УДК 517.977
MSC: 70Q05
DOI: 10.21538/0134-4889-2026-32-1-206-223
Исследование выполнено за счет гранта Российского научного фонда (проект 23-11-00128, https://rscf.ru/project/23-11-00128/).
В данной работе рассматривается задача оптимального управления динамическим объектом, совершающим плоское движение и имеющим постоянную по модулю тягу. В конце движения объект должен выйти на заданную прямолинейную траекторию с максимально возможной продольной скоростью. В каждый момент времени объект должен находиться в пределах заданной безопасной высоты, и для выполнения указанного ограничения используется модифицированный закон линейного тангенса. Находится множество начальных положений, допускающих решение задачи оптимального управления. В работе проверяется достаточное условие оптимальности с помощью уравнения Гамильтона — Якоби — Беллмана (ГЯБ). На основе данного уравнения строится алгоритм управления в форме синтеза.
Ключевые слова: оптимальное управление, фазовое ограничение, модифицированный закон линейного тангенса, уравнение Гамильтона — Якоби — Беллмана
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Perkins F.M. Derivation of linear-tangent steering laws. Air Force Report No. SSD-TR66-211. Nov. 1966. https://doi.org/10.21236/ad0643209
2. Охоцимский Д.Е., Энеев Т.М. Некоторые вариационные задачи, связанные с запуском искусственного спутника Земли // Успехи физ. наук. 1957. Vol 63, № 1. P. 5–32. https://doi.org/10.3367/UFNr.0063.195709b.0005
3. Брайсон А., Хо Ю-ши Прикладная теория оптимального управления. М.: Мир, 1972. 544 с.
4. Афанасьев В.Н., Колмановский В.Б., Носов В.Р. Математическая теория конструирования систем управления. М.: Высшая школа, 2003. 614 с.
5. Решмин С.А., Бектыбаева М.Т. Учет фазового ограничения при управлении разгоном динамического объекта по модифицированному закону линейного тангенса // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2024. Т. 30, № 2. С. 152–163. https://doi.org/10.21538/0134-4889-2024-30-2-152-163
6. Kim K.S., Park J.W., Tahk M.J., Choi H.L. A PEG-based ascending guidance algorithm for ramjet-powered vehicles // International Congress of the Aeronautical Sciences. International Council of Aeronautical Sciences. 2012. 7 p.
7. Hong S.M., Tahk M.J. Stage optimization of multi-stage anti-air missile using co-evolutionary augmented Lagrangian method // 2017 25th Mediterranean Conference on Control and Automation (MED). Valletta, Malta. 2017. P. 1257–1262. https://doi.org/10.1109/MED.2017.7984290
8. Reshmin S.A., Bektybaeva M.T. Accounting for phase limitations during intense acceleration of a mobile robot and its motion in drift mode // Dokl. Math. 2024. Vol. 109, no. 1. P. 38–46. https://doi.org/10.1134/S1064562424701709
9. Ройтенберг Я.Н. Автоматическое управление. М.: Наука, 1971. 396 с.
10. Болтянский В.Г. Достаточные условия оптимальности и обоснование метода динамического программирования // Изв. АН СССР. Сер. математическая. 1964. Т. 28, № 3. С. 481–514.
11. Fleming W.H., Rishel R.W. Deterministic and Stochastic Optimal Control. NY: Springer, 1975. 222 p.
12. Subbotin A.I. Generalized solutions of first order PDEs: The dynamical optimization perspective. Boston: Birkhäuser, 1995. 314 p. https://doi.org/10.1007/978-1-4612-0847-1
13. Субботина Н.Н., Новоселова Н.Г. Оптимальный результат в задаче управления системой с кусочно монотонной динамикой // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2017. Т. 23, № 4. С. 265–280. https://doi.org/10.21538/0134-4889-2017-23-4-265-280
14. Багно А.Л., Тарасьев А.М. Численные методы построения функций цены в задачах оптимального управления на бесконечном горизонте // Изв. ИМИ УдГУ. 2019. Т. 53. С. 15–26. https://doi.org/10.20537/2226-3594-2019-53-02
15. Розоноэр Л.И. Принцип максимума Л.С. Понтрягина в теории оптимальных систем. I // Автоматика и телемеханика. 1959. Т. 20, № 10. С. 1320–1334.
16. Reshmin S.A., Bektybaeva M.T. Accounting for phase constraints during intensive acceleration by modified linear tangent law // Mech. Solids. 2024. Vol. 59, no. 8. P. 3913–3928. https://doi.org/10.1134/S0025654424607043
Поступила 5.10.2025
После доработки 24.01.2026
Принята к публикации 2.02.2026
Решмин Сергей Александрович
д-р физ.-мат. наук, чл.-корр. РАН
главный науч. сотрудник
Институт проблем механики им. А.Ю. Ишлинского РАН
г. Москва
e-mail: reshmin@ipmnet.ru
Арцибасов Антон Вячеславович
инженер
Институт проблем механики им. А.Ю. Ишлинского РАН
г. Москва
e-mail: artsibasov@ipmnet.ru
Ссылка на статью: С.А. Решмин, А.В. Арцибасов. Модифицированный закон линейного тангенса в форме синтеза для учета фазового ограничения и возмущения // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2026. Т. 32, № 1. С. 206-223
English
S.A. Reshmin, A.V. Artsibasov. Modified linear tangent law in synthesis form for accounting for a phase constraint and disturbance
This paper addresses the optimal control problem for a dynamic object performing planar motion with constant thrust magnitude. By the end of the maneuver, the object must reach a specified straight-line trajectory with the maximum possible longitudinal velocity. At every moment in time, the object must remain within a specified safe altitude, and a modified linear tangent law is used to satisfy this constraint. The set of initial positions that allow for a solution to the optimal control problem is determined. The paper verifies the sufficient condition for optimality using the Hamilton–Jacobi–Bellman (HJB) equation. Based on this equation, a control algorithm in the form of a synthesis is developed.
Keywords: optimal control, phase constraint, modified linear tangent law, Hamilton–Jacobi–Bellman equation
Received October 5, 2025
Revised January 24, 2026
Accepted February 2, 2026
Funding Agency: This work was supported by the Russian Science Foundation (project no. 23-11-00128, https://rscf.ru/project/23-11-00128/).
Sergey Aleksandrovich Reshmin, Dr. Phys.-Math. Sci., Corresponding Member of RAS, Ishlinsky Institute for Problems in Mechanics of the Russian Academy of Sciences, Moscow, 119526 Russia, e-mail: reshmin@ipmnet.ru
Anton Vyacheslavovich Artsibasov, Ishlinsky Institute for Problems in Mechanics of the Russian Academy of Sciences, Moscow, 119526 Russia; e-mail: artsibasov@ipmnet.ru
Cite this article as: S.A. Reshmin, A.V. Artsibasov. Modified linear tangent law in synthesis form for accounting for a phase constraint and disturbance. Trudy Instituta Matematiki i Mekhaniki UrO RAN, 2026, vol. 32, no. 1, pp. 206–223.
