УДК 517.977
MSC: 49N05, 93C70
DOI: 10.21538/0134-4889-2023-29-1-67-76
Полный текст статьи (Full text)
Статья переведена: ISSN 0081-5438
Proceedings of the Steklov Institute of Mathematics, 2023, Vol. 321, Suppl. 1, pp. S69–S77. (Abstract)
Рассматривается задача оптимального управления для линейной системы с постоянными коэффициентами с интегральным выпуклым критерием качества, содержащим два малых параметра (один — при интегральном слагаемом, другой — в начальных условиях), в классе кусочно–непрерывных управлений с гладкими геометрическими ограничениями. Такие задачи называются задачами с “дешевым” управлением. Показано, что предельной задачей будет задача с терминальным критерием качества. Утверждается, что если предельная задача фактически одномерна, а исходная — нет, то асимптотика решения может носить сложный характер. В частности, может не раскладываться в асимптотический ряд в смысле Пуанкаре ни по какой асимптотической последовательности рациональных функций от малого параметра и логарифмов от него.
Ключевые слова: оптимальное управление, дешевые управления, асимптотические разложения, малый параметр
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Понтрягин Л.С., Болтянский В.Г., Гамкрелидзе Р.В., Мищенко Е.Ф. Математическая теория оптимальных процессов. М.: Физматгиз, 1961. 391 c.
2. Красовский Н.Н. Теория управления движением. Линейные системы. М.: Наука, 1968. 476 c.
3. Ли Э.Б., Маркус Л. Основы теории оптимального управления. М.: Наука, 1972. 576 c.
4. Дмитриев М.Г., Курина Г.А. Сингулярные возмущения в задачах управления // Автоматика и телемеханика. 2006. №. 1. С. 3–51.
5. Zhang Y., Naidu D.S., Cai C., Zou Y. Singular perturbation and time scales in control theories and applications: an overview 2002–2012 // Internat. J. of Information and Systems Sciences. 2014. Vol. 9, no. 1. P. 1–36.
6. Курина Г.А., Калашникова М.А. Сингулярно возмущенные задачи с разнотемповыми быстрыми переменными // Автоматика и телемеханика. 2022. № 11. С. 3–61. doi: 10.31857/S0005231022110010
7. Глизер В.Я., Дмитриев М.Г. Асимптотика решения одной сингулярно возмущенной задачи Коши, возникающей в теории оптимального управления // Дифференц. уравнения. 1978. Т. 14, № 4. С. 601–612.
8. Hoai N.T. Asymptotic solution of a singularly perturbed linear–quadratic problem in critical case with cheap control // J. Optim. Theory Appl. 2017. Vol. 175, no. 2. P. 324–340. doi: 10.1007/s10957-017-1156-6
9. Калашникова М.А., Курина Г.А. Прямая схема асимптотического решения линейно-квадратичных задач с дешевыми управлениями разной цены // Дифференц. уравнения. 2019. Т. 55, №. 1. С. 83–102. doi: 10.1134/S0374064119010096
10. Данилин А.Р., Ильин А.М. Асимптотическое поведение решения задачи быстродействия для линейной системы при возмущении начальных данных // Докл. РАН. 1996. Т. 350, № 2. С. 155–157.
11. Данилин А.Р., Ильин А.М. О структуре решения одной возмущенной задачи быстродействия // Фундамент. и приклад. математика. 1998. Т. 4, № 3. С. 905–926.
12. Данилин А.Р., Шабуров А.А. Асимптотическое разложение решения задачи оптимального управления с интегральным выпуклым критерием качества и дешевым управлением // Сиб. журн. индустр. математики. 2022. Т. 25, № 3. С. 5–13. doi: 10.33048/SIBJIM.2021.25.301
13. Рокафеллар Р. Выпуклый анализ. М.: Мир, 1973. 471 с.
14. Галеев Э.М., Тихомиров В.М. Краткий курс теории экстремальных задач. М.: Изд-во МГУ, 1989. 204 c.
15. Данилин А.Р., Коврижных О.О Асимптотика решения сингулярно возмущенной задачи быстродействия с двумя малыми параметрами // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2019. Vol. 25, № 2. P. 88–101. doi:10.21538/0134-4889-2019-25-2-88-101
16. Данилин А.Р., Коврижных О.О. Асимптотика решения одной задачи быстродействия с неограниченным целевым множеством для линейной системы в критическом случае // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2022. Vol. 28, № 1. С. 58–73. doi: 10.21538/0134-4889-2022-28-1-58-73
Поступила 4.01.2023
После доработки 3.02.2023
Принята к публикации 6.02.2023
Данилин Алексей Руфимович
д-р физ.-мат. наук, профессор
зав. отделом
Институт математики и механики Н.Н. Красовского УрО РАН
г. Екатеринбург
e-mail: dar@imm.uran.ru
Шабуров Александр Александрович
канд. физ.-мат. наук, науч. сотрудник
Институт математики и механики Н.Н. Красовского УрО РАН
г. Екатеринбург
e-mail: alexandershaburov@mail.ru
Ссылка на статью: А.Р. Данилин, А.А. Шабуров. Асимптотика решения задачи оптимального управления с интегральным выпуклым критерием качества, дешевым управлением и возмущением начальных данных // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2023. Т. 29, № 3. С. 67-76
English
A.R. Danilin, A.A. Shaburov. Asymptotics of a solution to an optimal control problem with integral convex performance index, cheap control, and initial data perturbations
We consider an optimal control problem in the class of piecewise continuous controls with smooth geometric constraints for a linear system with constant coefficients and an integral convex performance criterion containing two small parameters (the first of them multiplying the integral term, and the second in the initial data). Such problems are called cheap control problems. It is shown that a problem with a terminal performance index will be the limit one. It is established that if the limit problem is actually one-dimensional whereas the initial problem is not, then the asymptotics of the solution can be more complicated. In particular, the asymptotics of the solution may have no expansion in the Poincare sense in any asymptotic sequence of rational functions of the small parameter or its logarithms.
Keywords: optimal control, cheap control, asymptotic expansion, small parameter
Received January 4, 2023
Revised February 3, 2023
Accepted February 6, 2023
Aleksei Rufimovich Danilin, Dr. Phys.-Math. Sci., Prof., Krasovskii Institute of Mathematics and Mechanics of the Ural Branch of the Russian Academy of Sciences, Yekaterinburg, 620108 Russia, e-mail: dar@imm.uran.ru
Aleksandr Aleksandrovich Shaburov, Cand. Sci. (Phys.-Math.), Krasovskii Institute of Mathematics and Mechanics of the Ural Branch of the Russian Academy of Sciences, Yekaterinburg, 620108 Russia, e-mail: alexandershaburov@mail.ru
Cite this article as: A.R.Danilin, A.A.Shaburov. Asymptotics of a solution to an optimal control problem with integral convex performance index, cheap control, and initial data perturbations. Trudy Instituta Matematiki i Mekhaniki UrO RAN, 2023, vol. 29, no. 1, pp. 67–76; Proceedings of the Steklov Institute of Mathematics (Suppl.), 2023, Vol. 321, Suppl. 1, pp. S69–S77.
[References -> on the "English" button bottom right]
