // Фундамент. и прикл. математика. 2023. Т. 24, № 4. С. 217 — 237.
4. Гальмак А.М. Степени элементов в $l$-арных группах специального вида. III // Проблемы физики, математики и техники. 2023. Т. 57, № 4. С. 60–63.
5. Гальмак А.М. Степени элементов в $l$-арных группах специального вида. II // Проблемы физики, математики и техники. 2023. Т. 56, № 3. С. 38–43.
6. Давидов С.С. О структуре медиальных делимых $n$-арных группоидов // Мат. заметки. 2018. Т. 104, № 1. С. 33–44. https://doi.org/10.4213/mzm11372
7. Давидов С.С. Свободные коммутативные медиальные $n$-арные группоиды // Дискрет. математика. 2015. Т. 27, № 1. С. 34–43. https://doi.org/10.4213/dm1313
8. Давидов С.С. О разрешимости эквациональной теории коммутативных медиальных $n$-арных группоидов // Дискрет. математика. 2013. Т. 25, № 1. С. 33–44. https://doi.org/10.4213/dm1225
9. Черемушкин А.В. Медиальные cильно зависимые $n$-арные операции // Дискрет. математика. 2020. Т. 32, № 2. С. 112–121. https://doi.org/10.4213/dm1610
10. Решетников А.В. О частичных $n$-арных группоидах, у которых каждое отношение эквивалентности является конгруэнцией // Чебышев. сб. 2016. Т. 17, № 1. С. 232–239.
11. Решетников А.В. О конгруэнциях частичных $n$-арных группоидов // Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер.: Математика. Механика. Информатика. 2016. Т. 11, № 3. С. 46–51. https://doi.org/10.18500/1816-9791-2011-11-3-2-46-51
12. Щучкин Н.А. Применение тернарных квазигрупп к преобразованию слов // Дискрет. математика. 2024. Т. 36, № 2. С. 132–143.
13. Черемушкин А.В. Теорема Поста для сильно зависимых $n$-арных полугрупп // Дискрет. математика. 2019. Т. 31, № 2. С. 152—157. https://doi.org/10.4213/dm1553
14. Rattana A., Chinram R. Applications of neutrosophic $n$-structures in $n$-ary groupoids // Eur. J. Pure Appl. Math. 2020. Т. 13, № 2. С. 200—215.
15. Гальмак А.М. О не $n$-полуабелевости полиадических группоидов специального вида // Проблемы физики, математики и техники. 2019. Т. 38, № 1. С. 31—39.
16. Литаврин А.В. О поэлементном описании моноида всех эндоморфизмов произвольного группоида и одной классификации эндоморфизмов группоида // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2023. Т. 29, № 1. С. 143—159. https://doi.org/10.21538/0134-4889-2023-29-1-143-159
17. Litavrin A. On anti-endomorphisms of groupoids // Изв. Иркут. гос. ун-та. Сер. Математика. 2023. Т. 44. P. 82—97. https://doi.org/10.26516/1997-7670.2023.44.82
18. Ayoubi M., Zeglami D. D’Alembert’s functional equations on monoids with an anti-endomorphism // Results Math. 2020. Vol. 75, art. no. 74. https://doi.org/10.1007/s00025-020-01199-z
19. Ayoubi M., Zeglami D. A variant of D’Alembert’s functional equation on semigroups with an anti-endomorphism // Aequat. Math. 2022. Vol. 96, no. 74. P. 549–565. https://doi.org/10.1007/s00010-021-00836-4
20. Ayoubi M., Zeglami D. D’Alembert’s $\mu$-matrix functional equation on groups with an anti-endomorphism // Mediterr. J. Math. Vol. 2022. Vol. 19, art. no. 219. https://doi.org/10.1007/s00009-022-02129-9
21. Литаврин А.В. Интегральная классификация эндоморфизмов произвольной алгебры с конечноарными операциями // Изв. Иркут. гос. ун-та. Сер. Математика. 2024. Т. 63, № 1. С. 58–76. https://doi.org/10.33048/alglog.2024.63.105
22. Litavrin A. On the bipolar classification of endomorphisms of a groupoid // Журн. Сиб. федерал. ун-та. Сер. Математика и физика. 2024. Т. 17, № 3. С. 378–387.
23. Вагнер В.В. Псевдополугруды и полугруппы с преобразованием // Извю вузов. Математика. 1973. Т. 131, № 4. С. 8–15.
Поступила 7.09.2025
После доработки 16.10.2025
Принята к публикации 20.10.2025
Литаврин Андрей Викторович
канд. физ.-мат. наук, доцент
доцент кафедры высшей математики №2
Институт математики и фундаментальной информатики
Сибирский федеральный университет
г. Красноярск
e-mail: anm11@rambler.ru
Ссылка на статью: А.В. Литаврин. Об антиэндоморфизмах ${n}$-группоидов // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2025. Т. 31, № 4. С. 230-246
English
A.V. Litavrin. On anti-endomorphisms of $n$-groupoids
We study the anti-endomorphisms of an arbitrary $n$-groupoid (i.e., an algebraic system with a single operation, which is an $n$-ary operation). We construct bipolar classifications of the anti-endomorphisms of an arbitrary $n$-groupoid with index $j$, where $j$ is an arbitrary natural number less than or equal to $n$. These classifications of anti-endomorphisms generalize the bipolar classification of anti-endomorphisms of an ordinary groupoid (i.e., a $2$-groupoid). We establish a relationship between bipolar anti-endomorphism types (in the bipolar classification with index $j$) in a pair of isomorphic $n$-groupoids. We obtain formulas for calculating the bipolar type of an arbitrary anti-endomorphism. Semi-heaps (i.e. $3$-groupoids with the skew-associativity condition) of anti-endomorphisms are constructed, which consist of anti-endomorphisms of one mixed bipolar type.
Keywords: groupoid, $n$-groupoid, anti-endomorphism, bipolar classification of anti-endomorphisms, bipolar type of anti-endomorphism
Received September 7, 2025
Revised October 16, 2025
Accepted October 20, 2025
Funding Agency: This work is supported by the Krasnoyarsk Mathematical Center and financed by the Ministry of Science and Higher Education of the Russian Federation (Agreement no. 075-02-2025-1790).
Andrey Viktorovich Litavrin, Cand. Sci. (Phys.-Math.), Institute of Mathematics and Fundamental Informatics of Sib. Federal. Univer., Krasnoyarsk, 660041 Russia, e-mail: anm11@rambler.ru
Cite this article as: A.V. Litavrin. On anti-endomorphisms of $n$-groupoids. Trudy Instituta Matematiki i Mekhaniki UrO RAN, 2025, vol. 31, no. 4, pp. 230–246.
