УДК 517.977
MSC: 93C41, 93C55, 93C10, 93B52, 52B12
DOI: 10.21538/0134-4889-2025-31-2-125-140
Рассматривается задача уклонения в условиях неопределенности для многошаговых систем с исходно линейной структурой и фазовыми ограничениями, где действуют управления $u$, $U$ и $v$, причем $u$ и $v$ входят аддитивно, а $U$ — в матрицу системы. В рассматриваемой задаче синтеза управлений, которую называем задачей усиленного уклонения, цель $v$ — либо избежать попадания траектории на заданное терминальное множество в заданный конечный момент времени и на последовательность множеств, заданных в предыдущие моменты, либо нарушить хотя бы одно из фазовых ограничений, каковы бы ни были допустимые реализации $u$ и $U$. Наличие $U$ привносит в системы нелинейность и приводит к системам билинейного типа. Предполагается, что терминальное и промежуточные множества являются параллелепипедами, управления $u$ и $v$ стеснены параллелотопозначными ограничениями, $U$ — интервальными, а фазовые ограничения заданы в виде полос. Разработан полиэдральный метод синтеза управлений $v$ с использованием полиэдральных (параллелепипедозначных) трубок, которые могут быть найдены из рекуррентных соотношений по явным формулам. Для получения решения рассматриваемой задачи найдено решение вспомогательной одношаговой полиэдральной задачи уклонения с билинейностью. Отмечены ее связи с проблематикой из интервального анализа, касающейся так называемых множеств кванторных решений интервальных уравнений. Приведены примеры, иллюстрирующие работоспособность метода.
Ключевые слова: системы с неопределенностью, задача уклонения, синтез управлений, билинейные системы, фазовые ограничения, полиэдральные методы, параллелепипеды, интервальный анализ
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Krasovskii N.N., Subbotin A.I. Game-theoretical control problems. NY: Springer, 1988. 517 p.
2. Kurzhanski A., Vályi I. Ellipsoidal calculus for estimation and control. Boston: Birkhäuser, 1996. 321 p.
3. Kurzhanski A.B., Varaiya P. Dynamics and control of trajectory tubes: theory and computation. Basel: Birkhäuser, 2014. 445 p. https://doi.org/10.1007/978-3-319-10277-1
4. Kurzhanski A.B., Daryin A.N. Dynamic programming for impulse feedback and fast controls: The linear systems case. London: Springer, 2020. 275p. https://doi.org/10.1007/978-1-4471-7437-0
5. Ушаков В.Н., Тарасьев А.М., Ушаков А.В. Минимаксная дифференциальная игра с фиксированным моментом окончания // Мат. теория игр и ее приложения. 2024. Т. 16, № 3. С. 77–112.
6. Kurzhanski A.B., Mitchell I.M., Varaiya P. Control synthesis for state constrained systems and obstacle problems // IFAC Proceedings Volumes (IFAC-PapersOnline). 2004. Vol. 37, no. 13. P. 657–662. https://doi.org/10.1016/S1474-6670(17)31299-5
7. Ананьев Б.И., Гусев М.И., Филиппова Т.Ф. Управление и оценивание состояний динамических систем с неопределенностью. Новосибирск: Изд-во СО РАН, 2018. 193 с.
8. Althoff M., Frehse G., Girard A. Set propagation techniques for reachability analysis // Annu. Rev. Control. Robotics Auton. Syst. 2021. Vol. 4. P. 369–395. https://doi.org/10.1146/annurev-control-071420-081941
9. Patsko V., Kumkov S.I., Turova V. Pursuit-evasion games // Basar T., Zaccour G. (eds.) Handbook of Dynamic Game Theory. Cham: Springer, 2018. P. 951–1038. https://doi.org/10.1007/978-3-319-44374-4_30
10. Черноусько Ф.Л. Оценивание фазового состояния динамических систем. Метод эллипсоидов. М.: Наука, 1988. 319 с.
11. Kurzhanskiy A.A., Varaiya P. Reach set computation and control synthesis for discrete-time dynamical systems with disturbances // Automatica. 2011. Vol. 47, no. 7. P. 1414–1426. https://doi.org/10.1016/j.automatica.2011.02.009
12. Chernousko F.L., Rokityanskii D.Ya. Ellipsoidal bounds on reachable sets of dynamical systems with matrices subjected to uncertain perturbations // J. Optimiz. Theory Appl. 2000. Vol. 104, no. 1. P. 1–19. https://doi.org/10.1023/A:1004687620019
13. Filippova T.F. HJB-inequalities in estimating reachable sets of a control system under uncertainty // Ural Math. J. 2022. Vol. 8, no. 1. P. 34–42. https://doi.org/10.15826/umj.2022.1.004
14. Vicino A., Zappa G. Sequential approximation of feasible parameter sets for identification with set membership uncertainty // IEEE Trans. Autom. Control. 1996. Vol. 41, no. 6. P. 774–785. https://doi.org/10.1109/9.506230
15. Kostousova E.K. On the polyhedral method of solving problems of control strategy synthesis // Proc. Steklov Inst. Math. (Suppl.) 2016. Vol. 292, Suppl. 1. P. S140–S155. https://doi.org/10.1134/S0081543816020127
16. Martynov K., Botkin N.D., Turova V.L., Diepolder J. Quick construction of dangerous disturbances in conflict control problems // Annals of the International Society of Dynamic Games. 2020. Vol. 17. P. 3–24. https://doi.org/10.1007/978-3-030-56534-3_1
17. Sinyakov V., Girard A. Abstraction of continuous-time systems based on feedback controllers and mixed monotonicity // IEEE Trans. Autom. Control. 2023. Vol. 68, no. 8. P. 4508–4522. https://doi.org/10.1109/TAC.2022.3205423
18. Kostousova E.K. On polyhedral control synthesis for dynamical discrete-time systems under uncertainties and state constraints // Discr. Cont. Dynam. Syst. 2018. Vol. 38, no. 12. P. 6149–6162. https://doi.org/10.3934/dcds.2018153
19. Kostousova E.K. On solving terminal approach and evasion problems for linear discrete-time systems under state constraints // Vestn. Udmurtsk. Univ. Mat. Mekh. Komp. Nauki. 2024. vol. 34, no. 2. P. 204–221. https://doi.org/10.35634/vm240203
20. Костоусова Е.К. О синтезе управлений в задаче усиленного уклонения для линейных многошаговых систем // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2023. Т. 29, № 1. С. 111–126. https://doi.org/10.21538/0134-4889-2023-29-1-111-126
21. Martynov K., Botkin N., Turova V., Diepolder J. Real-time control of aircraft take-off in windshear. Part I: Aircraft model and control schemes // IEEE Xplore Digital Library. 2017 25th Mediterranean Conference on Control and Automation (MED 2017), July 3–6, 2017, Valletta, Malta: Proc. P. 277–284. https://doi.org/10.1109/MED.2017.7984131
22. Костоусова Е.К. Параллельные вычисления при оценивании областей достижимости и информационных множеств линейных систем // Алгоритмы и программные средства параллельных вычислений: сб. науч. тр. Екатеринбург: Изд-во УрО РАН, 1999. Вып. 3. С. 107–126.
23. Шарый С.П. Конечномерный интервальный анализ. ФИЦ ИВТ: Новосибирск, 2024. 671 с. URL: http://www.nsc.ru/interval/Library/InteBooks/SharyBook.pdf .
24. Nikol’skii M.S. Some optimal control problems associated with Richardson’s arms race model // Comput. Math. Model. 2015. Vol. 26, no. 1. P. 52–60. https://doi.org/10.1007/s10598-014-9256-8
25. Пацко В.С., Ушаков В.Н. Антагонистические дифференциальные игры. БРЭ. URL: https://bigenc.ru/c/antagonisticheskie-differentsial-nye-igry-4c1915/?v=....
Поступила 4.02.2025
После доработки 14.03.2025
Принята к публикации 17.03.2025
Костоусова Елена Кирилловна
д-р физ.-мат. наук, ведущий науч. сотрудник
Институт математики и механики им. Н.Н. Красовского УрО РАН
г. Екатеринбург
e-mail: kek@imm.uran.ru
Ссылка на статью: Е.К. Костоусова. О полиэдральном методе синтеза управлений для задачи усиленного уклонения в многошаговых системах с билинейностью и фазовыми ограничениями // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2025. Т. 31, № 2. C. 125-140
English
E.K. Kostousova. On the polyhedral method of control synthesis for an enhanced evasion problem for discrete-time systems with bilinearity and state constraints
The evasion problem under uncertainty is considered for discrete-time systems with an initially linear structure and state constraints, where controls u, U, and v act; u and v enter additively, and U enters into the system matrix. In the considered control synthesis problem, which we call the enhanced evasion problem, the aim of v is either to avoid the trajectory to hit a given terminal set at a given final moment, as well as a sequence of sets specified at previous moments, or to violate at least one of the state constraints, whatever the admissible realizations of u and U. The presence of U introduces nonlinearity into the systems and leads to bilinear type systems. It is assumed that the terminal and intermediate sets are parallelepipeds, the controls u and v are constrained by parallelotope-valued constraints, U by interval constraints, and the state constraints are specified in the form of zones. A polyhedral method for synthesizing controls v is developed using polyhedral (parallelepiped-valued) tubes, which can be found from recurrence relations using explicit formulas. To obtain a solution to the problem under consideration, a solution to an auxiliary one-step polyhedral evasion problem with bilinearity is found. Its connections with the problems of interval analysis concerning the so-called sets of quantifier solutions to interval equations are noted. Examples illustrating the efficiency of the method are given.
Keywords: uncertain systems, evasion problem, control synthesis, bilinear systems, state constraints, polyhedral methods, parallelepipeds, interval analysis
Received February 4, 2025
Revised March 14, 2025
Accepted March 17, 2025
Elena Kirillovna Kostousova, Dr. Phys.-Math. Sci., Krasovskii Institute of Mathematics and Mechanics of the Ural Branch of the Russian Academy of Sciences, Yekaterinburg, 620108 Russia, e-mail: kek@imm.uran.ru
Cite this article as: E.K. Kostousova. On the polyhedral method of control synthesis for an enhanced evasion problem for discrete-time systems with bilinearity and state constraints. Trudy Instituta Matematiki i Mekhaniki UrO RAN, 2025, vol. 31, no. 2, pp. 125–140.
