УДК 517.929
MSC: 34F05, 34K06, 34K34, 34K35
DOI: 10.21538/0134-4889-2024-30-3-207-216
Исследование выполнено за счет гранта Российского научного фонда № 22-21-00517, https://rscf.ru/project/22-21-00517/ .
Для широкого класса линейных систем с последействием рассматривается задача о достижимости заданной системы целевых значений при полиэдральных ограничениях на управление. Цель управления задается конечной системой линейных функционалов $\ell_i,\,i=1,\ldots,N$. С учетом этого в работе используется более точный термин "$\ell$-достижимость". Общий вид функционалов позволяет охватить в качестве частных случаев терминальные, многоточечные, интегральные целевые условия и их линейные комбинации. Для рассматриваемого класса систем задача об $\ell$-достижимости сводится к варианту проблемы моментов. Одна из особенностей рассматриваемой задачи заключается в учете случайных возмущений элементов моментной матрицы. Эти возмущения приводят к искажению нижних и верхних по включению аппроксимаций множества $\ell$-достижимости. Для получения гарантированного результата предлагаются специальные процедуры, позволяющие строить программные управления со следующими свойствами. Во-первых, реализация таких управлений приводит к траекториям, на которых целевые функционалы принимают достижимые значения. Во-вторых, вычисление достижимых значений удается сопровождать гарантированными оценками погрешностей, связанных с возмущениями элементов моментной матрицы. При этом каждой координате вектора целевых значений сопоставляется не только отрезок возможных значений, но и соответствующая плотность вероятности их распределения. Последнее свойство позволяет дать погрешностям вероятностные характеристики.
Ключевые слова: задачи управления, непрерывно-дискретные системы с последействием, управление с ограничениями, множества достижимости
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Красовский Н.Н. Теория управления движением. М.: Наука, 1968. 475 с.
2. Althoff M., Freshe G., Girard A. Set propagation techniques for reachability analysis // Annual Review of Control, Robotics, and Autonomous Systems. 2021. Vol. 4. P. 369–395. doi: 1146/annurev-control-071420-08194
3. Kostousova E.K. On polyhedral estimation of reachable sets in the “extended” space for discrete-time systems with uncertain matrices and integral constraints // Proc. Steklov Inst. Math. (Suppl.). 2021. Vol 313, suppl. 1. P. S140–S154. doi: 10.1134/S0081543821030159
4. Sartipizadeh H., Vinod A.P., Açıkmeşe B., Oishi M. Voronoi partition-based scenario reduction for fast sampling-based stochastic reachability computation of linear systems // Proc. 2019 American Control Conference (ACC). IEEE, 2019. P. 37–44. doi: 10.23919/ACC.2019.8814354
5. Allen R.E., Clark A.A., Starek J.A., Pavone M. A machine learning approach for real-time reachability analysis // IEEE/RSJ Intern. Conf. on Intelligent Robots and Systems. 2014. P. 2202–2208. doi: 10.1109/IROS. 2014.6942859
6. Зимовец А.А., Матвийчук А.Р. Параллельный алгоритм приближенного построения множеств достижимости нелинейных управляемых систем // Вестн. Удмурт. ун-та. Математика. Механика. Компьютер. науки. 2015. Т. 25, № 4. C. 459–472.
7. Зимовец А.А., Матвийчук А.Р. Сеточный алгоритм построения множеств достижимости с улучшенной аппроксимацией границы // Челяб. физ.-мат. журн. 2021. Т. 6, № 1. C. 9–21. doi: 10.47475/2500-0101-2021-16101
8. Lew T., Pavone M. Sampling-based reachability analysis: a random set theory approach with adversarial sampling // Proc. of the 2020 Conf. on Robot Learning, Proc. of Machine Learning Research / eds. Jens Kober, Fabio Ramos, Claire Tomlin. 2021. Vol. 155. P. 2055–2070.
9. Зыков И.В. Приближенное вычисление множеств достижимости линейных управляемых систем при разнотипных ограничениях на управление // Изв. Ин-та математики и информатики Удмурт. гос. ун-та. 2022. Т. 60. С. 16–33. doi: 10.35634/2226-3594-2022-60-02
10. Ушаков В.Н., Ершов А.А. Множества достижимости и интегральные воронки зависящих от параметра дифференциальных включений // Докл. РАН. Математики, информатика, процессы управления. 2021. Т. 499. С. 49–53. doi: 10.31857/S2686954321040159
11. Meyer P-J., Devonport A., Arcak M. Tira: toolbox for interval reachability analysis // Proc. of the 22nd ACM Internat. Conf. on Hybrid Systems: Computation and Control. 2019. P. 224–229. doi: 10.1145/3302504.3311808
12. Immler F., Althoff M., Benet L., et al. ARCH-COMP19 category report: Continuous and hybrid systems with nonlinear dynamics // EPiC Ser. in Computing. 6th Internat. Workshop on Applied Verification of Continuous and Hybrid Systems. 2019. Vol. 61. P. 41–61. doi: 10.29007/m75b
13. Maksimov V.P. On the ℓ-attainability sets of continuous discrete functional differential systems // IFAC PapersOnLine. 2018. Vol. 51, no. 32. P. 310–313. doi: 10.1016/j.ifacol.2018.11.401
14. Крейн М.Г., Нудельман А.А. Проблема моментов Маркова и экстремальные задачи. М.: Наука, 1973. 552 с.
15. Maksimov V.P. The structure of the Cauchy operator to a linear continuous-discrete functional differential system with aftereffect and some properties of its components // Vestn. Udmurt. Univ. Mat. Mekh. Komp’yut. Nauki. 2019. Vol. 29, no. 1. P. 40–51. doi: 10.20537/vm190104
16. Максимов В.П. Непрерывно-дискретные динамические модели // Уфим. мат. журн. 2021. Т. 13, № 3. С. 97–106. doi: 10.13108/2021-13-3-95
17. Максимов В.П. О внутренних оценках множеств достижимости для непрерывно-дискретных систем с дискретной памятью // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2021. Т. 27, № 3. P. 141–151. doi: 10.21538/0134-4889-2021-27-3-141-151
18. Воеводин В.В. Вычислительные основы линейной алгебры. М.: Наука, 1977. 305 c.
19. Максимов В.П. К вероятностному описанию ансамбля траекторий непрерывно-дискретной системы управления с неполной информацией // Вестн. российских ун-в. Математика. 2023. Т. 28, № 143. С. 256–267. doi:10.20310/2686-9667-2023-28-143-256-267
Поступила 11.04.2024
После доработки 1.05.2024
Принята к публикации 6.05.2024
Максимов Владимир Петрович
д-р физ.-мат. наук, профессор
профессор
Пермский государственный национальный исследовательский университет
г. Пермь
e-mail: maksimov@econ.psu.ru
Ссылка на статью: В.П. Максимов. К вопросу о точности вычисления достижимых значений целевых функционалов для систем управления с непрерывным и дискретным временем // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2024. Т. 30, № 3. С.207-216
English
V.P. Maksimov. On the error of calculating the attainable values of objective functionals for control systems with continuous and discrete times
For a wide class of linear systems with aftereffect, the problem of attaining target values by a given system is considered under polyhedral constraints on the control. The aim of the control is set by a finite system of linear functionals $\ell_i$, $i=1,\ldots,N$; this is why the more precise term "$\ell$-attainability" is used in the paper. The general form of the functionals makes it possible to consider terminal, multipoint, and integral target conditions and their linear combinations as special cases. For the class of systems under consideration, the problem of $\ell$-attainability is reduced to a variant of the moment problem. One of the features of this problem is the account of random disturbances in elements of the moment matrix. These disturbances result in the distortion of the lower and upper (by inclusion) approximations of the $\ell$-attainable set. To obtain a guaranteed result, special procedures are proposed, which allow one to build open-loop controls with the following properties. First, the implementation of such controls produces trajectories on which the objective functionals take attainable values. Second, the calculation of attainable values is accompanied by guaranteed estimates of the errors associated with disturbances of elements of the moment matrix. In this case, each coordinate of the vector of target values corresponds not only to an interval of feasible values but also to the corresponding probability density of their distribution. The latter property allows one to give probabilistic characteristics to the errors.
Keywords: control problems, continuous--discrete systems with aftereffect, control with constraints, attainable sets
Received April 11, 2024
Revised May 1, 2024
Accepted May 6, 2024
Funding Agency: The work was supported by the Russian Science Foundation (project no. 22-21-00517), https://rscf.ru/project/22-21-00517/.
Vladimir Petrovich Maksimov, Dr. Phys.-Math. Sci., Prof., Perm State University, Perm, 614068 Russia, e-mail: maksimov@econ.psu.ru
Cite this article as: V.P. Maksimov. On the error of calculating the reachable values of objective functionals for control systems with continuous and discrete times. Trudy Instituta Matematiki i Mekhaniki UrO RAN, 2024, vol. 30, no. 3, pp. 207–216.
[References -> on the "English" button bottom right]
