УДК 517.51
MSC: 42A10, 42B05, 46E35
DOI: 10.21538/0134-4889-2024-30-4-9-26
Работа выполнена в рамках грантового финансирования Комитета науки Министерства науки и высшего образования РК (проект AP19677486).
В статье рассматриваются симметричное пространство периодических функций многих переменных, в частности обобщенное пространство Лоренца — Зигмунда и класс Никольского — Бесова в этом пространстве. Установлены оценки приближения частными суммами по ступенчатым гиперболическим крестам Фурье функций из класса Никольского — Бесова в равномерной метрике. Доказан аналог неравенства Джексона — Никольского для кратного тригонометрического полинома в нормах обобщенного пространства Лоренца — Зигмунда и пространства непрерывных функций.
Ключевые слова: симметричное пространство, сумма Фурье, класс Никольского — Бесова, пространство Лоренца — Зигмунда
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Крейн С.Г., Петунин Ю.И., Семенов Е.М. Интерполяция линейных операторов. М.: Наука, 1978. 400 с.
2. Bennet C., Sharpley R. Interpolation of operators. NY: Acad. Press, 1988. 469 p.
3. Семенов Е.М. Интерполяция линейных операторов в симметричных пространствах // Докл. АН СССР. 1965. Т. 164, № 4. С. 746–749.
4. Стейн И., Вейс Г. Введение в гармонический анализ на евклидовых пространствах. М.: Мир, 1974. 333 p.
5. Edmunds D., Gurka P. On embeddings of logarithmic Bessel potential spaces // J. Funct. Anal. 1997. Vol. 146. P. 116–150. Art. no. FU963037. doi: 10.1006/jfan.1996.3037
6. Opic B., Pick L. On generalized Lorentz–Zygmund spaces // Math. Inequal. Appl. 1999. Vol. 2, no. 3. P. 391–467. doi: 10.7153/mia-02-35
7. Bennet C., Rudnik K. On Lorentz–Zygmund spaces // Disser. Math. Vol. 175. 1979. 66 p.
8. Лизоркин П.И., Никольский С.М. Пространства функций смешанной гладкости с декомпозиционной точки зрения // Тр. МИАН СССР. 1989. Т. 187. С. 143–161.
9. Аманов Т. И. Пространства дифференцируемых функций с доминирующей смешанной производной. Алма-ата : Наука, 1976. 224 с.
10. Lebesgue Н., Sur la representation trigonometrique approchee des fonetions satisfaisant a une condition de Lipschitz // Bull. Soc. Math. France. 1910. Vol. 38. P. 184–210.
11. Осколков К.И. К неравенству Лебега в равномерной метрике и на множестве полной меры // Мат. заметки. 1975. Т. 18, № 4. С. 515–526.
12. Байбородов С.П. Константы Лебега и приближение функций прямоугольными суммами Фурье в $L^p(T^m)$ // Мат. заметки. 1983. Т. 34, № 1. С. 77–90.
13. Давыдов О.В. О приближении индивидуальных функций прямоугольными суммами Фурье // Докл. АН CCCР. 1992. Т. 327, № 3. С. 295–298.
14. Стечкин С.Б. О приближении периодических функций суммами Фейера // Тр. МИАН СССР. 1961. Т. 62. С. 48–60.
15. Stečkin S.B. On the approximation of periodic functions by de la Vallee Poussin sums // Anal. Math. 1978. Vol. 4, no. 1. P. 61–74. doi: 10.1007/BF01904859
16. Дамен В. О наилучшем приближении и суммах Валле-Пуссена // Мат. заметки. 1978. Т. 23, № 5. С. 671–683.
17. Гейт В.Э. О точности некоторых неравенств в теории приближений // Мат. заметки. 1971. Т. 10, № 5. С. 571–582.
18. Ильясов Н.А. О порядке приближения в равномерной метрике средними Фейера — Зигмунда на классах $E_{p}(\varepsilon)$ // Мат. заметки. 2001. Т. 69, № 5. С. 679–687.
19. Trigub R.M., Belinsky E.S. Fourier analysis and approximation of functions. Dordrecht: Springer Publ., 2004. 586 p. doi: 10.1007/978-1-4020-2876-2
20. Jia-Ding Cao Stečkin inequalities for summability methods // Int. J. Math. Math. Sci. 1997. Vol. 20, no. 1. P. 93–100. doi: 10.1155/S0161171297000136
21. Лифлянд И.Р. Точный порядок констант Лебега гиперболических частных сумм кратных рядов Фурье // Мат. заметки. 1986. Т. 39, № 5. С. 674–683.
22. Темляков В.Н. Оценки асимптотических характеристик классов функций с ограниченной смешанной производной или разностью // Тр. МИАН. 1989. Т. 189. С. 138–168.
23. Романюк А.С. Приближение классов $B_{p, \theta}^{\overline{r}}$ периодических функций многих переменных линейными методами и наилучшие приближения // Мат. сб. 2004. Т. 195, № 2. С. 91–116.
24. Акишев Г. О порядках M-членных приближений классов функций симметричного пространства // Мат. журн. 2014. Т.14, № 4. C. 46–71.
25. Лапин С.В. Некоторые теоремы вложения для произведений функций. Деп. в ВИНИТИ. 20 фев. 1985. № 1036–80Деп. 31 с.
26. Шерстнева Л.А. О свойствах наилучших приближений Лоренца и некоторые теоремы вложения // Изв. вузов. Математика. 1987. № 10. С. 48–58.
27. Бекмаганбетов К.А. О порядках приближения класса Бесова в метрике анизотропных пространств Лоренца // Уфим. мат. журн. 2009. Vol. 1, № 2. P. 9–16.
28. Темляков В.Н. Приближение функций с ограниченной смешанной производной // Тр. МИАН АН СССР. 1986. Т. 178. С. 1–112.
29. Никольский С.М. Приближение функций многих переменных и теоремы вложения. М.: Наука, 1977. 456 с.
30. Capone Claudia, Fiorenza Alberto. On small Lebesgue spaces // J. Func. Space Appl. 2005. Vol. 3, no. 1. P. 73–89. doi: 10.1155/2005/192538
31. Kokilashvili V., Meskhi A., Rafeiro H., Samko S. Integral operators in non-standard function spaces. Vol. 1. Variable exponent Lebesgue and amalgam spaces. Cham: Birkhäuser, 2016. 567 p.
32. Neves J.S. Lorentz–Karamata spaces, Bessel and Riesz potential and embeddings // Disser. Math. Vol. 405. 2002. P.1–46. doi: 10.4064/dm405-0-1
33. Temlyakov V.N. On optimal recovery in $L_2$ // J. Complexity. 2021. Vol. 65. Art. no. 101545. doi: 10.1016/j.jco.2020.101545
34. Krieg D., Pozharska K., Ullrich M., Ullrich T. Sampling recovery in the uniform norm [e-resource]. 2023. 29 p. https://doi.org/10.48550/arXiv.2305.07539
Поступила 16.08.2024
После доработки 29.10.2024
Принята к публикации 4.11.2024
Акишев Габдолла д-р физ.-мат. наук, профессор
Московский государственный университет имени М.В. Ломоносова
Казахстанский филиал, г. Астана, Казахстан;
Институт математики и математического моделирования, г. Алматы, Казахстан
e-mail: akishev_g@mail.ru
Ссылка на статью: Г. Акишев. Об оценках приближения функции из симметричного пространства суммами Фурье в равномерной метрике // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2024. Т. 30, № 4. С. 9-26
English
G. Akishev. On estimates of the approximation of functions from a symmetric space by Fourier sums in the uniform metric
The article discusses the symmetric space of periodic functions of several variables, specifically, the generalized Lorentz–Zygmund space and the Nikol’skii–Besov class within this space. Estimates for the approximation of functions from the Nikol’skii–Besov class by partial sums over step hyperbolic crosses of Fourier series are established in the uniform metric. An analog of the Jackson–Nikol’skii inequality for multiple trigonometric polynomials in the norms of the generalized Lorentz–Zygmund space and the space of continuous functions is proved.
Keywords: symmetric space, Fourier sum, Nikol’skii–Besov class, Lorentz–Zygmund space
Received August 16, 2024
Revised October 29, 2024
Accepted November 4, 2024
Funding Agency: The work was supported by the Science Committee of the Ministry of Science and Higher Education of the Republic of Kazakhstan (grant AP19677486).
Gabdolla Akishev, Dr. Phys.-Math. Sci., Prof., Lomonosov Moscow University, Kazakhstan Branch, Astana, 010010 Republic of Kazakhstan; Institute of mathematics and mathematical modeling, Almaty, 050010 Republic of Kazakhstan; e-mail: akishev_g@mail.ru
Cite this article as: G. Akishev. On estimates of the approximation of functions from a symmetric space by Fourier sums in the uniform metric. Trudy Instituta Matematiki i Mekhaniki UrO RAN, 2024, vol. 30, no. 4, pp. 9–26.
[References -> on the "English" button bottom right]
