УДК 517.51
MSC: 42A10, 41A46
DOI: 10.21538/0134-4889-2025-31-4-10-25
Работа финансируется Комитетом науки Министерства науки и высшего образования Республики Казахстан (грант № AP19677486).
В статье рассматриваются пространство Лоренца $L_{q, \tau}(\mathbb{T}^{m})$ периодических функций $m$ переменных и класс $W_{q, \tau}^{a, b(\cdot), \overline{r}}$ для $1<q, \tau <\infty$, $a>0$, $b(t)$ — слабоколеблющаяся функция на $[1, \, \infty )$. $W_{q, \tau}^{a, b(\cdot), \overline{r}}$ — класс из всех функций $f\in L_{q, \tau}(\mathbb{T}^{m})$, для которых $S_{n}^{(\overline\gamma)}(f,\overline{x})$ — частичная сумма по ступенчатому гиперболическому кресту ряда Фурье — по норме $L_{q, \tau}(\mathbb{T}^{m})$ сходится со скоростью $2^{-na}b(2^{n})$ при $n\rightarrow \infty$. Основным результатом является точный порядок наилучших $n$-членных тригонометрических приближений функций из класса $W_{q, \tau_{1}}^{a, b(\cdot), \overline{r}}$ по норме пространства $L_{p, \tau_{2}}(\mathbb{T}^{m})$ в случае $1<q<p\leqslant 2$ при некоторых соотношениях между параметрами $a$, $\tau_{1}$, $\tau_{2}$. Результат доказан конструктивным методом.
Ключевые слова: пространство Лоренца, тригонометрическая система, наилучшее $n$-членное приближение, конструктивный метод
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Стейн И., Вейс Г. Введение в гармонический анализ на евклидовых пространствах. М.: Мир, 1974. 333 c.
2. Никольский С.М. Приближение функций многих переменных и теоремы вложения. М.: Наука, 1977. 456 с.
3. Temlyakov V. Multivariate approximation. Cambridge: Cambridge Univ. Press, 2018. 551 p. https://doi.org/10.1017/9781108689687
4. Стечкин С.Б. Об абсолютной сходимости ортогональных рядов // Докл. АН СССР. 1955. Т. 102, № 1. С. 37–40.
5. Исмагилов Р.С. Поперечники множеств в линейных нормированных пространствах и приближение функций тригонометрическими многочленами // Усп. мат. наук. 1974. Т. 29, № 3. С. 161–178.
6. DeVore R. A. Nonlinear approximation // Acta Numerica. 1998. Vol. 7. P. 51–150. https://doi.org/10.1017/s0962492900002816
7. Dinh Dũng, Temlyakov V.N., Ullrich T. Hyperbolic cross approximation. Advanced courses in mathematics. Cham: Birkhäuser, 2018. 222 p. https://doi.org/10.1007/978-3-319-92240-9
8. Temlyakov V.N. Greedy approximation. Cambridge: Cambridge Univer. Press, 2011. 434 p.
9. Temlyakov V.N. Greedy algorithm and m–term trigonometric approximation // Constr. Approx. 1998. Vol. 14. P. 569–587. https://doi.org/10.1007/s003659900090
10. Temlyakov V.N. Greedy algorithms in Banach spaces // Adv. Comp. Math. 2001. vol. 14, no. 3. P. 277–292. https://doi.org/10.1023/A:1016657209416
11. Bazarkhanov D.B., Temlyakov V.N. Nonlinear tensor product approximation of functions // J. Complexity. 2015. Vol. 31, no. 6. P. 867–884. https://doi.org/10.1016/j.jco.2015.06.005
12. Solodov A.P., Temlyakov V.N. Sampling recovery on function classes with a structural condition. 2024. 25 p. https://doi.org/10.48550/arXiv.2404.07210
13. Garrigós G. The $WCGA$ in $L_{p}(\log L)^{\alpha}$ spaces // Constructive Approximation 2025. Vol. 61. P. 115–147. https://doi.org/10.1007/s00365-023-09664-y
14. Темляков В.Н. Конструктивные разреженные тригонометрические приближения и другие задачи для функций смешанной гладкости // Мат. сб. 2015. Т. 206, №11. С. 131–160.
15. Temlyakov V.N. Constructive sparse trigonometric approximation for functions with small mixed smoothness // Constr. Approx. 2017. Vol. 45, no. 3. P. 467–495.
16. Базарханов Д.Б. Нелинейные тригонометрические приближения классов функций многих переменных // Тр. МИАН. 2016. Т. 293. С. 8–42. https://doi.org/10.1134/S0371968516020023
17. Зигмунд А. Тригонометрические ряды. Т.1. М.: Мир, 1965. 615 с.
18. Akishev G. Estimates of M-term approximations of functions of several variables in the Lorentz space by a constructive methods // Eurasian Math. J. 2024. Vol. 15, no. 2. P. 8–32. https://doi.org/10.32523/2077-9879-2024-15-2-08-32
19. Акишев Г. Оценки наилучших приближений функций класса Никольского — Бесова в пространстве Лоренца тригонометрическими полиномами // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2020. Т. 26, №2. С. 5–27 . https://doi.org/10.21538/0134-4889-2020-26-2-5-27
20. Темляков В.Н. Приближение функций с ограниченной смешанной производной // Тр. МИАН СССР. 1986. Т. 178. С. 1–112.
21. Симонов Б.В. О вложении классов Никольского в пространства Лоренца // Сиб. мат. журн. 2010. Т. 51, № 4. С. 911–919.
22. Edmunds D. E., Evans W.D. Hardy operators, function spaces and embedding. Berlin Heidelberg: Springer-Verlag, 2004. 333 p.
23. Акишев Г. О наилучших n-членных приближениях функций в пространстве Лоренца // Междунар. Воронеж. зим. мат. шк. “Современные методы теории функций и смежные проблемы“ : тез. докл. 2021. C. 29–31.
Поступила 30.04.2025
После доработки 9.09.2025
Принята к публикации 21.09.2025
Акишев Габдолла
д-р физ.-мат. наук, профессор
Московский государственный университет имени М.В. Ломоносова
Казахстанский филиал, г. Астана;
Институт математики и математического моделирования г. Алматы
e-mail: akishev_g@mail.ru
Ссылка на статью: Г. Акишев. Об оценках $n$-членных приближений функций в пространстве Лоренца // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2025. Т. 31, № 4. С. 10-25
English
G. Akishev. On estimates of $n$-term approximations of functions in Lorentz space
The article considers the Lorentz space $L_{q, \tau}(\mathbb{T}^{m})$ of periodic functions of $m$ variables and the class $W_{q, \tau}^{a, b(\cdot), \overline{r}}$ for $1<q, \tau <\infty$, $a>0$, $b(t)$ is a slowly varying function on $[1, \, \infty )$. $W_{q, \tau}^{a, b(\cdot), \overline{r}}$ the class of all functions $f\in L_{q, \tau}(\mathbb{T}^{m})$ for which $S_{n}^{(\overline\gamma)}(f,\overline{x})$ the partial sum over the step hyperbolic cross of the Fourier series in the norm of $L_{q, \tau}(\mathbb{T}^{m})$ converges at rate $2^{-na}b(2^{n})$ as $n\rightarrow \infty$. The main result is the exact order of the best $n$-term trigonometric approximations of functions from the class $W_{q, \tau_{1}}^{a, b(\cdot), \overline{r}}$ in the norm of the space $L_{p, \tau_{2}}(\mathbb{T}^{m})$ in the case $1<q<p\leqslant 2$, for some relations between the parameters $a$, $\tau_{1}$, $\tau_{2}$. The result is proved by a constructive method.
Keywords: Lorentz space, trigonometric system, best $n$-term approximation, constructive method
Received April 30, 2025
Revised September 9, 2025
Accepted September 21, 2025
Funding Agency: The work was carried out with the financial support of the Committee of Science of the Ministry of Science and Higher Education of the Republic of Kazakhstan (grant no. AP19677486).
Gabdolla Akishev, Dr. Phys.-Math. Sci., Prof., Lomonosov Moscow University, Kazakhstan Branch, Astana, 100001 Kazakhstan; Institute of Mathematics and Mathematical Modeling, Almaty, 050010 Kazakhstan, e-mail: akishev_g@mail.ru
Cite this article as: G. Akishev. On estimates of $n$-term approximations of functions in Lorentz space. Trudy Instituta Matematiki i Mekhaniki UrO RAN, 2025, vol. 31, no. 4, pp. 10–25.
