УДК 517.977
MSC:34H05, 49N45
DOI: 10.21538/0134-4889-2024-30-3-229-240
В работе предлагается новая формула минимаксного решения краевой задачи Коши для уравнения Гамильтона — Якоби в случае, когда гамильтониан зависит от времени и градиента по фазовой переменной минимаксного решения. Эта формула является обобщением формулы Хопфа. Показано на конкретном примере, что эта формула справедлива для минимаксного решения уравнения Гамильтона — Якоби в задаче Коши, которая возникает в позиционной дифференциальной игре “мальчик и крокодил”. Предложенная формула описывает функцию цены в этой дифференциальной игре.
Ключевые слова: позиционная дифференциальная игра, функция цены, уравнение Гамильтона — Якоби, формула Хопфа, производная по направлению, минимаксное решение
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Красовский Н.Н. Теория управления движением. М: Наука, 1968. 475 с.
2. Красовский Н.Н., Субботин А.И. Позиционные дифференциальные игры. М.: Наука, 1974. 456 с.
3. Субботин А.И. Обобщенные решения уравнений в частных производных первого порядка. Перспективы динамической оптимизации. М.; Ижевск: Ин-т компьютер. исслед., 2003. 336 c.
4. Subbotin A.I. Generalization of the main equation of differential game theory // J. Optim. Theory Appl. 1984. Vol. 43, no. 1. P. 103–133.
5. Субботин А. И. Минимаксные неравенства и уравнения Гамильтона — Якоби. М.: Наука, 1991. 216 c.
Поступила 27.05.2024
После доработки 6.06.2024
Принята к публикации 24.06.2024
Субботина Нина Николаевна
д-р физ.-мат. наук, чл.-корр. РАН
главный науч. сотрудник
Институт математики и механики им. Н.Н. Красовского УрО РАН;
профессор
Уральский федеральный университет
г. Екатеринбург
e-mail: subb@uran.ru
Родин Алексей Семенович
младший науч. сотрудник
Институт математики и механики им. Н.Н. Красовского УрО РАН;
ассистент
Уральский федеральный университет
г. Екатеринбург
e-mail: alexey.rodin.ekb@gmail.com
Ссылка на статью: Н.Н. Субботина, А.С. Родин. Обобщенная формула Хопфа для функции цены в позиционной дифференциальной игре "мальчик и крокодил" // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2024. Т. 30, № 3. С. 229-240
English
N.N. Subbotina, A.S. Rodin. Generalized Hopf formula for the value function in the positional differential game “Boy and Crocodile”
The paper proposes a new formula for the minimax solution to the Cauchy boundary value problem for the Hamilton–Jacobi equation in the case when the Hamiltonian depends on time and the gradient in the phase variable of the minimax solution. This formula is a generalization of the Hopf formula. It is shown using a specific example that this formula is true for the minimax solution of the Hamilton–Jacobi equation in the Cauchy problem, which arises in the positional differential game “Boy and Crocodile.” The proposed formula describes the value function in this differential game.
Keywords: positional differential game, value function, Hamilton–Jacobi equation, Hopf formula, directional derivative, minimax solution
Received May 27, 2024
Revised June 6, 2024
Accepted June 24, 2024
Nina Nikolaevna Subbotina, Dr. Phys.-Math. Sci., Prof., Corresponding Member of RAS, Krasovskii Institute of Mathematics and Mechanics of the Ural Branch of the Russian Academy of Sciences, Yekaterinburg, 620108 Russia; Ural Federal University, Yekaterinburg, 620000 Russia,
e-mail: subb@uran.ru
Aleksei Semenovich Rodin, Krasovskii Institute of Mathematics and Mechanics of the Ural Branch of the Russian Academy of Sciences, Yekaterinburg, 620108 Russia; Ural Federal University, Yekaterinburg, 620000 Russia, e-mail: alexey.rodin.ekb@gmail.com
Cite this article as: N.N. Subbotina, A.S. Rodin. Generalized Hopf formula for the value function in the positional differential game “Boy and Crocodile”. Trudy Instituta Matematiki i Mekhaniki UrO RAN, 2024, vol. 30, no. 3, pp. 229–240.
[References -> on the "English" button bottom right]
