Online First 2025
УДК 512.54 +519.17
MSC: 05C63, 20H15
https://doi.org/10.21538/0134-4889-2025-31-4-fon-02
(Full Text)
Our computations were performed on the Uran supercomputer at the IMM UB RAS
The investigation of symmetrical $q$-extensions of a $d$-dimensional grid $\Lambda^{d}$ is of interest both for group theory and for graph theory. For small $d\geq 1$ and $q>1$ (especially for $q=2$), symmetrical $q$-extensions of $\Lambda^{d}$ are of interest for molecular crystallography and some physical theories. Earlier V.I. Trofimov proved that there are only finitely many (up to equivalence) realizations of symmetrical 2-extensions of $\Lambda^{d}$ for any positive integer $d$. E.A. Konovalchik and K.V. Kostousov found all, up to equivalence, realizations of symmetrical 2-extensions of the grid $\Lambda^2$. Then, in the Part I of the study devoted to the case with $d=3$, K.V. Kostousov found all, up to equivalence, realizations of symmetrical 2-extensions of the grid $\Lambda^3$ for which only the trivial automorphism preserves all blocks of $\sigma$. Among other realizations of symmetrical 2-extensions of the grid $\Lambda^3$ the realizations, in which every vertex is adjacent with only one vertex in each adjacent block, compound an important subclass. In this work we find all of them, up to equivalence.
Keywords: symmetrical extension of a graph, $d$-dimensional grid.
Е.А. Коновальчик, К.В. Костоусов. Симметрические 2-расширения 3-мерной решетки со всеми связями типа 2.
Исследование симметрических $q$-расширений $d$-мерной решетки $\Lambda^{d}$ представляет интерес для теории групп и теории графов. Для небольших $d\geq 1$ и $q>1$ (особенно для $q=2$) исследование cимметрических $q$-расширений решетки $\Lambda^{d}$ актуально также в связи с молекулярной кристаллографией и некоторыми физическими теориями. Ранее в работе В.И. Трофимова доказана конечность (с точностью до эквивалентности) числа реализаций симметрических 2-расширений решетки $\Lambda^d$ для произвольного целого положительного $d$. Е.А. Коновальчик and К.В. Костоусов нашли все, с точностью до эквивалентности, реализации симметрических 2-расширений решетки $\Lambda^2$. Затем, в части I работы, посвященной случаю $d=3$, К.В. Костоусовым были найдены все, с точностью до эквивалентности, реализации симметрических 2-расширений решетки $\Lambda^3$, для которых только единичный автоморфизм оставляет все блоки на месте. Среди остальных реализаций симметричных 2-расширений решетки $\Lambda^3$ важный подкласс составляют реализации в которых каждая вершина связана только с одной вершиной в каждом смежном блоке. В настоящей работе мы находим их все, с точностью до эквивалентности.
Ключевые слова: симметрическое расширение графа, $d$-мерная решетка.
Received November 4, 2024
Revised February 12, 2025
Accepted March 18, 2025
Published online March 20, 2025
Elena Aleksandrovna Konovalchik, Cand. Sci (Phis.-Math.), Krasovskii Institute of Mathematics and Mechanics, S. Kovalevskaya Str, 16, 620108, Yekaterinburg, Russia, e-mail: nega-le@yandex.ru.
Kirill Victorovich Kostousov, Cand. Sci (Phis.-Math.), Krasovskii Institute of Mathematics and Mechanics, S. Kovalevskaya Str, 16, 620108, Yekaterinburg, Russia, e-mail: kkostousov@gmail.com.
Cite this article as: E.A.Konovalchik, K. V. Kostousov. Symmetrical 2-extensions of the 3-dimensional grid with all connections of type 2. Trudy Instituta Matematiki i Mekhaniki UrO RAN, 2025. https://doi.org/10.21538/0134-4889-2025-31-4-fon-02
