УДК 517.95
MSC: 14B07, 34E05, 34E10, 34K26, 35K15
DOI: 10.21538/0134-4889-2023-29-1-77-90
Полный текст статьи (Full text)
Статья переведена: ISSN 0081-5438
Proceedings of the Steklov Institute of Mathematics, 2023, Vol. 321, Suppl. 1, pp. S257–S269. (Abstract)
Для параболического уравнения типа Гамильтона — Якоби $S_t + 2^{-1} (S_x)^2 + V(x,\varepsilon) = S_{xx}$ строится специальное асимптотическое решение с заданной асимптотикой функции потенциала. Поскольку для простоты эта асимптотика выбирается в виде ряда по натуральным степеням малого параметра $\varepsilon$, асимптотическое решение уравнения представляется, соответственно, в виде ряда теории возмущений по целым степеням $\varepsilon$: $S (x,t,\varepsilon) = \sum_{n = 0}^{\infty} \varepsilon^{n} S_n (x,t).$ Главное приближение решения выражается через экспоненциальный интеграл следующим образом:
$$
S_0 (x,t) = - 2 \ln \int\limits_{0}^{+\infty}
\exp \left( -\sigma^3 + t \sigma^2 + x \sigma \right) d{\sigma},
$$
где фазой служит версальная деформация ростка простой краевой особенности $B_3$. Асимптотическое поведение этого интеграла на бесконечности по пространственной переменной исследовано методом Лапласа. На основе интегральной рекуррентной формулы с однородным начальным условием для остальных коэффициентов $S_n (x,t)$ доказана теорема существования. Установлены также экспоненциальные оценки этих коэффициентов, гарантирующие сходимость соответствующих интегральных сверток. Показано, что имеет место последовательное нарастание порядка малости невязки, остающейся после подстановки частичных сумм асимптотического решения в рассматриваемое уравнение. Кроме того, доказано существование единственного классического решения, асимптотикой которого является построенный асимптотический ряд. В работе также обсуждается постановка рассматриваемой задачи в свете известных подходов к изучению уравнения Гамильтона — Якоби. Показана связь полученного результата с общей теорией особенностей дифференцируемых отображений.
Ключевые слова: параболическое уравнение типа Гамильтона — Якоби, простая краевая особенность, версальная деформация, асимптотическое решение, метод Лапласа
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Crandall M.G., Lions P.-L. Viscosity solutions of Hamilton–Jacobi equations // Trans. Am. Math. Soc. 1983. Vol. 277. P. 1–42. doi: 10.1090/S0002-9947-1983-0690039-8
2. Fleming W.H., Soner H.M. Controlled Markov processes and viscosity solutions. NY: Springer, 1993. 429 p.
3. Bardi M., Crandall M.G., Evans L.C., Soner H.M., Souganidis P.E. Viscosity solutions and applications / eds. by I. Capuzzo Dolcetta, Lions P.-L. Berlin: Springer, 1997. 259 p. (Lecture Notes in Math., vol. 1660).
4. Benachour S., Karch G., Laurençot Ph. Asymptotic profiles of solutions to viscous Hamilton–Jacobi equations // J. Math. Pures Appl. 2004. Vol. 83, no. 9. P. 1275–1308. doi: 10.1016/j.matpur.2004.03.002
5. Biler P., Guedda M., Karch G. Asymptotic properties of solutions of the viscous Hamilton–Jacobi equation // J. Evol. Eq. 2004. Vol. 4, iss. 1. P. 75–97. doi: 10.1007/s00028-003-0079-x
6. Арнольд В.И. Особенности каустик и волновых фронтов. М.: Фазис, 1996. 334 с.
7. Cannarsa P., Cheng W. Singularities of solutions of Hamilton–Jacobi equations // Milan J. Math. 2021. Vol. 89, no. 3. P. 187–215. doi: 10.1007/s00032-021-00330-1
8. Ильин А.М. Об асимптотике решений одной задачи с малым параметром // Изв. АН СССР. Сер. математическая. 1989. Т. 53, вып. 2. C. 258–275.
9. Захаров С.В. Особенности типов A и B в асимптотическом анализе решений параболического уравнения // Функц. анализ и его приложения. 2015. Т. 49, №4. С. 82–85.
10. Konopelchenko B. Unfolding of singularities and differential equations // Note di Matematica. 2012. Vol. 32, no. 1. P. 125–145. doi: 10.1285/i15900932v32n1p125
11. Лычагин В.В. Геометрическая теория особенностей решений нелинейных дифференциальных уравнений // Итоги науки и техники. Сер. проблемы геометрии. М.: ВИНИТИ, 1988. Т. 20. С. 207–247.
12. Арнольд В.И. Критические точки функций на многообразии с краем, простые группы Ли $B_k$, $C_k$, $F_4$ и особенности эволют // Успехи мат. наук. 1978. Т. 33, №5. С. 91–105.
13. Захаров С.В. Асимптотическое решение одной задачи Коши в окрестности градиентной катастрофы // Мат. сб. 2006. Т. 197, № 6. С. 47–62.
14. Федорюк М.В. Асимптотика: интегралы и ряды. М.: Наука, 1987. 544 с.
15. Ладыженская О.А., Солонников В.А., Уральцева Н.Н. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа. М.: Наука, 1967. 736 с.
16. Ильин А.М., Данилин А.Р. Асимптотические методы в анализе. М.: Физматлит, 2009. 248 с.
Поступила 18.10.2022
После доработки 12.12.2022
Принята к публикации 19.12.2022
Захаров Сергей Викторович
канд. физ.-мат. наук
старший науч. сотрудник
Институт математики и механики им. Н.Н. Красовского УрО РАН
г. Екатеринбург
e-mail: svz@imm.uran.ru
Ссылка на статью: С.В. Захаров. Решение параболического уравнения типа Гамильтона — Якоби, определяемое простой краевой особенностью // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2023. Т. 29, № 1. С. 77-90
English
S.V. Zakharov. Solution of a parabolic Hamilton–Jacobi type equation determined by a simple boundary singularity
For a parabolic Hamilton—Jacobi type equation $S_t + 2^{-1} (S_x)^2 + V(x,\varepsilon) = S_{xx}$, a special asymptotic solution with a prescribed asymptotic expansion of the potential function is constructed. Since this asymptotic expansion is chosen for simplicity in the form of a series in natural powers of the small parameter $\varepsilon$, the asymptotic solution of the equation is presented in the form of a series from perturbation theory in integer powers of $\varepsilon$: $S (x,t,\varepsilon) = \sum_{n = 0}^{\infty} \varepsilon^{n} S_n (x,t)$. The leading approximation of the solution is expressed in terms of an exponential integral as follows:
$$
S_0 (x,t) = - 2 \ln \int\limits_{0}^{+\infty} \exp \left( -\sigma^3 + t \sigma^2 + x \sigma \right) d{\sigma},
$$
where the versal deformation of the germ of the simple boundary singularity $B_3$ serves as the phase. The asymptotic behavior of this integral in the space variable at infinity is studied by the Laplace method. On the basis of an integral recurrence formula with a homogeneous initial condition for the remaining coefficients $S_n (x,t)$, an existence theorem is proved. Exponential estimates of these coefficients are also established; they provide the convergence of the corresponding integral convolutions. A successive growth is shown for the orders of smallness of the residuals remaining after the substitution of the partial sums of the asymptotic solution into the equation under consideration. In addition, it is proved that there exists a unique classical solution and the constructed asymptotic series is its asymptotic expansion. The statement of the problem under consideration is also discussed in the light of known approaches to studying the Hamilton—Jacobi equation. The connection of the obtained result with the general theory of singularities of differentiable maps is shown.
Keywords: parabolic Hamilton—Jacobi type equation, simple boundary singularity, versal deformation, asymptotic solution, Laplace method
Received October 18, 2022
Revised December 12, 2022
Accepted December 19, 2022
Sergei Viktorovich Zakharov, Cand. Phys.-Math. Sci., Krasovskii Institute of Mathematics and Mechanics, Ural Branch of the Russian Academy of Sciences, Yekaterinburg, 620108 Russia, e-mail: svz@imm.uran.ru
Cite this article as: S.V. Zakharov. Solution of a parabolic Hamilton–Jacobi type equation determined by a simple boundary singularity. Trudy Instituta Matematiki i Mekhaniki UrO RAN, 2023, vol. 29, no. 1, pp. 77–90; Proceedings of the Steklov Institute of Mathematics (Suppl.), 2023, Vol. 321, Suppl. 1, pp. S257–S269.
[References -> on the "English" button bottom right]
