УДК 514.752.3
MSC: 51N20
DOI: 10.21538/0134-4889-2025-31-2-280-293
Работа выполнена в рамках исследований, проводимых в Уральском математическом центре при финансовой поддержке Министерства науки и высшего образования Российской Федерации (номер соглашения 075-02-2025-1549).
Статья посвящена обобщению на некоторые классы невыпуклых тел известной формулы Штейнера для объема $\varepsilon$-окрестности выпуклого тела в $n$-мерном евклидовом пространстве. Данное исследование ограничивается случаем двумерного евклидового пространства, находящихся в нем плоских фигур и их окрестностей. Рассмотрены примеры различных невыпуклых фигур на плоскости, для окрестности которых формула Штейнера как выполняется, так и не выполняется. Обоснована формула Штейнера для вычисления площади $\varepsilon$-слоя слабо выпуклых по Ефимову — Стечкину плоских фигур с гладкой границей. Доказательство основывается на методах дифференциальной геометрии и свойствах слабо выпуклых множеств.
Ключевые слова: формула Штейнера, невыпуклая фигура, площадь окрестности, параллельное тело, слабо выпуклое множество
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Ушаков В.Н., Ершов А.А. О параметрической зависимости объема интегральных воронок и их аппроксимаций // Вест. Удмурт. ун-та. Математика. Механика. Компьютерные науки. 2022. Т. 32, № 3. С. 447–462. https://doi.org/10.35634/vm220307
2. Ушаков В.Н., Ершов А.А., Ушаков А.В. Управляемые системы, зависящие от параметра; множества достижимости и интегральные воронки // Прикл. математика и механика. 2022. Т. 86, № 1. С. 186–205. https://doi.org/10.31857/S0032823522010088
3. Айзекс Р. Дифференциальные игры. М.: Мир, 1967. 480 с.
4. Понтрягин Л.С. Линейные дифференциальные игры преследования // Мат. сб. 1980. Т. 112(154), № 3(7). С. 307–330.
5. Ушаков В.Н., Матвийчук А.Р., Малев А.Г. Задачи динамики систем с фазовыми ограничениями // Изв. ИМИ УдГУ. 2012. № 1(39). С. 138–139.
6. J. Steiner. Über parallele Flächen, Monatsber // Preuß. Akad. Wiss. 1840. P. 114–118; Ueber parallele Flächen // Gesammelte Werke. Band 2 / edt. by K. Weterstrass et al. Berlin, NY: De Gruyter, 1882. P. 171–176. https://doi.org/10.1515/9783111611716.171
7. Minkowski H. Über die Begriffe Länge, Oberfläche und Volumen // Jber dtsch. Math.-Ver. 1901. Vol. 9. P. 115–121; Gesammelte Abhandlungen. Leipzig-Berlin: Teubner, 1911. Vol. 2. P. 122–127. URL: https://archive.org/details/gesammelteabhan02weylgoog ; Ausgewählte Arbeiten zur Zahlentheorie und zur Geometrie // Teubner-Archiv zur Mathematik. Vienna: Springer, 1989. Vol. 12. https://doi.org/10.1007/978-3-7091-9536-9_6
8. Хадвигер Г. Лекции об объеме, площади поверхности и изопериметрии. М.: Наука, 1966. 416 с.
9. Allendoerfer C.B. Steiner’s formula on a general $S^{n+1}$ // Bull. Amer. Math. Soc. 1948. Vol. 54. P. 128–135. https://doi.org/10.1090/S0002-9904-1948-08966-2
10. Hadwiger H. Über die erweiterten Steinerschen Formeln für Parallelmengen // Rev. Mat. Hispano-Americana, 4a ser. 1946. Vol. 6. P. 160–163.
11. Abbena E., Gray A., Vanhecke L. Steiner’s formula for the volume of a parallel hypersurface in a Riemannian manifold // Annali della Scuola Normale Superiore di Pisa - Classe di Scienze, Ser. 4. 1981. Vol. 8, no. 3. P. 473–493. URL: http://www.numdam.org/item/ASNSP_1981_4_8_3_473_0.pdf
12. Ohmann D. Eine verallgemeinerung der Steinerschen Formel // Math. Ann. 1955. Vol. 129. P. 204–212. https://doi.org/10.1007/BF01362366
13. Лейхтвейс К. Выпуклые множества. М.: Наука, 1985. 335 с.
14. Кувшинов О.А. О геометрии овала Кассини, его мере невыпуклости и $\varepsilon$-слое // Изв. ИМИ УдГУ. 2022. Т. 60. С. 34–57. https://doi.org/10.35634/2226-3594-2022-60-03
15. Иванов Г.Е. Слабо выпуклые множества и функции: теория и приложения. М.: Физматлит, 2006. 352 с.
16. Рашевский П.К. Курс дифференциальной геометрии (4-е изд.). М.: ГИТТЛ, 1956. 420 с.
Поступила 17.03.2025
После доработки 9.04.2025
Принята к публикации 14.04.2025
Ушаков Владимир Николаевич
чл.-корр. РАН, д-р физ.-мат. наук
профессор
главный науч. сотрудник
Институт математики и механики им. Н.Н. Красовского УрО РАН
г. Екатеринбург
e-mail: ushak@imm.uran.ru
Ершов Александр Анатольевич
канд. физ.-мат. наук
старший науч. сотрудник
Институт математики и механики им. Н.Н. Красовского УрО РАН;
доцент
Уральский федеральный университет
г. Екатеринбург
e-mail: ale10919@yandex.ru
Кувшинов Олег Александрович
математик 1 кат.
Институт математики и механики им. Н.Н. Красовского УрО РАН
г. Екатеринбург
e-mail: okuvshinov@inbox.ru
Ссылка на статью: В.Н. Ушаков, А.А. Ершов, О.А. Кувшинов. О площади $\varepsilon$-слоя слабо выпуклой фигуры // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2025. Т. 31, № 2. C. 280–293
English
V.N. Ushakov, A.A. Ershov, O.A. Kuvshinov. On the area of the $\varepsilon$-layer of a weakly convex figure
The article is devoted to the generalization of the well-known Steiner formula for the volume of the $\varepsilon$-neighborhood of a convex body in $n$-dimensional Euclidean space to some classes of nonconvex bodies. This study is limited to the case of two-dimensional Euclidean space, with flat figures located in it and their neighborhoods. Examples of various nonconvex figures on the plane are considered, for the neighborhood of which the Steiner formula is either satisfied or not satisfied. The Steiner formula for calculating the area of the $\varepsilon$-layer of weakly convex Efimov–Stechkin plane figures with a smooth boundary is substantiated. The proof is based on methods of differential geometry and properties of weakly convex sets.
Keywords: Steiner formula, nonconvex figure, area of neighborhood, parallel body, weakly convex set
Received March 17, 2025
Revised April 9, 2025
Accepted April 14, 2025
Funding Agency: The work was performed as part of research conducted in the Ural Mathematical Center with the financial support of the Ministry of Science and Higher Education of the Russian Federation (Agreement number 075-02-2025-1549).
Vladimir Nikolaevich Ushakov, Corresponding Member of the Russian Academy of Sciences, Dr. Phys.-Math. Sci., Prof., Krasovskii Institute of Mathematics and Mechanics of the Ural Branch of the Russian Academy of Sciences, Yekaterinburg, 620108 Russia, e-mail: ushak@imm.uran.ru
Aleksandr Anatol’evich Ershov, Cand. Sci. (Phys.-Math.), Krasovskii Institute of Mathematics and Mechanics of the Ural Branch of the Russian Academy of Sciences, Yekaterinburg, 620108, Russia, Ural Federal University, Yekaterinburg, 620000 Russia, e-mail: ale10919@yandex.ru
Oleg Aleksandrovich Kuvshinov, Krasovskii Institute of Mathematics and Mechanics of the Ural Branch of the Russian Academy of Sciences, Yekaterinburg, 620108 Russia, e-mail: okuvshinov@inbox.ru
Cite this article as: V.N. Ushakov, A.A. Ershov, O.A. Kuvshinov. On the area of the $\varepsilon$-layer of a weakly convex figure. Trudy Instituta Matematiki i Mekhaniki UrO RAN, 2025, vol. 31, no. 2, pp. 280–293.
