УДК 517.977.8
MSC: 49N70, 91A23, 49L25
DOI: 10.21538/0134-4889-2024-30-3-255-273
Работа выполнена в рамках исследований, проводимых в Уральском математическом центре при финансовой поддержке Министерства науки и высшего образования Российской Федерации (номер соглашения 075-02-2024-1377).
Изучается игровая задача о сближении в фиксированный момент времени конфликтно управляемой системы с компактом в конечномерном евклидовом пространстве. Основу схем конструирования решений задачи составляют методы теории позиционных дифференциальных игр, созданной Н. Н. Красовским и А. И. Субботиным во второй половине XX в. В задаче не предполагается, вообще говоря, выполнение условия седловой точки в маленькой игре, и поэтому задача рассматривается в минимаксной постановке. Для широкого класса конфликтно управляемых систем описаны и обоснованы схемы приближенного вычисления минимаксных $u$-стабильных трактов и мостов. Полученные результаты составляют один из этапов приближенного вычисления решений игровой задачи, связанных с дискретизацией промежутка времени, на котором происходит игра.
Ключевые слова: управляемая система, $u$-стабильный мост, $u$-стабильный тракт, множество разрешимости, игровая задача о сближении
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Красовский Н.Н. Игровые задачи о встрече движений. М.: Наука, 1970. 420 с.
2. Красовский Н.Н., Субботин А.И. Позиционные дифференциальные игры. М.: Наука, 1974. 456 с.
3. Субботин А.И., Ченцов А.Г. Оптимизация гарантии в задачах управления. М.: Наука, 1981. 287 с.
4. Осипов Ю.С. Минимаксное поглощение в дифференциальных играх // Докл. АН СССР. 1972. Т. 203, № 1. C. 32–35.
5. Красовский Н.Н., Субботин А.И., Ушаков В.Н. Минимаксная дифференциальная игра // Докл. АН СССР. 1972. Т. 206, № 2. С. 277–280.
6. Куржанский А.Б. Избранные труды. М.: изд-во Моск. ун-та, 2009. 756 с.
7. Субботин А.И., Субботина Н.Н. Необходимые и достаточные условия для кусочно-гладкой цены дифференциальной игры // Докл. АН СССР. 1978. Т. 243. № 4. С. 862–865.
8. Ушаков В.Н. К теории минимаксных дифференциальных игр. Ч. 1. Свердловск, 1980. Деп. в ВИНИТИ 16.10.80. № 4425-80.
9. Гомоюнов М.И., Лукоянов Н.Ю. К вопросу численного решения дифференциальных игр для линейных систем нейтрального типа // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2017. Т. 23, № 1. С. 75–87. doi: 10.21538/0134-4889-2017-23-1-75-87
10. Ушаков В.Н. К задаче построения стабильных мостов в дифференциальной игре сближения-уклонения // Изв. АН СССР. Техн. кибернетика. 1980. № 4. С. 29–36.
11. Тарасьев А.М., Ушаков В.Н., Хрипунов А.П. Об одном вычислительном алгоритме решения игровых задач управления // Прикл. математика и механика. 1987. Т. 51, № 2. С. 216–222.
12. Тарасьев А.М. Конструкции и методы негладкого анализа в задачах оптимального гарантированного управления : автореферат дис. …д-р. физ.-мат. наук: 01.01.02 / Ин-т математики и механики. Екатеринбург, 1996. 32 с.
13. Григорьева С.В., Пахотинских В.Ю., Успенский А.А., Ушаков В.Н. Конструирование решений в некоторых дифференциальных играх с фазовыми ограничениями // Мат. сб. 2005. Т. 196, №4. С. 51–78.
14. Красовский Н.Н. К задаче унификации дифференциальных игр // Докл. АН СССР. 1976. Т. 226, № 6. С. 1260–1263.
15. Красовский Н.Н. Унификация дифференциальных игр // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 1977. № 24. С. 32–45.
16. Субботин А.И. Минимаксные неравенства и уравнения Гамильторна — Якоби. M.: Наука, 1991. 216 с.
17. Субботин А.И. Обобщенные решения уравнений в частных производных первого порядка. Москва; Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2003. 336 с.
18. Fleming W.H. The convergence problem for differential games // J. Math. Anal. and Appl. 1961. Vol. 3. P. 102–116.
19. Понтрягин Л.С. О линейных дифференциальных играх. 1 // Докл. АН СССР. 1967. Т. 174, № 6. С. 1278–1280.
20. Понтрягин Л.С. О линейных дифференциальных играх. 2 // Докл. АН СССР. 1967. Т. 175, № 1. С. 764–766.
21. Никольский М.С. Об альтернированном интеграле Л.С. Понтрягина // Мат. сб. 1981. Т. 116, № 1. С. 136–144.
22. Никольский М.С. О нижнем альтернированном интеграле Л.С. Понтрягина // Мат. сб. 1985. Т. 128, № 1. С. 35–49.
23. Половинкин Е.С., Иванов Г.Е., Балашов М.В., Константинов Р.В., Хорев А.В. Об одном алгоритме численного решения линейных дифференциальных игр // Мат. сб. 2001. Т. 192, № 10. С. 95–122.
24. Азамов А. Полуустойчивость и двойственность в теории альтернированного интеграла Понтрягина // Докл. АН СССР. 1988. Т. 299, № 2. С. 265–268.
25. Пшеничный Б.Н. Структура дифференциальных игр // Докл. АН СССР. 1969. Т. 184, № 2. С. 285–287.
26. Черноусько Ф.Л., Меликян А.А. Игровые задачи управления и поиска. М.: Наука, 1978. 270 с.
27. Пацко В.С. Задача качества в линейных дифференциальных играх второго порядка // Дифференциальные игры и задачи управления: cб. ст. / ред. А.Б. Куржанский. Свердловск: УНЦ АН СССР, 1975. С. 167–227.
28. Cardaliaguet P., Quincampoix M., Saint-Pierre P. Pursuit differential games with state constraints // SIAM J. Control Optim. 2000. Vol. 39, no. 5. P. 1615–1632.
29. Bardi M., Falcone M., Soravia P. Numerical methods for pursuit-evasion games via viscosity solutions // Stochastic and differential games, Annals of the International Society of Dynamic Games. 1999. Vol. 4. P. 105–175.
Поступила 26.05.2024
После доработки 17.07.2024
Принята к публикации 22.07.2024
Ушаков Владимир Николаевич
д-р физ.-мат. наук, профессор
гл. науч. сотрудник
Институт математики и механики им. Н.Н. Красовского УрО РАН
г. Екатеринбург
e-mail: ushak@imm.uran.ru
Ершов Александр Анатольевич
канд. физ.-мат. наук
старший науч. сотрудник
Институт математики и механики им. Н.Н. Красовского УрО РАН
г. Екатеринбург
e-mail: ale10919@yandex.ru
Ссылка на статью: В.Н. Ушаков, А.А. Ершов. К конструированию решений игровой задачи с фиксированным моментом окончания // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2024. Т. 30, № 3. С.255-273
English
V.N. Ushakov, A.A. Ershov. On the construction of solutions to a game problem with a fixed end time
We study the game problem of convergence of a conflict-control system with a compact set in a finite-dimensional Euclidean space at a fixed time. The schemes for constructing solutions of the problem are based on the methods of the theory of positional differential games designed by N.N. Krasovskii and A.I. Subbotin in the second half of the 20th century. In general, the problem does not assume that the saddle point condition in the small game is satisfied, and therefore the problem is considered in the minimax formulation. New schemes for the approximate calculation of minimax $u$-stable paths and bridges are described and justified for a wide class of conflict-control systems. The obtained results constitute a stage of the approximate calculation of solutions to the game problem, which is associated with the discretization of the time interval on which the game takes place.
Keywords: control system, $u$-stable bridge, $u$-stable path, solvability set, game problem of convergence
Received May 26, 2024
Revised July 17, 2024
Accepted July 22, 2024
Funding Agency: The work was performed as part of research conducted in the Ural Mathematical Center with the financial support of the Ministry of Science and Higher Education of the Russian Federation (Agreement number 075-02-2024-1377).
Vladimir Nikolaevich Ushakov, Corresponding member of RAS, Dr. Phys.-Math. Sci., Prof., Krasovskii Institute of Mathematics and Mechanics of the Ural Branch of the Russian Academy of Sciences, Yekaterinburg, 620108 Russia, e-mail: ushak@imm.uran.ru
Aleksandr Anatol’evich Ershov, Cand. Sci. (Phys.-Math.), Krasovskii Institute of Mathematics and Mechanics of the Ural Branch of the Russian Academy of Sciences, Yekaterinburg, 620108 Russia, e-mail: ale10919@yandex.ru
Cite this article as: V.N. Ushakov, A.A. Ershov. On the construction of solutions to a game problem with a fixed end time. Trudy Instituta Matematiki i Mekhaniki UrO RAN, 2024, vol. 30, no. 3, pp. 255–273.
[References -> on the "English" button bottom right]
