УДК 517.926
MSC: 34C10, 34D05
DOI: 10.21538/0134-4889-2025-31-4-26-38
Работа выполнена при финансовой поддержке Министерства науки и высшего образования Российской Федерации в рамках государственного задания № 075-03-2024-074/5 по проекту “Исследование асимптотических характеристик колеблемости дифференциальных уравнений и систем, а также оптимизационных методов”.
На множестве линейных однородных дифференциальных уравнений выше второго порядка с непрерывными на положительной полуоси коэффициентами установлены все возможные соотношения между главными значениями показателей колеблемости (строгих и нестрогих) знаков, а также проведено исследование устойчивости всех главных значений относительно бесконечно малых возмущений (т. е. исчезающих на бесконечности) коэффициентов уравнения. Конструктивно в работе построено многопараметрическое семейство дифференциальных уравнений заданного порядка n ≥ 3, на котором реализуются строгие неравенства между главными значениями характеристических частот и показателей колеблемости. При фиксированных значениях последовательности параметров выделены точки из указанного семейства уравнений, в которых все главные значения показателей колеблемости не являются инвариантными относительно бесконечно малых возмущений. Кроме того, на множестве всех ненулевых решений указанного семейства уравнений все показатели колеблемости являются точными, абсолютными и совпадают с точной характеристической частотой знаков. При построении указанного семейства уравнений и доказательстве требуемых результатов использованы аналитические методы качественной теории дифференциальных уравнений и методы теории возмущений решений линейных дифференциальных уравнений. В частности, был применен метод варьирования уравнения, позволяющий специальным образом преобразовать исходное дифференциальное уравнение так, чтобы оно обладало наперед заданными свойствами. Также приведены примеры перехода от одного дифференциального уравнения к другому с целью обобщения свойств характеристических частот знаков и на показатели колеблемости знаков.
Ключевые слова: дифференциальное уравнение, линейная система, колеблемость, число нулей, показатель колеблемости, характеристическая частота, устойчивость, показатель Ляпунова
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Сергеев И.Н. Определение и свойства характеристических частот линейного уравнения // Труды семинара им. И. Г. Петровского. 2006. Вып. 25. С. 249–294.
2. Сергеев И.Н. Характеристики колеблемости и блуждаемости решений линейной дифференциальной системы // Изв. РАН. Серия математическая. 2012. Т. 76, № 1. C. 149–172. https://doi.org/10.4213/im5035
3. Сергеев И.Н. Полный набор соотношений между показателями колеблемости, вращаемости и блуждаемости решений дифференциальных систем // Изв. Ин-та математики и информатики УдГУ. 2015. Вып. 2 (46). С. 171–183.
4. Быков В.В. О бэровской классификации частот Сергеева нулей и корней решений линейных дифференциальных уравнений // Дифференц. уравнения. 2016. Т. 52. № 4. С. 419–425. https://doi.org/10.1134/S0374064116040026
5. Войделевич А. С. О спектрах верхних частот Сергеева линейных дифференциальных уравнений // Журн. Белорус. гос. ун-та. Математика. Информатика. 2019. № 1. С. 28–32. https://doi.org/10.33581/2520-6508-2019-1-28-32
6. Сергеев И.Н. О показателях колеблемости, вращаемости и блуждаемости дифференциальных систем, задающих повороты плоскости // Вестн. Москов. ун-та Сер. 1. Математика. Механика. 2019. № 1. С. 21–26. https://doi.org/10.3103/S0027132219010042
7. Сташ А.Х. О разрывности крайних показателей колеблемости на множестве линейных однородных дифференциальных систем // Дифференц. уравнения и процессы управления. 2023. № 1. С. 78–109. https://doi.org/10.21638/11701/spbu35.2023.106
8. Сташ А.Х., Артисевич А.Е. О некоторых свойствах главных значений показателей колеблемости линейных дифференциальных уравнений третьего порядка // Вестн. Удмурт. ун-та. Математика. Механика. Компьютерные науки. 2025. Т. 35, № 2. С. 281–295. https://doi.org/10.35634/vm250208
9. Сергеев И.Н. Свойства характеристических частот линейных уравнений произвольного порядка // Труды семинара им. И. Г. Петровского. 2013. Вып. 29. С. 414–442.
10. Сергеев И.Н. Об управлении решениями линейного дифференциального уравнения // Вестн. Москов. ун-та. Сер. 1. Математика. Механика. 2009. № 3. С. 25–33.
11. Горицкий А.Ю., Фисенко Т.Н. Характеристические частоты нулей суммы двух гармонических колебаний // Дифференц. уравнения. 2012. Т. 48, № 4. С. 479–486.
12. Сташ А.Х. Свойства полных и векторных частот знака решений линейных автономных дифференциальных уравнений // Дифференц. уравнения. 2014. Т. 50, № 10. С. 1418–1422. https://doi.org/10.1134/S0374064114100203
13. Сташ А.Х. О бесконечных спектрах показателей колеблемости линейных дифференциальных уравнений третьего порядка // Известия вузов. Математика. 2024. № 4. С. 47–66. https://doi.org/10.26907/0021-3446-2024-4-47-66
14. Смоленцев М.В. Пример периодического дифференциального уравнения третьего порядка, спектр частот которого содержит отрезок // Дифференц. уравнения. 2014. Т. 50, № 10. С. 1413–1417. https://doi.org/10.1134/S0374064114100197
15. Сташ А.Х. Об управлении спектрами верхних сильных показателей колеблемости знаков, нулей и корней дифференциальных уравнений третьего порядка // Дифференц. уравнения. 2023. Т. 59, № 5. С. 588–595. https://doi.org/10.31857/S0374064123050035
16. Сташ А.Х., Артисевич А.Е. Существование бесконечных всюду разрывных спектров верхних показателей колеблемости знаков, нулей и корней дифференциальных уравнений третьего порядка // Вестн. Москов. ун-та. Сер. 1. Математика. Механика. 2023, № 5. С. 16–22. https://doi.org/10.55959/MSU0579-9368-1-64-5-3
17. Барабанов Е.А., Войделевич А.С. К теории частот Сергеева нулей, знаков и корней решений линейных дифференциальных уравнений. I // Дифференц. уравнения. 2016. Т. 52, № 10. С. 1302–1320. https://doi.org/10.1134/S0374064116100034
18. Барабанов Е.А., Войделевич А.С. К теории частот Сергеева нулей, знаков и корней решений линейных дифференциальных уравнений. II //Дифференц. уравнения. 2016. Т. 52, № 12. С. 1595–1609. https://doi.org/10.1134/S0374064116120013
19. Филиппов А.Ф. Введение в теорию дифференциальных уравнений. М.: Едиториал УРСС, 2004. 240 c.
20. Полиа Г., Сегё Г. Задачи и теоремы из анализа. Ч.2. М., 1978. 432 с.
Поступила 8.09.2025
После доработки 27.09.2025
Принята к публикации 6.10.2025
Артисевич Анжела Евгеньевна
научный сотрудник
Адыгейский государственный университет
г. Майкоп
e-mail: artisevichangela@gmail.com
Ссылка на статью: А.Е. Артисевич. О подвижности главных значений показателей колеблемости знаков линейных дифференциальных уравнений при бесконечно малых возмущениях // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2025. Т. 31, № 4. С. 26-38
English
A.E. Artisevich. On the mobility of the main values of the oscillation exponents of the signs of linear differential equations under infinitesimal perturbations
On a set of linear homogeneous differential equations of higher than second order with continuous coefficients on the positive semi-axis, all possible relationships between the principal values of the oscillation exponents (strict and non-strict) of the signs were established, and a study was also conducted on the stability of all principal values with respect to infinitesimal perturbations (i.e., vanishing at infinity) of the equation coefficients. In the work, a multiparameter family of differential equations of a given order n ≥ 3 is constructed, on which strict inequalities between the main values of the characteristic frequencies and oscillation exponents are realized. For fixed values of the sequence of parameters, we highlight points from the indicated family of equations in which all the main values of the oscillation exponents are not invariant under infinitesimal perturbations. In addition, on the set of all non-zero solutions of the specified family of equations all oscillation exponents are exact, absolute and coincide with the exact characteristic frequency of signs. In constructing the specified family of equations and proving the required results, analytical methods of the qualitative theory of differential equations and methods of the theory of perturbations of solutions of linear differential equations were used. In particular, the method of varying an equation, which allows the original differential equation to be transformed in a special way so that it has predetermined properties. Examples of the transition from one differential equation to another are also given in order to generalize the properties of the characteristic frequencies of signs and to exponents of the oscillation of signs.
Keywords: differential equation, linear system, oscillation, number of zeros, exponents of oscillation, Characteristic frequency, stability, Lyapunov’s exponent
Received September 8, 2025
Revised September 27, 2025
Accepted October 6, 2025
Funding Agency: The work was carried out with the financial support of the Ministry of Science and Higher Education of the Russian Federation within the framework of the state assignment No. 075-03-2024-074/5 for the project “Study of asymptotic characteristics of the oscillation of differential equations and systems, as well as optimization methods”.
Angela Evgenievna Artisevich, Adyghe state University, Maykop, 385000 Russia, e-mail: artisevichangela@gmail.com
Cite this article as: A.E. Artisevich. On the mobility of the main values of the oscillation exponents of the signs of linear differential equations under infinitesimal perturbations. Trudy Instituta Matematiki i Mekhaniki UrO RAN, 2025, vol. 31, no. 4, pp. 26–38.
