УДК 517.925.51, 531.36
MSC: 34A45, 70K99
DOI: 10.21538/0134-4889-2025-31-4-188-202
Работа выполнена при финансовой поддержке Министерства науки и высшего образования РФ в рамках реализации программы регионального Азово-Черноморского математического центра по соглашению № 075-02-2025-1620.
Рассматривается упрощенная модель синхронного электромотора, которая описывается не содержащим электрических токов дифференциальным уравнением второго порядка, нелинейным относительно угловой неизвестной и линейным относительно ее производной по времени. Это уравнение играет роль эталонного в разработанном Г.А. Леоновым методе нелокального сведения, который дает условия, когда глобальная устойчивость многомерной автономной фазовой системы дифференциальных уравнений с одной угловой неизвестной следует из глобальной устойчивости одного такого уравнения. При этом используется то обстоятельство, что в случае глобальной устойчивости такого уравнения к каждой его седловой точке в ее четвертом квадранте примыкает сепаратриса, уходящая на минус бесконечность, когда угловая переменная стремится к плюс бесконечности. В настоящей работе для таких неограниченных сепаратрис найдены области их монотонности и немонотонности и получены двусторонние нелинейные и линейные аналитические оценки.
Ключевые слова: модель синхронного электромотора, неограниченная сепаратриса, критическое значение, глобальная устойчивость, метод нелокального сведения
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Гелиг А.Х., Леонов Г.А., Якубович В.А. Устойчивость нелинейных систем с неединственным состоянием равновесия. М.: Наука, 1978. 400 с.
2. Барбашин Е.А., Табуева В.А. Динамические системы с цилиндрическим фазовым пространством. М.: Наука, 1969. 300 с.
3. Леонов Г. А. Фазовая синхронизация. Теория и приложения // Автоматика и телемеханика. 2006. № 10. С. 47–85.
4. Копылов И. П. Математическое моделирование электрических машин: 3-е изд. М.: Высшая школа, 2001. 607 с.
5. Леонов Г.А., Зарецкий А.М. Глобальная устойчивость и колебания динамических систем, описывающих синхронные электрические машины // Вестн. СПбГУ. Сер. 1. 2012. Вып. 4. С. 18–27.
6. Коносевич Б.И., Коносевич Ю.Б. Об устойчивости стационарных движений гироскопа в кардановом подвесе, снабженного электродвигателем // Изв. РАН. Механика твердого тела. 2013. № 3. С. 57–73.
7. Леонов Г. А. Второй метод Ляпунова в теории фазовой синхронизации // Прикл. математика и механика. 1976. Т. 40, № 2. С. 238–244.
8. Коносевич Б.И., Коносевич Ю.Б. Достаточное условие глобальной устойчивости модели синхронного электромотора при нелинейном моменте нагрузки // Вестн. СПбГУ. Математика. Механика. Астрономия. 2018. Т. 5 (63), № 1. С. 74–85.
9. Tricomi F. Integrazione di unequazione differenziale presentasi in electrotechnica. Annali della Roma Schuola Normale Superiore de Pisa. 1933. Vol. 2, no. 2. P. 1–20.
10. Андронов А.Ф., Витт А.А., Хайкин С.Э. Теория колебаний. М.: Наука, 1981. 568 с.
11. Коносевич Б.И., Коносевич Ю.Б. Компьютерный анализ дифференциального уравнения модели синхронного электромотора, не содержащей электрических токов // Вестн. СПбГУ. Математика. Механика. Астрономия. 2023. Т. 10 (68), № 3. С. 499–515. https://doi.org/10.21638/spbu01.2023.305
12. Коносевич Б.И., Коносевич Ю.Б. Пять способов аппроксимации критических значений коэффициента демпфирования в бестоковой модели синхронного электромотора // Вестн. СПбГУ. Математика. Механика. Астрономия. 2025. Т. 12 (70), № 2. С. 377–392. https://doi.org/10.21638/spbu01.2025.213
13. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т. 1. Изд. 6. М.: Наука, 1966. 608 с.
Поступила 14.10.2025
После доработки 28.10.2025
Принята к публикации 3.11.2025
Коносевич Борис Иванович
д-р физ.-мат. наук,
ФГБНУ “Институт прикладной математики и механики”
г. Донецк
e-mail: ipmm_mtt@mail.ru
Коносевич Юлия Борисовна
канд. физ.-мат. наук
ФГБНУ “Институт прикладной математики и механики”
г. Донецк
e-mail: konos.donetsk@yandex.ru
Ссылка на статью: Б.И. Коносевич, Ю.Б. Коносевич. Оценки неограниченных сепаратрис дифференциального уравнения бестоковой модели синхронного электромотора // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2025. Т. №1, № 4. С. 188-202
English
B.I. Konosevich, Yu.B. Konosevich. Estimates of the unbounded separatrices of the differential equation of the current-free model of a synchronous motor
We consider a simplified model of a synchronous electric motor described by a second-order differential equation which is nonlinear with respect to the angular unknown, is linear with respect to its time derivative, and does not include electric currents. This equation plays the role of etalon equation in Leonov’s nonlocal reduction method which gives conditions where the global stability of such an equation implies the global stability of a multidimensional phase ODE system. It is exploiting in the reduction method that in the case of global stability of this equation, there exists an unbounded separatrix of each saddle point in its fourth quadrant. In the present work, regions of monotonicity and non-monotonicity are found for these unbounded separatrices and two-sided linear and nonlinear estimates are obtained for them.
Keywords: synchronous motor model, unbounded separatrix, critical value, global stability, nonlocal reduction method
Received October 14, 2025
Revised October 28, 2025
Accepted November 3, 2025
Funding Agency: The work was carried out within the framework of the development program of the regional Azov-Black Sea Mathematical Center with the financial support of the Ministry of Science and Higher Education of the Russian Federation (Grant Agreement no. 075-02-2025-1620).
Boris Ivanovich Konosevich, Dr. Phys.-Math. Sci., Institute of Applied Mathematics and Mechanics, Donetsk, 283048 Russia, e-mail: ipmm_mtt@mail.ru
Yuliya Borisovna Konosevich, Cand. Sci. (Phys.-Math.), Institute of Applied Mathematics and Mechanics, Donetsk, 283048 Russia, e-mail: konos.donetsk@yandex.ru
Cite this article as: B.I. Konosevich, Yu.B. Konosevich. Estimates of the unbounded separatrices of the differential equation of the current-free model of a synchronous motor. Trudy Instituta Matematiki i Mekhaniki UrO RAN, 2025, vol. 31, no. 4, pp. 188–202.
