УДК 517.9
MSC: 35Q30, 76D05, 76T10, 76T15
DOI: 10.21538/0134-4889-2024-30-3-166-181
Исследуются прямая и обратная задачи для модели стационарной реакции-конвекции-диффузии. Прямая задача состоит в нахождении обобщенного или сильного решения соответствующей краевой задачи при всех заданных параметрах модели. Указываются условия обобщенной или сильной разрешимости прямой задачи, приводятся априорные оценки на решения, установлена непрерывная зависимость того или иного решения прямой задачи от ряда параметров в различных метриках. Обратная задача состоит в нахождении априори неизвестного коэффициента поглощения в среде, характеризующего поглощение некоторой субстанции (или сток тепла) в химическом процессе. Дополнительной информацией для решения обратной задачи является результат измерения потока субстанции (или потока тепла) на доступной части границы области, где протекает процесс. Доказано, что обратная задача некорректна. Приведены примеры, показывающие, что обратная задача неустойчива по отношению к возмущению измеряемой величины и может иметь несколько решений. Для решения обратной задачи предложен вариационный метод, основанный на минимизации некоторого подходящего функционала невязки (целевого функционала). Исследованы экстремальные свойства задачи минимизации функционала невязки. Найдена явная аналитическая формула для вычисления градиента функционала невязки и выписаны соответствующие сопряженная система и система оптимальности. Указано несколько устойчивых итерационных методов минимизации функционала невязки. Проведено численное моделирование решения обратной задачи.
Ключевые слова: уравнение реакции-конвекции-диффузии, прямая задача, обратная задача, функционал невязки, вариационный метод, градиент функционала, сопряженная система, градиентные методы минимизации
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. M.: Наука, 1979. 288 c.
2. Иванов В.К., Васин В.К., Танана В.П. Теория линейных некорректных задач и их приложения. M.: Наука, 1978. 206 c.
3. Кабанихин С.И. Обратные и некорректные задачи. Новосибирск: Сиб. науч. изд-во, 2009. 457 с.
4. Короткий А.И., Ковтунов Д.А. Реконструкция граничных режимов в обратной задаче тепловой конвекции высоковязкой жидкости // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2006. Т. 12, № 2. С. 88–97.
5. Короткий А.И., Цепелев И.А., Исмаил-Заде А.Т. Ассимиляция данных о свободной поверхности потока жидкости для нахождения ее вязкости // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2022. Т. 28, № 2. С. 143–157. doi: 10.21538/0134-4889-2022-28-2-143-157
6. Короткий А.И., Цепелев И.А. Ассимиляция граничных данных для восстановления коэффициента поглощения в модели стационарной реакции-конвекции-диффузии // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2023. Т. 29, № 2. С. 87–103. doi: 10.21538/0134-4889-2023-29-2-87-103
7. Chandrasekhar S. Hydrodynamic and hydromagnetic stability. Oxford: Clarendon Press, 1961, 652 p.
8. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Гидродинамика. М.: Наука, 1986. 736 с.
9. Ладыженская О.А. Математические вопросы динамики вязкой несжимаемой жидкости. М.: ФМ, 1961. 203 с.
10. Алексеев Г.В., Терешко Д.А. Анализ и оптимизация в гидродинамике вязкой жидкости. Владивосток: Дальнаука, 2008. 365 с.
11. Ладыженская О.А., Уральцева Н.Н. Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа. М.: Наука, 1973. 576 с.
12. Ладыженская О.А. Краевые задачи математической физики. М.: Наука, 1973. 408 с.
13. Михайлов В.П. Дифференциальные уравнения в частных производных. М.: Наука, 1976. 392 с.
14. Adams R.A. Sobolev spaces. New York: Academic Press, 1975. 268 p.
15. Соболев С.Л. Некоторые применения функционального анализа в математической физике. М.: Наука, 1988. 336 с.
16. Ректорис К. Вариационные методы в математической физике и технике. М.: Мир, 1985. 590 с.
17. Васильев Ф.П. Методы оптимизации. М.: Факториал Пресс, 2002. 824 с.
18. Nocedal J., Wright S.J. Numerical Optimization. New York: Springer, 1999. 664 p.
19. Короткий А.И., Литвиненко А.Л. Разрешимость одной смешанной краевой задачи для стационарной модели реакции-конвекции-диффузии // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2018. Т. 24, № 1. С. 106–120. doi: 10.21538/0134-4889-2018-24-1-106-120
Поступила 26.05.2024
После доработки 10.06.2024
Принята к публикации 17.06.2024
Короткий Александр Илларионович
д-р физ.-мат. наук, профессор
зав. отделом
Институт математики и механики им. Н.Н. Красовского УрО РАН
г. Екатеринбург
e-mail: korotkii@imm.uran.ru
Стародубцева Юлия Владимировна
канд. физ.-мат. наук, науч. сотрудник
Институт математики и механики им. Н.Н. Красовского УрО РАН
г. Екатеринбург
e-mail: starodubtsevayv@yandex.ru
Ссылка на статью: А.И. Короткий, Ю.В. Стародубцева. Восстановление коэффициента поглощения в модели стационарной реакции-конвекции-диффузии // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2024. Т. 30, № 3. С. 166-181
English
A.I. Korotkii, Yu.V. Starodubtseva. Reconstruction of the absorption coefficient in a model of stationary reaction–convection–diffusion
Direct and inverse problems for the stationary reaction–convection–diffusion model are studied. The direct problem is to find a generalized or strong solution to the corresponding boundary value problems for all given model parameters. Conditions for generalized or strong solvability of the direct problem are given, a priori estimates for solutions are presented, and a continuous dependence of a solution to the direct problem on a number of parameters is established in various metrics. The inverse problem consists of finding the a priori unknown absorption coefficient of a medium, which characterizes the absorption of some substance (or heat sink) in a chemical process. Additional information for solving the inverse problem is the result of measuring the substance (or heat) flow on the accessible part of the boundary of the region where the process takes place. It is proved that the inverse problem is ill-posed. Examples are given showing that the inverse problem is unstable under the disturbance of the measured quantity and may have several solutions. To solve the inverse problem, a variational method based on the minimization of some suitable residual functional (objective functional) is proposed. The extremal properties of the problem of minimizing the residual functional are studied. An explicit analytical formula is found for calculating the gradient of the residual functional, and the corresponding adjoint system and optimality system are written. Several stable iterative methods for minimizing the residual functional are proposed. Numerical modeling of the solution to the inverse problem is carried out.
Keywords: reaction–convection–diffusion equation, direct problem, inverse problem, residual functional, functional gradient, adjoint system, variational method, gradient minimization methods
Received May 26, 2024
Revised June 10, 2024
Accepted June 17, 2024
Alexander Illarionovich Korotkii, Dr. Phys.-Math. Sci., Prof., Krasovskii Institute of Mathematics and Mechanics of the Ural Branch of the Russian Academy of Sciences, Yekaterinburg, 620108 Russia, e-mail: korotkii@imm.uran.ru
Yulia Vladimirovna Starodubtseva, Cand. Sci. (Phys.-Math.), Krasovskii Institute of Mathematics and Mechanics of the Ural Branch of the Russian Academy of Sciences, Yekaterinburg, 620108 Russia, e-mail: starodubtsevayv@yandex.ru
Cite this article as: A.I. Korotkii, Yu.V. Starodubtseva. Reconstruction of the absorption coefficient in a model of stationary reaction–convection–diffusion. Trudy Instituta Matematiki i Mekhaniki UrO RAN, 2024, vol. 30, no. 3, pp. 166–181.
[References -> on the "English" button bottom right]
