Н.А. Ильясов. О порядке убывания равномерных модулей гладкости на классах периодических функций $H_{p}^{l}[\omega],\ l\in \mathbb N, 1\le p< \infty$ ... С. 162-175

УДК: 517.518.28+517.518.862

MSC: 42A10, 41A17, 41A25

DOI: 10.21538/0134-4889-2017-23-4-162-175

С.Б. Стечкиным была поставлена задача: для заданных $1\le p<q\le\infty$, $r\in\mathbb Z_{+}$, $l,k\in\mathbb N$ и $\omega \in\Omega_{l}(0,\pi]$ найти точный порядок убывания $L_{q}(\mathbb T)$-модуля гладкости $k$-го порядка $\omega_{k}(f^{(r)};\delta)_{q}$ на классах $2\pi$-периодических функций $H_{p}^{l}[\omega]=\{f\in L_{p}(\mathbb T):$ $\omega_{l}(f;\delta)_{p}\le\omega(\delta),\,\delta\in(0,\pi]\}$, где $\mathbb T=(-\pi,\pi]$, $L_{\infty}(\mathbb T)\equiv C(\mathbb T)$, $\Omega_{l}(0,\pi]$ - класс функций $\omega=\omega(\delta)$, определенных на $(0,\pi]$ и удовлетворяющих условиям: $0<\omega(\delta)\downarrow 0\ (\delta\downarrow 0)$ и $\delta^{-l}\omega(\delta)\downarrow (\delta\uparrow)$. Ранее автором получено решение указанной задачи в случае $1\le p<q<\infty$. В настоящей работе приводится решение в случае $1\le p<q=\infty$, а именно, имеют место следующие теоремы.

Теорема 1 . Пусть $1\le p<\infty,\ f\in L_{p}(\mathbb T),\ r\in \mathbb Z_{+},\ l,k\in \mathbb N,\ l>\sigma=r+1/p,\ \rho=l-(k+\sigma)$ и $\sum_{n=1}^{\infty}n^{\sigma-1}\omega_{l}(f;\pi/n)_p<\infty;$ тогда $f$ эквивалентна некоторой функции $\psi\in C^{r}(\mathbb T)$ и справедлива оценка $\omega_{k}(\psi^{(r)};\pi/n)_{\infty} \le C_{1}(l,k,r,p)\Big(\sum_{\nu=n+1}^{\infty}\nu^{\sigma-1}\omega_{l}(f;\pi/\nu)_{p} +\chi(\rho)n^{-k}\sum_{\nu=1}^{n}\nu^{k+\sigma-1}\omega_{l}(f;\pi/\nu)_{p}\Big),\ n\in \mathbb N$, где $C^{r}(\mathbb T)$ - класс функций $\psi \in C(\mathbb T)$, имеющих обычную производную $r$-го порядка $\psi^{(r)}\in C(\mathbb T)$\ $(\psi^{(0)}=\psi$, $C^{0}(\mathbb T)=C(\mathbb T))$,\ $\chi(t)=0$ при $t\le 0$ и $\chi(t)=1$ при $t>0$.

Отметим, что приведенная оценка охватывает все возможные случаи соотношений между $l$ и $k+r$.

Теорема 2. Пусть $1\le p<\infty,\ r\in \mathbb Z_{+},\ l,k\in \mathbb N,\ l>\sigma=r+1/p,\ \rho=l-(k+\sigma),\ \omega \in \Omega_{l}(0,\pi]$ и $\sum_{n=1}^{\infty}n^{\sigma-1}\omega(\pi/n)<\infty$; тогда $\sup\{\omega_{k}(\psi^{(r)};\pi/n)_{\infty}:\ f\in H_{p}^{l}[\omega]\}\asymp\sum_{\nu=n+1}^{\infty}\nu^{\sigma-1}\omega(\pi/\nu)+\chi(\rho)n^{-k} \times \sum_{\nu=1}^{n}\nu^{k+\sigma-1}\omega(\pi/\nu),\ n\in \mathbb N$, где $\psi$ обозначает соответствующую функцию из $C^{r}(\mathbb T)$, эквивалентную $f\in H_{p}^{l}[\omega]$.

В утверждениях теорем 1 и 2 наибольший интерес представляет случай $l=k+\sigma=k+r+1/p$ $(\Rightarrow \chi(\rho)=0)$, который возможен лишь при $p=1$, поскольку $r\in \mathbb Z_{+}$ и $l,k\in \mathbb N$. В этом случае при доказательстве оценки из теоремы 1 используется неравенство $n^{-l}\|T_{n,1}^{(l)}(f;\cdot)\|_{\infty} \le C_{2}(l)n\omega_{l+1}(f;\pi/n)_{l}$, где $T_{n,1}(f;\cdot)$ - полином наилучшего в метрике $L_{1}(\mathbb T)$ приближения функции $f\in L_{1}(\mathbb T)$, которое в свою очередь выводится как следствие усиленного варианта неравенства разных метрик для производных произвольных тригонометрических полиномов $\|t_{n}^{(l)}(\cdot)\|_{\infty}\le 2^{-1}\pi\|t_{n}^{(l+1)}(\cdot)\|_{1}$,\ $n\in \mathbb N$.

Ключевые слова: модуль гладкости, наилучшее приближение, неравенства между модулями гладкости различных порядков в разных метриках, точный порядок убывания равномерных модулей гладкости на классе.

Список литературы

1.   Ильясов Н.А. К неравенству между модулями гладкости различных порядков в разных метриках // Мат. заметки. 1991. Т. 50, № 2. С. 153-155.

2.   Тиман А.Ф. Теория приближения функций действительного переменного. М.: Физматгиз, 1960. 624 с.

3.   Зигмунд А. Тригонометрические ряды: в 2 т. М.: Мир, 1965. Т. 1. 616с.; Т. 2. 538 с.

4.   Ильясов Н.А. К неравенству разных метрик для производных тригонометрических полиномов в $L_{p}(\mathbb T)$ // Теория приближений: тез. докл. Междунар. конф., посвящ. 90-летию С.Б. Стечкина. М.: Изд-во МИРАН, 2010. С. 36-37.

5.   Tikhonov S. Weak type inequalities for moduli of smoothness: the case of limit value parameters // J. Fourier Anal. Appl. 2010. Vol. 16, no. 4. P. 590-608.

6.   Ульянов П.Л. Об абсолютной и равномерной сходимости рядов Фурье // Мат. сб. 1967. Т. 72(114), № 2. С. 193-225.

7.   Ильясов Н.А. Теоремы вложения для структурных и конструктивных характеристик функций: дис. ... канд. физ.-мат. наук. Баку, 1987. 150 с.

8.   Конюшков А.А. Наилучшие приближения тригонометрическими полиномами и коэффициенты Фурье // Мат. сб. 1958. Т. 44(86), № 1. С. 53-84.

9.   Тырыгин И.Я. О неравенствах типа Турана в некоторых интегральных метриках // Укр. мат. журн. 1988. Т. 40, № 2. С. 256-260.

10.   Бари Н.К. Тригонометрические ряды. М.: Физматгиз, 1961. 936 с.

11.   Стечкин С.Б. Об абсолютной сходимости рядов Фурье // Изв. АН СССР, Сер. мат. 1953. Т. 17, № 2. С. 87-98.

12.   Гейт В.Э. Об условиях вложения классов $H_{k,R}^{\omega}$ и $\widetilde{H}_{k,R}^{\omega}$ // Мат. заметки. 1973. Т. 13, № 2. С. 169-178.

13.   Ильясов Н.А. О порядке равномерной сходимости частных кубических сумм кратных тригонометрических рядов Фурье на классах функций $H_{1,m}^{l}[\omega]$ // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2015. Т. 21, № 4. С. 161-177.

14.   Ильясов Н.А. К прямой теореме теории приближений периодических функций в разных метриках // Тр. МИРАН. 1997. Т. 219. С. 220-234.

15.   Ильясов Н.А. К обратной теореме теории приближений периодических функций в разных метриках // Мат. заметки. 1992. Т. 52, № 2. С. 53-61.

16.   Гейт В.Э. О точности некоторых неравенств в теории приближений // Мат. заметки. 1971. Т. 10, № 5. С. 571-582.

17.   Гейт В.Э. О структурных и конструктивных свойствах функции и ее сопряженной в $L$ // Изв. вузов. Математика. 1972. № 7(122). С. 19-30.

18.   Ильясов Н.А. К неравенствам между наилучшими приближениями и модулями гладкости разных порядков периодических функций в $L_{p},\ 1\le p\le \infty$ // Сингулярные интегральные операторы: сб. статей. Баку: Изд-во Бакинского гос. ун-та, 1991. С. 40-52.

Поступила 10.08.2017

Ильясов Ниязи Аладдин оглы 
канд. физ.-мат. наук, доцент
Бакинский государственный университет, г. Баку
e-mail: niyazi.ilyasov@gmail.com

English

N.A. Il’yasov. On the order of decrease of uniform moduli of smoothness for the classes of periodic functions $H_{p}^{l}[\omega],\ l\in \mathbb N,\ 1\le p<\infty$

S.B. Stechkin posed the following problem: for given $1\le p<q\le\infty$, $r\in\mathbb Z_{+}$, $l,k\in\mathbb N$, and $\omega \in\Omega_{l}(0,\pi]$, find the exact order of decrease of the $L_{q}(\mathbb T)$-modulus of smoothness of the $k$th order $\omega_{k}(f^{(r)};\delta)_{q}$ on the classes of $2\pi$-periodic functions $H_{p}^{l}[\omega]=\{f\in L_{p}(\mathbb T):$ $\omega_{l}(f;\delta)_{p}\le\omega(\delta),\,\delta\in(0,\pi]\}$, where $\mathbb T=(-\pi,\pi]$, $L_{\infty}(\mathbb T)\equiv C(\mathbb T)$, and $\Omega_{l}(0,\pi]$ is the class of functions $\omega=\omega(\delta)$ defined on $(0,\pi]$ and satisfying the conditions $0<\omega(\delta)\downarrow 0\ (\delta\downarrow 0)$ and $\delta^{-l}\omega(\delta)\downarrow (\delta\uparrow)$. Earlier the author solved this problem in the case $1\le p<q<\infty$. In the present paper, we give a solution in the case $1\le p<q=\infty$; more exactly, we prove the following theorems.

Theorem 1.  Suppose that $1\le p<\infty$, $f\in L_{p}(\mathbb T)$, $r\in\mathbb Z_{+}$, $l,k\in\mathbb N$, $l>\sigma=r+1/p$, $\rho=l-(k+\sigma)$, and $\sum_{n=1}^{\infty}n^{\sigma-1}\omega_{l}(f;\pi/n)_p<\infty$. Then $f$ is equivalent to some function $\psi\in C^{r}(\mathbb T)$ and the following bound holds: $\omega_{k}(\psi^{(r)};\pi/n)_{\infty} \le C_{1}(l,k,r,p)\Big\{\sum_{\nu=n+1}^{\infty}\nu^{\sigma-1}\omega_{l}(f;\pi/\nu)_{p}+\chi(\rho)n^{-k}\sum_{\nu=1}^{n}\nu^{k+\sigma-1}\omega_{l}(f;\pi/\nu)_{p}\Big\}$, $n\in\mathbb N$, where $\chi(t)=0$ for $t\le 0$, $\chi(t)=1$ for $t>0$, and $C^{r}(\mathbb T)$ is the class of functions $\psi \in C(\mathbb T)$ that have the usual $r$th-order derivative $\psi^{(r)}\in C(\mathbb T)$ $($we assume that $\psi^{(0)}=\psi$ and $C^{(0)}(\mathbb T)=C(\mathbb T))$.

Note that this bound covers all possible cases of relations between $l$ and $k+r$.

Theorem 2.  Suppose that $1\le p<\infty$, $r\in\mathbb Z_{+}$, $l,k\in\mathbb N$, $l>\sigma=r+1/p$, $\rho=l-(k+\sigma)$, $\omega \in\Omega_{l}(0,\pi]$, and $\sum_{n=1}^{\infty}n^{\sigma-1}\omega(\pi/n)<\infty$. Then $\sup\{\omega_{k}(\psi^{(r)};\pi/n)_{\infty}:$ $f\in H_{p}^{l}[\omega]\}\asymp\sum_{\nu=n+1}^{\infty}\nu^{\sigma-1}\omega(\pi/\nu)+\chi(\rho)n^{-k}  \times  \sum_{\nu=1}^{n}\nu^{k+\sigma-1}\omega(\pi/\nu)$, $n\in\mathbb N$, where $\psi$ denotes the corresponding function from $C^{r}(\mathbb T)$ equivalent to $f\in H_{p}^{l}[\omega]$.

In Theorems 1 and 2, the case $l=k+\sigma=k+r+1/p$ $(\Rightarrow \chi(\rho)=0)$ is of the most interest. This case is possible only for $p=1$, since $r\in\mathbb Z_{+}$ and $l,k\in\mathbb N$. In this case, the proof of the bound in Theorem 1 employs the inequality $n^{-l}\|T_{n,1}^{(l)}(f;\cdot)\|_{\infty} \le C_{2}(l)n\omega_{l+1}(f;\pi/n)_{l}$, where $T_{n,1}(f;\cdot)$ is a best approximation polynomial for the function $f\in L_{1}(\mathbb T)$. The latter inequality is derived from the strengthened version of the inequality of different metrics for derivatives of arbitrary trigonometric polynomials $\|t_{n}^{(l)}(\cdot)\|_{\infty}\le 2^{-1}\pi\|t_{n}^{(l+1)}(\cdot)\|_{1}$, $n\in\mathbb N$.
 

Keywords: modulus of smoothness, best approximation, inequalities between moduli of smoothness of various orders in different metrics, sharp order of decreases of uniform moduli of smoothness on a class.

The paper was received by Editorial Office on August 10, 2017.

N.A. Il’yasov, Cand. Sci. (Phys.-Math.), Baku State University, Baku, Azerbaijan,
e-mail: niyazi.ilyasov@gmail.com.