УДК 517.977
MSC: 93C15, 93B03, 65K15, 33E05
https://doi.org/10.21538/0134-4889-2025-31-2-fon-05
В рамках математической модели “машина Дубинса” исследуется множество достижимости на плоскости. Предполагается, что скалярное управление стеснено комбинированным ограничением. Оно включает геометрическое ограничение на мгновенные значения управления и интегральное квадратичное ограничение на управление в целом. В основе построения множества достижимости лежит принцип максимума Понтрягина, формулируемый для движений, приходящих на его границу. Исследована структура возникающих экстремальных движений. Такие движения состоят из участков, являющихся эластиками Эйлера, и участков с постоянным управлением. Выписаны формулы для нахождения констант сопряженной системы принципа максимума. На их основе вводится способ однопараметрического описания границы множества достижимости. Приведены примеры численного расчета границы множества достижимости. Показано отличие получаемого множества от множества, которое является пересечением двух множеств достижимости, построенных только для случая геометрического ограничения и только для случая интегрального ограничения.
Ключевые слова: машина Дубинса, геометрическое и интегральное ограничения на управление, принцип максимума Понтрягина, двумерное множество достижимости, параметрическое описание границы, эластики Эйлера, численное моделирование
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Cockayne E.J., Hall G.W.C. Plane motion of a particle subject to curvature constraints // SIAM J. Control Optim. 1975. Vol. 13, no. 1. P. 197–220. https://doi.org/10.1137/0313012
2. Ардентов А.А., Сачков Ю.Л. Решение задачи Эйлера об эластиках // Автоматика и телемеханика. 2009. Вып. 4. С. 78–88.
3. Гусев М.И., Зыков И.В. Об экстремальных свойствах граничных точек множеств достижимости управляемых систем при интегральных ограничениях // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2017. Т. 23, № 1. С. 103–115. https://doi.org/10.21538/0134-4889-2017-23-1-103-115
4. Эйлер Л. Метод нахождения кривых линий, обладающих свойствами максимума, либо минимума или решение изопериметрической задачи, взятой в самом широком смысле. М.: Гостехиздат, 1934. 600 с.
5. Levien R. The elastica: a mathematical history / Electrical Engineering and Computer Sciences University of California at Berkeley. Technical Report No. UCB/EECS-2008-103. 2008. URL: http://www2.eecs.berkeley.edu/Pubs/TechRpts/2008/EECS-2008-103.pdf
6. Сачков Ю.Л. Левоинвариантные задачи оптимального управления на группах Ли, интегрируемые в эллиптических функциях // Успехи мат. наук. 2022. Т. 77, № 1. С. 109–176.
7. Пацко В.С., Трубников Г.И., Федотов А.А. Машина Дубинса с интегральным ограничением на управление: двумерное множество достижимости // Материалы междунар. конф. SCDG2024, посвящ. 100-летию Н.Н. Красовского. 2024. C. 242–245.
8. Трубников Г.И. Аналитика эллиптических функций при построении двумерного множества достижимости машины Дубинса с интегральным ограничением на управление // Материалы междунар. конф. SCDG2024, посвящ. 100-летию Н.Н. Красовского. 2024. C. 331–335.
9. Дарьин А.Н., Куржанский А.Б. Нелинейный синтез управлений при двойных ограничениях // Дифференц. уравнения. 2001. Т. 37, № 11. С. 1476–1484.
10. Gusev M.I. Computing the reachable set boundary for an abstract control system: revisited // Ural Math. J. 2023. Vol. 9, no 2. P. 99–108. https://doi.org/10.15826/umj.2023.2.008
11. Huseyin A., Huseyin N. Precompactness of the set of trajectories of the controllable system described by a nonlinear Volterra integral equation // Math. Model. Anal. 2012. Vol. 17, no. 5. P. 686–695. https://doi.org/10.3846/13926292.2012.736088
12. Patsko V.S., Trubnikov G.I., Fedotov A.A. Numerical study of a three-dimensional reachable set for a Dubins car under an integral control constraint // Commun. Optim. Theory. 2025. Vol. 2025. Article ID 24. P. 1–33. https://doi.org/10.23952/cot.2025.24
13. Зыков И.В. О задаче достижимости для нелинейной управляемой системы с интегральными ограничениями // CEUR Workshop Proc. 2017. Vol. 1894. C. 88–97.
14. Ли Э.Б., Маркус Л. Основы теории оптимального управления. М.: Наука, 1972. 574 с.
15. Miura T. Polar tangential angles and free elasticae // Math. in Engineering. 2021. Vol. 3. P. 1–12. https://doi.org/10.3934/mine.2021034
16. Love A.E.H. A treatise on the mathematical theory of elasticity. 4th ed. NY: Dover Publications, 1944. 643 p.
17. Сикорский Ю.С. Элементы теории эллиптических функций: С приложениями к механике. М.: КомКнига, 2006. 368 с.
Поступила 15.02.2025
После доработки 31.03.2025
Принята к публикации 1.04.2025
Опубликована онлайн 7.04.2025 (Online First 2025)
Пацко Валерий Семенович
канд. физ.-мат. наук
ведущий науч. сотрудник
Институт математики и механики им. Н.Н. Красовского УрО РАН
г. Екатеринбург
e-mail: patsko@imm.uran.ru
Трубников Георгий Игоревич
математик
Институт математики и механики им. Н.Н. Красовского УрО РАН;
Уральский федеральный университет
г. Екатеринбург
e-mail: jora_it@mail.ru
Федотов Андрей Анатольевич
канд. физ.-мат. наук
старший науч. сотрудник
Институт математики и механики им. Н.Н. Красовского УрО РАН
г. Екатеринбург
e-mail: andreyfedotov@mail.ru
Ссылка на статью: В.С. Пацко, Г.И. Трубников, А.А. Федотов. Двумерное множество достижимости машины Дубинса при геометрическом и интегральном ограничениях на управление // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН, 2025. Т. 31, № 2. С. 162–180
V.S. Patsko, G.I. Trubnikov, A. A. Fedotov Two-dimensional reachable set of Dubins car with both geometric and integral constraints on control
Within the framework of the mathematical model ``Dubins car'', the reachable set on the plane is investigated. It is assumed that scalar control is constrained by a combined constraint. It includes a geometric constraint on the instantaneous control values and an integral quadratic constraint on the control as a whole. The construction of the reachable set is based on the Pontryagin maximum principle formulated for motions arriving at its boundary. The structure of emerging extreme motions is investigated. These motions consist of parts that are Euler elasticae and parts with constant control. Formulas for finding the constants of the conjugate system of the maximum principle are written out. On their basis, a method of one-parameter description of the reachable set boundary is introduced. Examples of numerical calculations of the reachable set boundary are given. The difference between the resulting set and the set that is the intersection of two reachable sets constructed only for the case of the geometric constraint and only the integral constraint is shown.
Keywords: Dubins car, geometric and integral constraints on control, Pontryagin maximum principle, two-dimensional reachable set, parametric description of the boundary, Euler elasticae, numerical modelling.
Received February 15, 2025
Revised March 31, 2025
Accepted April 1, 2025
Published online April 7, 2025 (Online First 2025)
Valerii S. Patsko, Cand. Sci. (Phys.-Math.), Krasovskii Institute of Mathematics and Mechanics of the Ural Branch of the Russian Academy of Sciences, Yekaterinburg, 620108 Russia, e-mail: patsko@imm.uran.ru
Georgii I.Trubnikov, Krasovskii Institute of Mathematics and Mechanics of the Ural Branch of the Russian Academy of Sciences, Yekaterinburg, 620108 Russia, Ural Federal University named after the first President of Russia B.N.Yeltsin, Yekaterinburg, 620000 Russia, e-mail: jora_it@mail.ru
Andrey A. Fedotov, Cand. Sci. (Phys.-Math.), Krasovskii Institute of Mathematics and Mechanics of the Ural Branch of the Russian Academy of Sciences, Yekaterinburg, 620108 Russia, e-mail: andreyfedotov@mail.ru
Cite this article as: V.S. Patsko, G.I. Trubnikov, A.A. Fedotov. Two-dimensional reachable set of Dubins car with both geometric and integral constraints on control. Trudy Instituta Matematiki i Mekhaniki UrO RAN, 2025, vol.31, no. 2, pp. 162–180
