УДК 517.982.256
MSC: 41A65
DOI: 10.21538/0134-4889-2025-31-3-20-35
Исследование выполнено при финансовой поддержке Министерства науки и высшего образования Российской Федерации в рамках реализации научного проекта по соглашению № 075-15-2025-013.
В работе рассматриваются задачи о существовании, единственности и устойчивости наилучшего приближения, а также связанные с ними задачи о солнечности для не обязательно замкнутых множеств (в частности, рассматриваемые множества могут не быть множествами существования). Вводятся определения проекционной границы и проекционно замкнутого множества. Показывается, что если $X$ – симметризуемое несимметричное пространство Ефимова – Стечкина, то множество точек аппроксимативной компактности непустого проекционно замкнутого множества $M\subset X$ имеет вторую категорию в метрической внешности $\operatorname{out}(M)$ множества $M$. Исследуются соотношения между классами связности множеств в несимметричных пространствах Ефимова – Стечкина. Показано, что если $X$ – симметризуемое пространство Ефимова – Стечкина и $M\subset X$ проекционно замкнуто и $\ell_0P_0$-связно, то $M$ $\ell_0 \overset{\ \circ}{B}$-связно. Исследуется задача о солнечности множеств единственности. В частности, на случай множеств единственности обобщается известная теорема, восходящая к В.И. Бердышеву и В.Л. Кли о солнечности ограниченно компактных чебышёвских множеств. Также получены результаты о солнечности ограниченно предкомпактных проекционно замкнутых множеств единственности. Установлены результаты о сохранении солнечности и других аппроксимативных свойств множеств при переходе к замкнутым окрестностям $M+B(x,r)$ множеств. Отдельно рассмотрен случай чебышёвских солнц, в котором получена характеризационная теорема.
Ключевые слова: проекционная граница, проекционно замкнутое множество, связность, наилучшее приближение, солнце, чебышёвское солнце, пространство Ефимова – Стечкина, метрическая внешность множества, аппроксимативная компактность, аппроксимативной предкомпактность
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Braess D. Nonlinear approximation theory. Springer Ser. Comput. Math., vol. 7. Berlin: Springer,1986. 290 p. https://doi.org/10.1007/978-3-642-61609-9
2. Alimov A.R., Tsar’kov I.G. Geometric approximation theory. Ser. Springer Monogr. Math. Springer: Cham, 2021. 508 p.
3. Ефимов Н.В., Стечкин С.Б. Некоторые свойства чебышёвских множеств// Докл. АН СССР. 1958. T. 118, № 1. C. 17–19.
4. Ефимов Н.В., Стечкин С.Б. Чебышевские множества в банаховых пространствах // Докл. АН СССР. 1958. T. 121, № 4. C. 582–585.
5. Ефимов Н.В., Стечкин С.Б. Опорные свойства множеств в банаховых пространствах и чебышевские множества // Докл. АН СССР. 1959. T. 127, № 2. C. 254–257.
6. Ефимов Н.В., Стечкин С.Б. Аппроксимативная компактность и чебышёвские множества // Докл. АН СССР. 1961. T. 140, № 3. C. 522–524.
7. Alimov A.R., Tsar’kov I.G. Connectedness and approximative properties of sets in asymmetric spaces // Filomat. 2024. Vol. 389, no. 9. P. 3243–3259. https://doi.org/10.2298/FIL2409243A
8. García-Raffi L.M., Romaguera S., Sánchez Pérez E.A. On Hausdorff asymmetric normed linear spaces // Houston J. Math. 2003. Vol. 2, no. 3. P. 717–728.
9. Cobzaş S. Compact bilinear operators on asymmetric normed spaces // Topology Appl. 2022. Vol 306. Art. no. 107922. 23 p. https://doi.org/10.1016/j.topol.2021.107922
10. Алимов А.Р., Царьков И.Г. Устойчивость аппроксимации в классических задачах геометрической теории приближений // Изв. РАН. Сер. математическая. 2025. https://doi.org/10.4213/im9660
11. Borwein J.M., Fitzpatrick S. Existence of nearest points in Banach spaces // Canad. J. Math. 1989. Vol. 41, no. 4. P. 702–720. https://doi.org/10.4153/CJM-1989-032-7
12. Царьков И.Г. Свойства дискретного не более чем счетного объединения множеств в несимметричных пространствах // Мат. сб. 2025. T. 216, № 2. C. 128–144. https://doi.org/10.4213/sm10104
13. Singer I. Some remarks on approximative compactness // Rev. Roum. Math. Pures Appl. 1964. Vol. 9, no. 2. P. 167–177.
14. Алимов А.Р., Царьков И.Г. Аппроксимативно компактные множества в несимметрично нормированных пространствах Ефимова – Стечкина и выпуклость почти солнц // Мат. заметки. 2021. T. 110, №. 6. C. 916–921. https://doi.org/10.4213/mzm13334
15. Царьков И.Г. О связности некоторых классов множеств в банаховых пространствах // Мат. заметки. 1986. T. 40, № 2. C. 174–196.
16. Алимов А.Р., Царьков И.Г. Связность и солнечность в задачах наилучшего и почти наилучшего приближения // Успехи мат. наук. 2016. T. 71, № 1. C. 3–84. https://doi.org/10.4213/rm9698
17. Стечкин С.Б. Аппроксимативные свойства множеств в линейных нормированных пространствах // Rev. Roum. Math. Pures Appl. 1963. Vol. 8, no. 1. P. 5–18.
18. Конягин С.В. Об аппроксимативных свойствах замкнутых множеств в банаховых пространствах и характеризации сильно выпуклых пространств // Докл. АН СССР. 1980. T. 251, № 2. C. 276–280.
19. Конягин С.В. Аппроксимативные свойства множеств в линейных нормированных пространствах: дисс. … канд. физ.-мат. наук / М.: МГУ. 1982. 100 c.
20. Karlov M.I., Approximative properties of compact $C^2$-manifolds in Hilbert space // East J. Appr. 1996. Vol. 2. P. 197–204.
21. Алимов А.Р., Царьков И.Г. B-полные множества и их аппроксимативные и структурные свойства // Сиб. мат. журн. 2022. T. 63, №. 3. C. 500–509. https://doi.org/10.33048/smzh.2022.63.302
22. Бердышев В.И. К вопросу о чебышёвских множествах // Докл. АН АзССР. 1966. T. 22, № 9. C. 3–5.
23. Klee V.L. Convex bodies and periodic homeomorphism in Hilbert space // Trans. Amer. Math. Soc. 1953. Vol 4. P. 10–43.
24. Кощеев В.А. Связность и некоторые аппроксимативные свойства множеств в линейных нормированных пространствах // Мат. заметки. 1975. T. 17, № 2. C. 193–204.
25. Кощеев В.А. Некоторые свойства δ-проекции в линейных нормированных пространствах // Изв. вузов. Математика. 1976. No. 5. C. 36–42.
26. Власов Л.П. Аппроксимативные свойства множеств в линейных нормированных пространствах // Успехи мат. наук. 1973. T. 28, № 6 (174). C. 3–66.
27. Пятышев И.А. Операции над аппроксимативно компактными множествами // Мат. заметки. 2007. T. 82, № 5. C. 729–735.
28. Алимов А.Р., Карлов М.И. Множества с внешним чебышевским слоем // Мат. заметки. 2001. T. 69, № 2. C. 303–307. https://doi.org/10.4213/mzm680
29. Балаганский В.С. Аппроксимативные свойства множеств в гильбертовом пространстве // Мат. заметки. 1982. T. 31, № 5. C. 785–800.
Поступила 1.04.2025
После доработки 6.06.2025
Принята к публикации 9.06.2025
Алимов Алексей Ростиславович
д-р. физ.-мат. наук, ведущий научн. сотрудник
механико-математический факультет
Московский государственный университет имени М.В. Ломоносова
г. Москва;
Санкт-Петербургский государственный университет
г. Санкт-Петербург
e-mail: alexey.alimov-msu@yandex.ru
Царьков Игорь Германович
д-р физ.-мат. наук, профессор
механико-математический факультет
Московский государственный университет имени М.В. Ломоносова;
Московский Центр фундаментальной и прикладной математики
г. Москва
e-mail: tsar@mech.math.msu.su
Ссылка на статью: А.Р. Алимов, И.Г. Царьков. Проекционно замкнутые множества и пространства Ефимова – Стечкина // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2025. Т. 31, № 3. С. 20–35.
English
A.R. Alimov, I.G. Tsar’kov. Projection closed sets and Efimov–Stechkin spaces
The paper is concerned with problems of existence, uniqueness, and stability of best approximants and related problems of solarity for not necessarily closed sets (in particular, such sets are not necessarily proximinal). We give definitions of the projection boundary and of a projection closed set. We show that if $X$ is a symmetrizable asymmetric Efimov–Stechkin space, then the set of points of approximative compactness of any nonempty projection closed set $M\subset X$ is of second category in the metric exterior $\operatorname{out}(M)$ of the set $M$. We also study relations between classes of sets in asymmetric Efimov–Stechkin spaces. We show that if $X$ is a symmetrizable Efimov–Stechkin space, $M\subset X$ is projection closed, and $\ell_0P_0$-connected, then $M$ is $\ell_0 \overset{\ \circ}{B}$-connected. Solarity problem for sets of uniqueness is studied. In particular, the well-known theorem dating back to V.I. Berdyshev and V.L. Klee on solarity of boundedly compact Chebyshev sets is extended to the case of sets of uniqueness. Results on solarity of boundedly precompact projection closed sets of uniqueness are obtained. We also obtain results on preservation of solarity and other approximative properties of sets when changing to closed neighborhoods $M+B(x,r)$ of sets. Special attention is given to the case of Chebyshev suns, for which a characterization theorem is obtained.
Keywords: projection boundary, projection closed set, connected set, best approximation, sun, Chebyshev sun, Efimov–Stechkin space, metrical exterior of a set, approximative compactness, approximative precompactness.
Received April 1, 2025
Revised June 6, 2025
Accepted June 9, 2025
Funding Agency: The paper was published with the financial support of the Ministry of Education and Science of the Russian Federation as part of the program of the Moscow Center for Fundamental and Applied Mathematics under the agreement no. 075-15-2025-013.
Alexey R. Alimov, Dr. Phys.-Math. Sci., Lomonosov Moscow State University, Faculty of Mechanics and Mathematics, Moscow, 119899 Russia; St. Petersburg State University, St. Petersburg, 199034 Russia, e-mail: alexey.alimov-msu@yandex.ru
Igor’ G. Tsar’kov, Prof., Dr. Phys.-Math. Sci., Lomonosov Moscow State University, Faculty of Mechanics and Mathematics, Moscow, 119899 Russia; Moscow Center for Fundamental and Applied Mathematics, Moscow, 119899 Russia, e-mail: tsar@mech.math.msu.su
Cite this article as: A.R. Alimov, I.G. Tsar’kov. Projection closed sets and Efimov–Stechkin spaces. Trudy Instituta Matematiki i Mekhaniki UrO RAN, 2025, vol. 31, no. 3, pp. 20–35.
[References -> on the "English" button bottom right]
