УДК 517.5
MSC: 41A05, 41A15
DOI: 10.21538/0134-4889-2022-28-4-143-153
Полный текст статьи (Full text)
Статья переведена: ISSN 0081-5438
Proceedings of the Steklov Institute of Mathematics, 2022, Vol. 319, Suppl. 1, pp. S193–S203. (Abstract)
Работа посвящена проблеме интерполирования ограниченных в евклидовой норме конечных наборов вещественных чисел. Мы интерполируем классом гладких функций двух переменных с минимальным значением $L_{2}$-нормы оператора Лапласа $\Delta =\partial^{2}/\partial x^{2}+\partial^{2}/\partial y^{2}$, примененного к интерполирующим функциям. Доказано, что если $N\geq 3$ и все точки интерполяции $\{(x_{j},y_{j})\}_{j=1}^{N}$ не лежат на одной прямой, то минимальное значение $L_{2}$-нормы оператора Лапласа на интерполянтах из класса гладких функций при интерполировании данных из единичного шара пространства $l_{2}^{N}$ выражается через максимальное собственное значение матрицы некоторой квадратичной формы.
Ключевые слова: интерполяция, оператор Лапласа, натуральные сплайны
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Субботин Ю.Н. Функциональная интерполяция в среднем с наименьшей n-й производной // Тр. МИАН. 1967. Т. 88. C. 30–60.
2. Субботин Ю.Н., Новиков С.И., Шевалдин В.Т. Экстремальная функциональная интерполяция и сплайны // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2018. Т. 24, № 3. С. 200–225. doi: 10.21538/0134-4889-2018-24-3-200-225
3. Favard J. Sur l’interpolation // J. Math. Pures Appl. 1940. Vol. 19, no. 9. P. 281–306.
4. de Boor С. How small can one make the derivatives of an interpolating function? // J. Approx. Theory, 1975. Vol. 13, no. 2. P. 105–116. doi: 10.1016/0021-9045(75)90043-X
5. de Boor С. On “best” interpolation // J. Approx. Theory. 1976. Vol. 16, no. 1. P. 28–42. doi: 10.1016/0021-9045(76)90093-9
6. Певный А.Б. Натуральные сплайны двух и трех переменных // Методы вычислений: сб. ст. Л.: Изд-во Ленинград. ун-та, 1985. Вып. 14: Кубатурные формулы и функциональные уравнения / под ред. И. П. Мысовских. C. 160–170.
7. Смоляк С.А. Оптимальное восстановление функций и связанные с ним геометрические характеристики множеств // Тр. 3-й зимней школы по мат. программированию. М.: Изд-во ЦЭМИ АН СССР, 1971. C. 509–557.
8. Duchon J. Interpolation des fonctions de deux variables suivant le principe de la flexion des plaques minces // RAIRO Anal. Numer. 1976. Vol. 10, no. R3. P. 5–12.
9. Arcangeli R., de Silanes M.C., Torrens Ju. Multidimensinal minimizing splines. Theory and applications. NY etc.: Kluwer Acad. Publ., 2004. 261 p.
10. Buhmann M.D. Radial basis functions // Acta Numer. 2000. Vol. 9. P. 1–38.
11. Buhmann M.D. Radial basis functions: Theory and implementations. Cambridge: Cambridge Univ. Press, 2003. 259 p. (Cambridge Monogr. Appl. Comput. Math.; № 12). doi: 10.1017/CBO9780511543241
12. Mehri B., Jokar S. Lebesgue function for multivariate interpolation by radial basis functions // Appl. Math. Comput. 2007. Vol. 187, no. 1. P. 306–314. doi: 10.1016/j.amc.2006.08.127
13. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т. 1. М.: Наука, 1970. 608 с.
14. Holmes R. Geometric functional analysis and its applications. NY ect.: Springer Verlag, 1975. 246 p.
Поступила 19.08.2022
После доработки 1.09.2022
Принята к публикации 5.09.2022
Новиков Сергей Игоревич
канд. физ.-мат. наук, старший науч. сотрудник
Институт математики и механики им. Н.Н. Красовского УрО РАН
г. Екатеринбург
e-mail: Sergey.Novikov@imm.uran.ru
Ссылка на статью: С.И. Новиков. Об одной задаче интерполяции с минимальным значением $L_2$-нормы оператора Лапласа // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2022. Т. 28, № 4. С. 143-153
English
S.I. Novikov. On an interpolation problem with the smallest $L_2$-norm of the Laplace operator
The paper is devoted to an interpolation problem for finite sets of real numbers bounded in the Euclidean norm. The interpolation is by a class of smooth functions of two variables with the minimum $L_{2}$-norm of the Laplace operator $\Delta =\partial^{2 }/\partial x^{2}+\partial^{2 }/\partial y^{2}$ applied to the interpolating functions. It is proved that if $N\geq 3$ and all interpolation points $\{(x_{j},y_{j})\}_{j=1}^{N}$ do not lie on the same line, then the minimum value of the $L_{2}$-norm of the Laplace operator on interpolants from the class of smooth functions for interpolated data from the unit ball of the space $l_{2}^{N}$ is expressed in terms of the largest eigenvalue of the matrix of a certain quadratic form.
Keywords: interpolation, Laplace operator, thin plate splines
Received August 19, 2022
Revised September 1, 2022
Accepted September 5, 2022
Sergey Igorevich Novikov, Cand. Sci. (Phys.-Math.), Krasovskii Institute of Mathematics and Mechanics of the Ural Branch of the Russian Academy of Sciences, Yekaterinburg, 620108 Russia, e-mail: Sergey.Novikov@imm.uran.ru
Cite this article as: S.I. Novikov. On an interpolation problem with the smallest L2-norm of the Laplace operator. Trudy Instituta Matematiki i Mekhaniki UrO RAN, 2022, vol. 28, no. 4, pp. 143–153; Proceedings of the Steklov Institute of Mathematics (Suppl.), 2022, Vol. 319, Suppl. 1, pp. S193–S203.
[References -> on the "English" button bottom right]
