УДК 517.955.2
MSC: 35A23, 35L50, 47J20
DOI: 10.21538/0134-4889-2026-32-1-224-235
Работа выполнена при финансовой поддержке Красноярского математического центра, финансируемого Минобрнауки РФ в рамках мероприятий по созданию и развитию региональных научно-образовательных математических центров (Соглашение 075-02-2026-735).
Уравнения неклассической теории континуума Коссера, в которой наряду с поступательными движениями частиц микроструктуры материала учитываются независимые вращения, обобщаются для описания необратимой пластической деформации под действием интенсивных механических возмущений, превышающих пределы упругости. Математическая модель формулируется в виде вариационного неравенства для дифференциального оператора, гиперболического по Фридрихсу, с односторонними ограничениями типа неравенств на варьируемые функции. На основе интегрального обобщения вариационного неравенства исследован класс допустимых разрывных решений с нейтральными и диссипативными ударными волнами. Получены априорные оценки, гарантирующие единственность и непрерывную зависимость “в малом” по времени решений задачи Коши и краевых задач с диссипативными граничными условиями, в том числе разрывных решений.
Ключевые слова: моментный континуум, упругость, пластичность, условие сильного разрыва, нейтральный разрыв, диссипативный разрыв, вариационное неравенство
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Ерофеев В.И., Павлов И.С. Параметрическая идентификация кристаллов, имеющих кубическую решетку, с отрицательными коэффициентами Пуассона // Прикл. мех. техн. физ. 2015. Т. 56, № 6. С. 94–101. https://doi.org/10.15372/PMTF20150611
2. Павлов И.С., Ерофеев В.И. Структурное моделирование метаматериалов. Нижний Новгород: Изд-во ИПФ РАН, 2019. 196 с. ISBN: 978-5-8048-0098-8.
3. Stefanou I., Sulem J., Vardoulakis I. Three-dimensional Cosserat homogenization of masonry structures: elasticity // Acta Geotech. 2008. Vol. 3, no. 1. P. 71–83. https://doi.org/10.1007/s11440-007-0051-y
4. Eremeyev V.A., Lebedev L.P., Altenbach H. Foundations of micropolar mechanics. Berlin; Heidelberg: Springer, 2013. 142 p. ISBN: 978-3-642-28352-9. https://doi.org/10.1007/978-3-642-28353-6
5. Lakes R.S. Experimental methods for study of Cosserat elastic solids and other generalized continua. In: Continuum models for materials with micro-structure / ed. H. Mühlhaus. Ch. 1. NY: J. Wiley, 1995. P. 1–22.
6. Thatikonda N.P., Baraldi D., Boscato G., Cecchi A. Experimental evaluation of elastic shear components for masonry in a Cosserat continuum // Int. J. Solids Struct. 2024. Vol. 292. Art. no. 112715. https://doi.org/10.1016/j.ijsolstr.2024.112715
7. Sadovskii V.M. Reduction of the Cosserat-type nonlinear equations to the system of Godunov’s form // J. Sib. Fed. Univ. Math. Phys. 2024. Vol. 17, no. 1. P. 55–64.
8. Grekova E.F., Abreu R. Isotropic linear viscoelastic reduced Cosserat medium: an acoustic metamaterial and a first step to model geomedium // New achievements in continuum mechanics and thermodynamics / eds. B.E. Abali, H. Altenbach, F. dell’Isola, V.A. Eremeev, A. Öchsner. Ser. Advanced Structured Materials, vol. 108. Ch. 13. Cham: Springer, 2019. P. 165–185. https://doi.org/10.1007/978-3-030-13307-8_13
9. Годунов С.К., Роменский Е.И. Элементы механики сплошных сред и законы сохранения. М.: Научная книга, 1998. 280 с. ISBN: 5-88119-012-2.
10. Белозёров А.А., Роменский Е.И., Лебедева Н.А. Моделирование течений сжимаемой газожидкостной смеси в трубах на основе теории термодинамически согласованных систем // Сиб. журн. чист. и прикл. матем. 2016. Т. 16, № 1. С. 40–56. https://doi.org/10.17377/PAM.2016.16.104
11. Мартюшев Л.М., Селезнёв В.Д. Принцип максимальности производства энтропии в физике и смежных областях. Екатеринбург: Изд-во ГОУ ВПО УГТУ-УПИ, 2006. 83 с. ISBN: 5-321-00860-4.
12. Садовская О.В., Садовский В.М. Математическое моделирование в задачах механики сыпучих сред. М.: Физматлит, 2008. 368 с. ISBN: 978-5-9221-0906-2.
13. Садовский В.М. О термодинамической согласованности и математической корректности в теории упругопластических, сыпучих и пористых сред // Журн. вычисл. математики и мат. физики. 2020. Т. 60, № 4. С. 738–751. https://doi.org/10.31857/S0044466920040158
14. Панин В.Е., Лихачёв В.А., Гриняев Ю.В. Структурные уровни деформации твердых тел. Новосибирск: Наука, 1985. 255 с.
15. Панин В.Е., Фомин В.М., Титов В.М. Физические принципы мезомеханики поверхностных слоев и внутренних границ раздела в деформируемом твердом теле // Физ. мезомех. 2003. Т. 6, № 2. С. 5–14.
Поступила 31.12.2025
После доработки 21.01.2026
Принята к публикации 26.01.2026
Садовский Владимир Михайлович
д-р физ.-мат. наук, профессор, чл.-корр. РАН
главный науч. сотрудник, зав. отделом
Институт вычислительного моделирования СО РАН — обособленное подразделение ФИЦ КНЦ СО РАН, г. Красноярск
e-mail: sadov@icm.krasn.ru
Ссылка на статью: В.М. Садовский. Анализ математической модели моментного континуума, учитывающей необратимую деформацию структурно неоднородного материала // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2026. Т. 32, № 1. С. 224-235
English
V.M. Sadovskii. Analysis of the mathematical model of a moment continuum that takes into account the irreversible deformation of a structurally inhomogeneous material
Equations of the non-classical Cosserat continuum theory, which takes into account independent rotations along with the translational motion of the microstructure particles of the material, are generalized to describe irreversible plastic deformation under the action of intense mechanical disturbances that exceed the elastic limits. The mathematical model is formulated as a variational inequality for a differential operator, hyperbolic by Friedrichs, with one-sided inequality-type constraints on the variable functions. Based on the integral generalization of the variational inequality, a class of admissible discontinuous solutions with neutral and dissipative shock waves is analyzed. A priori estimates are obtained that guarantee the uniqueness and continuous dependence “in the small” by time of solutions of the Cauchy problem and boundary value problems with dissipative boundary conditions, including discontinuous solutions.
Keywords: moment continuum, elasticity, plasticity, strong discontinuity condition, neutral discontinuity, dissipative discontinuity, variational inequality
Received December 31, 2025
Revised January 21, 2026
Accepted January 26, 2026
Funding Agency: This work is supported by the Krasnoyarsk Mathematical Center and financed by the Ministry of Science and Higher Education of the Russian Federation in the framework of the establishment and development of regional Centers for Mathematics Research and Education (Agreement No. 075-02-2026-735).
Vladimir Mikhailovich Sadovskii, Dr. Phys.-Math. Sci., Prof., Corresponding member of the RAS, Institute of Computational Modelling of the Siberian Branch of the Russian Academy of Sciences, Krasnoyarsk, 660036 Russia, e-mail: sadov@icm.krasn.ru
Cite this article as: V.M. Sadovskii. Analysis of the mathematical model of a moment continuum that takes into account the irreversible deformation of a structurally inhomogeneous material. Trudy Instituta Matematiki i Mekhaniki URO RAN, 2026, vol. 32, no. 1, pp. 224–235.
