УДК: 512.542
MSC : 20D10, 20D25
DOI : 10.21538/0134-4889-2017-23-4-176-180
Полная версия статьи
Пусть $G$ - конечная разрешимая группа, $n$ - длина некоторого $G$-главного ряда группы $F(G)/\Phi(G)$, а $k$ - число центральных $G$-главных факторов этого ряда. В статье доказано, что тогда в $G$ существуют $4n-3k$ максимальные подгруппы, пересечение которых равно $\Phi(G)$. Это утверждение уточняет результат В.С. Монахова о том, что для любой конечной разрешимой ненильпотентной группы $G$ ее подгруппа Фраттини $\Phi (G)$ совпадает с пересечением всех максимальных подгрупп $M$ группы $G$ таких, что $MF(G) = G$. Кроме того, в теореме 4.2 показывается, что в группе $G$ существуют $4(n-k)$ максимальные подгруппы, пересечение которых равно $\delta(G)$. Подгруппа $\delta(G)$ определяется как пересечение всех абнормальных максимальных подгрупп группы $G$, если группа не нильпотентна, и как $G$, если она нильпотентна.
Ключевые слова: конечная разрешимая группа, максимальная подгруппа, подгруппа Фраттини.
Список литературы
1. Kamornikov S.F. Intersections of prefrattini subgroups in finite soluble groups // Int. J. Group Theory. 2017. Vol. 6, no. 2. P. 1-5.
2. Монахов В.С. Замечание о максимальных подгруппах конечных групп // Докл. НАН Беларуси. 2003. Т. 47, № 4. С. 31-33.
3. Doerk K, Hawkes T. Finite soluble groups Berlin; N. Y.: Walter de Gruyter, 1992. 891 p. ISBN: 978-3-11-087013-8.
4. Dolfi S. Large orbits in coprime actions of solvable groups // Trans. Amer. Math. Soc. 2008. Vol. 360, no. 1. P. 135-152. doi:10.1090/S0002-9947-07-04155-4.
5. Baer R. Classes of finite groups and their properties // Illinois J. Math. 1957. Vol. 1. P. 115-187.
6. Шеметков Л.А. Формации конечных групп М.: Наука, 1978. 272 с.
7. Dolfi S. Intersections of odd order Hall subgroups // Bull. London Math. Soc. 2005. Vol. 37. P. 61-66. doi:10.1112/S0024609304003807.
8. Wolf T. Large orbits of supersoluble linear groups // J. Algebra. 1999. Vol. 215. P. 235-247. doi:10.1006/jabr.1998.7730.
9. Gaschutz W. Uber die $\Phi $-Untergruppen endlicher Gruppen // Math. Z. 1953. Bd. 58. S. 160-170. doi:10.1007/BF01174137.
10. Монахов В.С. Замечание о пересечении ненормальных максимальных подгрупп конечных групп // Изв. ГГУ им. Ф.Скорины. 2004. № 6 (27). С. 81.
11. Каморников С.Ф. Об одной характеризации подгруппы Гашюца конечной разрешимой группы // Фунд. и прикл. математика. 2015. Т. 20, № 6. С. 65-75.
12. Васильев А.Ф., Васильева Т.И., Сыроквашин А.В. Заметка о пересечениях некоторых максимальных подгрупп конечных групп // Проблемы физики, математики и техники. 2012. № 2 (11). С. 62-64.
Поступила 29.08.2017
Каморников Сергей Федорович
Гомельский государственный университет им. Ф. Скорины, Гомель
e-mail: sfkamornikov@mail.ru
English
S.F. Kamornikov. On a characterization of the Frattini subgroup of a finite solvable group.
Suppose that $G$ is a finite solvable group, $n$ is the length of a $G$-chief series of the group $F(G)/\Phi(G)$, and $k$ is the number of central $G$-chief factors of this series. We prove that in this case $G$ contains $4n-3k$ maximal subgroups whose intersection is $\Phi (G)$. This result refines V.S. Monakhov's statement that, for any finite solvable nonnilpotent group $G$, its Frattini subgroup $\Phi(G)$ coincides with the intersection of all maximal subgroups $M$ of the group $G$ such that $MF(G)=G$. In addition, it is shown in Theorem 4.2 that the group $G$ contains $4(n-k)$ maximal subgroups whose intersection is $\delta(G)$. The subgroup $\delta(G)$ is defined as the intersection of all abnormal maximal subgroups of $G$ if $G$ is not nilpotent and as $G$ otherwise.
Keywords: finite solvable group, maximal subgroup, Frattini subgroup.
The paper was received by the Editorial Office on August 29, 2017
Sergei Fedorovich Kamornikov, Francisk Skorina Gomel State University, Gomel, 246019, Republic
of Belarus, e-mail: sfkamornikov@mail.ru
