УДК 517.968.4
MSC: 45M20
DOI: 10.21538/0134-4889-2025-31-2-181-194
Исследование второго автора выполнено при финансовой поддержке Комитета по науке Республики Армения в рамках научного проекта № 23RL-1A027.
Исследуется класс нелинейных интегральных уравнений типа Гаммерштейна — Вольтерра на неотрицательной полупрямой. Указанный класс уравнений при различных частных представлениях соответствующего ядра и нелинейности находит применение в гидроаэродинамике, в теории переноса тепла излучением и в моделях популяционной генетики. Сочетание метода последовательных приближений с некоторыми геометрическими оценками для вогнутых и монотонных функций позволяет доказать конструктивные теоремы существования и единственности неотрицательного ограниченного и непрерывного решения указанного уравнения. Более того, устанавливается равномерная сходимость специальных последовательных приближений (со скоростью убывающей геометрической прогрессии) к решению. Рассматривается также соответствующее нелинейное “однородное” уравнение, и доказывается, что в классе неотрицательных медленно растущих функций данное уравнение имеет только тривиальное (нулевое) решение. В конце приводятся частные прикладные примеры уравнений, удовлетворяющих всем ограничениям доказанных утверждений.
Ключевые слова: монотонность, равномерная сходимость, ядро, нелинейность, ограниченное решение, непрерывность
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Keller J.J. Propagation of simple non-linear waves in gas filled tubes with friction // Z. Angew. Math. Phys. 1981. Vol. 32, no. 2. P. 170–181. https://doi.org/10.1007/BF00946746
2. Schneider W.R. The general solution of a non-linear integral equation of convolution type // Z. Angew. Math. Phys. 1982. Vol. 33, no. 1. P. 140–142. https://doi.org/10.1007/BF00948318
3. Okrasinski W. Nonlinear Volterra integral equations with convolution kernel // Extracta Math. 1989. Vol. 4, no. 2. P. 51–80.
4. Askhabov S.N. On an integral equation with sum kernel and an inhomogeneity in the linear part // Differ. Equat. 2021. Vol. 57, no. 2. P. 1185–1194.
5. Okrasinski W. On the existence and uniqueness of non-negative solutions of a certain non-linear convolution equation // Ann. Polon. Math. 1979. Vol. 36, no. 1. P. 61–72.
6. Okrasinski W. On a non-linear convolution equation occurring in the theory of water percolation // Ann. Pol. Math. 1980. Vol. 37, № 2. P. 223–229.
7. Askhabov S.N., Karapetyants N.K., Yakubov A.Ya. Integral equations of convolution type with power nonlinearity and systems of such equations // Dokl. Math. 1990. Vol. 41, no. 2. P. 323–327.
8. Askhabov S.N., Betilgiriev M.A. Nonlinear integral equations of convolution type with almost increasing kernels in cones // Differ. Equ. 1991. Vol. 27, no. 2. P. 234–242.
9. Bushell P.J., Okrasinski W. Nonlinear Volterra integral equations with convolution kernel // J. London Math. Soc. 1990. Vol. s2–41, no.. 2. P. 503–510. https://doi.org/10.1112/jlms/s2-41.3.503
10. Brunner H. Volterra integral equations: an introduction to theory and applications. Cambridge: Cambridge Univ. Press, 2017. 405 p. ISBN: 1107098726 .
11. Bushell P.J., Okrasinski W. Nonlinear Volterra integral equations and the Apéry identities // Bull. London Math. Soc. 1992. Vol. 24, № 5. P. 478–484.
12. Kilbas A.A., Saigo M. On solution of nonlinear Abel–Volterra integral equation // J. Math. Anal. Appl. 1999. Vol. 229, no. 1. P. 41–60. https://doi.org/10.1006/JMAA.1998.6139
13. Асхабов С.Н. Интегральное уравнение Вольтерра со степенной нелинейностью // Чеб. сб. 2022. Т. 23, № 5. С. 6–19. https://doi.org/10.22405/2226-8383-2022-23-5-6-19
14. Хачатрян А.Х., Хачатрян Х.А., Петросян А.С. Вопросы существования, отсутствия и единственности решения одного класса нелинейных интегральных уравнений на всей прямой с оператором типа Гаммерштейна — Cтилтьеса // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2024. Т. 30, № 1. С. 249–269. https://doi.org/10.21538/0134-4889-2024-30-1-249-269
Поступила 12.01.2025
После доработки 1.03.2025
Принята к публикации 10.03.2025
Петросян Айкануш Самвеловна
канд. физ.-мат. наук
доцент кафедры высшей математики, физики и прикладной механики
Национальный аграрный университет Армении
г. Ереван
e-mail: Haykuhi25@mail.ru
Хачатрян Хачатур Агавардович
д-р физ.-мат. наук, профессор
зав. кафедрой теории функций и дифференциальных уравнений
Ереванский государственный университет;
Институт математики НАН Армении
г. Ереван
e-mail: khachatur.khachatryan@ysu.am
Ссылка на статью: А.С. Петросян, Х.А. Хачатрян. О глобальной разрешимости одного класса нелинейных интегральных уравнений типа Гаммерштейна — Вольтерра на неотрицательной полупрямой // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2025. Т. 31, № 2. C. 181-194
English
H.S. Petrosyan, Kh.A. Khachatryan. On the global solvability of one class of nonlinear integral equations of Hammerstein–Volterra type on the nonnegative half-line
The class of nonlinear integral equations of the Hammerstein--Volterra type on the nonnegative half-line is studied. This class of equations, with various partial representations of the corresponding kernel and nonlinearity, has important applications in hydroaerodynamics, in the theory of radiative transfer, and in models of population genetics. The combination of the method of successive approximations with some geometric estimates for concave and monotone functions makes it possible to prove constructive theorems for the existence and uniqueness of a nonnegative bounded and continuous solution to the specified equation. Moreover, a uniform convergence of special successive approximations (at a rate of decreasing geometric progression) to the solution is established. The corresponding nonlinear ``homogeneous'' equation is also considered, and it is proven that in the class of nonnegative slowly growing functions, this equation has only a trivial (zero) solution. Lastly, particular applied examples of such equations that satisfy all the restrictions of the proven statements are given.
Keywords: monotonicity, uniform convergence, kernel, nonlinearity, bounded solution, continuity
Received January 12, 2025
Revised March 1, 2025
Accepted March 10, 2025
Funding Agency: The research of the second author was carried out with the financial support of the Science Committee of the RA within the framework of a scientific project No. 23RL-1A027.
Haykanush Samvelovna Petrosyan, Cand. Sci. (Phys.-Math.), Armenian National Agrarian University, 0009, Yerevan, Republic of Armenia, e-mail: Haykuhi25@mail.ru
Khachatur Aghavardovich Khachatryan, Dr. Phys.-Math. Sci., Prof., Yerevan State University, 0025, Yerevan; Institute of Mathematics NAS, 0019, Yerevan, Republic of Armenia, e-mail: khachatur.khachatryan@ysu.am
Cite this article as: H.S. Petrosyan, Kh.A. Khachatryan. On the global solvability of one class of nonlinear integral equations of Hammerstein–Volterra type on the nonnegative half-line. Trudy Instituta Matematiki i Mekhaniki UrO RAN, 2025, vol. 31, no. 2, pp. 181–194.
