Л.С. Брындин, В.А. Беляев. Коллокационные методы с полиномами четвертой степени на треугольных сетках и их применение для расчета изгиба круглых пластин с отверстиями ... С. 43-60

УДК 519.632.4+519.635.1+539.3

MSC: 65N35, 65N50, 74K20

DOI: 10.21538/0134-4889-2024-30-1-43-60

Работа выполнена в рамках государственного задания ИТПМ СО РАН.

Разработан новый коллокационный метод ($h$-КМ$_4$) численного решения двумерных эллиптических задач со старшими производными второго порядка. В качестве аппроксимации выступали полиномы четвертой степени в треугольных ячейках сетки, сгенерированной в пакете Gmsh. Неизвестные коэффициенты полиномиального разложения определялись из решения системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ), состоящей из уравнений коллокации, условий согласования и краевых условий. В $h$-КМ$_4$ СЛАУ является квадратной, что принципиально отличает его от опубликованных ранее вариантов метода коллокации и наименьших квадратов, в котором выписываются аналогичные уравнения, но СЛАУ переопределена. Последнее приводит к увеличению времени вычислений и необходимости поиска специальных значений весовых коэффициентов, на которые домножаются уравнения приближенной задачи. Численно установлен четвертый порядок сходимости $h$-КМ$_4$ на гладких тестовых решениях уравнения Пуассона и системы уравнений с частными производными (УЧП), возникающей при расчете изгиба пластин в рамках теории Рейсснера - Миндлина (ТРМ). Продемонстрирована возможность рассчитывать напряженно-деформированное состояние (НДС) достаточно тонких пластин в ТРМ с помощью $h$-КМ$_4$. Показано, что для решения системы УЧП, описывающей изгиб пластины в рамках теории Кирхгофа - Лява (ТКЛ) в смешанной постановке, необходимо в $h$-КМ$_4$ увеличивать количество уравнений приближенной задачи. Таким образом, аппроксимация свелась к построению нового варианта метода коллокации и наименьших квадратов ($h$-МКНК$_4$), имеющего порядок сходимости не хуже третьего. Проведен анализ НДС круглых пластин с отверстиями в зависимости от толщины пластины в ТРМ и ТКЛ, а также от эксцентриситета в случае одного отверстия. Для повышения точности вычислений в задачах с большими градиентами и ограниченной гладкостью решения использовались адаптивные сетки, позволяющие в последнем случае повышать порядок сходимости. Их применение расширило возможности разработанных здесь $h$-КМ$_4$ и $h$-МКНК$_4$ по сравнению с предыдущими вариантами метода коллокации и наименьших квадратов, что подтверждено численными экспериментами.

Ключевые слова: метод коллокации, уравнение Пуассона, теория Рейсснера – Миндлина, теория Кирхгофа – Лява, изгиб пластины

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1.   Беляев В.А. Об эффективной реализации и возможностях метода коллокации и наименьших квадратов решения эллиптических уравнений второго порядка // Вычисл. методы и программирование. 2021. Т. 22, № 3. С. 211–229. doi: 10.26089/NumMet.v22r313

2.   Беляев В.А. Решение уравнения Пуассона с особенностями методом коллокации и наименьших квадратов // Сиб. журн. вычисл. математики. 2020. Т. 23, № 3. С. 249–263. doi: 10.15372/SJNM20200302

3.   Reddy J.N. Mechanics of laminated composite plates and shells: theory and analysis. 2nd edn. Boca Raton; London; NY.; Washington, D.C.: CRC Press, 2004. 858 p. doi: 10.1201/b12.409

4.   Тимошенко С.П., Войновский-Кригер С. Пластины и оболочки. М.: Физматгиз, 1966. 625 с.

5.   Lee W.M., Chen J.T. Free vibration analysis of a circular plate with multiple circular holes by using indirect BIEM and addition theorem // J. Appl. Mech. 2011. Vol. 78. Art. 011015. P. 1–10. doi: 10.1115/1.4001993

6.   Schillinger D., Evans J.A., Reali A., Scott M.A., Hughes T.J.R. Isogeometric collocation: Cost comparison with Galerkin methods and extension to adaptive hierarchical NURBS discretizations // Comput. Methods Appl. Mech. Eng. 2013. Vol. 267. P. 170–232. doi: 10.1016/j.cma.2013.07.017

7.   Киреев В.А. Метод коллокации с бикубическим эрмитовым базисом в области с криволинейной границей // Вестн. СибГАУ им. академика М. Ф. Решетнёва. 2014. № 3 (55). С. 73–77.

8.   Shao W., Wu  X., Chen S. Chebyshev tau meshless method based on the integration-differentiation for biharmonic-type equations on irregular domain // Eng. Anal. Bound. Elem. 2012. Vol. 36, no. 12. P. 1787–1798. doi: 10.1016/j.enganabound.2012.06.005

9.   Беляев В.А., Брындин Л.С., Голушко С.К., Семисалов Б.В., Шапеев В.П. H-, p- и hp-варианты метода коллокации и наименьших квадратов для решения краевых задач для бигармонического уравнения в нерегулярных областях и их приложения // Журн. вычисл. математики и мат. физики. 2022. Т. 62, № 4. С. 531–552. doi: 10.31857/S0044466922040020

10.   Mai-Duy N., See H., Tran-Cong T. A spectral collocation technique based on integrated Chebyshev polynomials for biharmonic problems in irregular domains // Appl. Math. Model. 2009. Vol. 33, no. 1. P. 284–299. doi: 10.1016/j.apm.2007.11.002

11.   Семисалов Б.В. Быстрый нелокальный алгоритм решения краевых задач Неймана — Дирихле с контролем погрешности // Вычисл. методы программирование. 2016. Т. 17, № 4. С. 500–522.

12.   Кацикаделис Дж.Т. Граничные элементы: теория и приложения. М.: Изд-во Ассоциации строительных вузов, 2007. 348 с.

13.   Drozdov G.M., Shapeev V.P. CAS application to the construction of high-order difference schemes for solving Poisson equation // Lect. Notes Comput. Sci. 2014. Vol. 8660. P. 99–110. doi: 10.1007/978-3-319-10515-4_8 

14.   Shao W., Wu X. An effective Chebyshev tau meshless domain decomposition method based on the integration–differentiation for solving fourth order equations // Appl. Math. Model. 2015. Vol. 39, no. 9, P. 2554–2569. doi: 10.1016/j.apm.2014.10.048

15.   Слепцов А.Г., Шокин Ю.И. Адаптивный проекционно-сеточный метод для эллиптических задач // Журн. вычисл. математики и мат. физики. 1997. Т. 37, № 5. С. 572–586.

16.   Беляев В.В., Шапеев В.П. Метод коллокаций и наименьших квадратов на адаптивных сетках в области с криволинейной границей // Вычисл. технологии. 2000. Т. 5, № 4. С. 13–21.

17.   Исаев В.И., Шапеев В.П., Еремин С.А. Исследование свойств метода коллокации и наименьших квадратов решения краевых задач для уравнения Пуассона и уравнений Навье — Стокса // Вычисл. технологии. 2007. Т. 12, № 3. С. 53–70.

18.   Голушко С.К., Идимешев С.В., Шапеев В.П. Метод коллокаций и наименьших невязок в приложении к задачам механики изотропных пластин // Вычисл. технологии. 2013. Т. 18, № 6. С. 31–43.

19.   Идимешев С.В. Модифицированный метод коллокаций и наименьших невязок и его приложение в механике многослойных композитных балок и пластин: дис. …канд. физ.-мат. наук / ИВТ СО РАН. Новосибирск, 2016. 179 с.

20.   Garcia O. Fancello E.A., de Barcellos C.S., Duarte C.A. Hp-clouds in Mindlin’s thick plate model // Int. J. Numer. Methods Eng. 2000. Vol. 47, no. 8. P. 1367–1522. doi: 10.1002/(SICI)1097-0207(20000320)47:8<1381::AID-NME833>3.0.CO;2-9

21.   Tiago C.,  Leitão V.M.A. Eliminating shear-locking in meshless methods: a critical overview and a new framework for structural theories // Advances in meshfree techniques. Computational methods in applied sciences. 2007. Vol. 5. P. 123–147. doi: 10.1007/978-1-4020-6095-3_7

22.   Ike C.C. Mathematical solutions for the flexural analysis of Mindlin’s first order shear deformable circular plates // Math. Models in Eng. 2018. Vol. 4, no. 2. P. 50–72. doi: 10.21595/mme.2018.1982 .

23.   Davis T.A. Algorithm 915, SuiteSparseQR: Multifrontal multithreaded rank-revealing sparse QR factorization // ACM Trans. Math. Softw. 2011. Vol. 38, no. 1. P. 8:1–8:22. doi: 10.1145/2049662.2049670

24.   Шапеев В.П., Шапеев А.В. Решение эллиптических задач с особенностями по схемам высокого порядка аппроксимации // Вычисл. технологии. 2006. Т. 11, ч. 2: специальный выпуск. С. 84–91.

Поступила 23.10.2023

После доработки 20.11.2023

Принята к публикации 27.11.2023

Брындин Лука Сергеевич
младший науч. сотрудник
Институт теоретической и прикладной механики им. С.А. Христиановича СО РАН;
аспирант Новосибирского национального исследовательского государственного университета
г. Новосибирск
e-mail: l.bryndin@g.nsu.ru

Беляев Василий Алексеевич
канд. физ.-мат. наук, инженер-исследователь
Институт теоретической и прикладной механики им. С.А. Христиановича СО РАН
г. Новосибирск
e-mail: belyaevasily@mail.ru

Ссылка на статью: Л.С. Брындин, В.А. Беляев. Коллокационные методы с полиномами четвертой степени на треугольных сетках и их применение для расчета изгиба круглых пластин с отверстиями // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2024. Т. 30, № 1. С. 43-60

English

L.S. Bryndin, V.A. Belyaev. Collocation methods with fourth degree polynomials on triangular grids and their application to the calculation of bending of round plates with holes

A new collocation method ($h$-CM$_4$) is developed for the numerical solution of two-dimensional elliptic problems with second-order highest derivatives. Fourth-degree polynomials on triangular cells of a grid generated by Gmsh are used as an approximation. Unknown coefficients of the polynomial decomposition are determined from the solution of a system of linear algebraic equations (SLAE) consisting of collocation equations, matching conditions, and boundary conditions. In the $h$-CM$_4$, the SLAE is quadratic in contrast to published versions of the least-squares collocation method, where similar equations are written, but the SLAE is overdetermined. This leads to an increase in computation time and the need to search for special values of the weight coefficients multiplying the equations of the approximate problem. The fourth order of convergence of the $h$-CM$_4$ is established numerically on smooth test solutions of the Poisson's equation and of a system of partial differential equations (PDEs) arising in the calculation of bending within the Reissner-Mindlin plate theory (RMPT). The possibility of calculation of the stress-strain state (SSS) of sufficiently thin plates in the RMPT is demonstrated. It is shown that in order to solve the PDE system describing the plate bending within the Kirchhoff-Love plate theory (KLPT) in a mixed formulation, it is necessary to increase the number of equations of the approximate problem in the $h$-CM$_4$. Thus, the approximation is reduced to the construction of a new version of the least-squares collocation method ($h$-LSCM$_4$), whose convergence order is no worse than the third. The SSS of round plates with holes is analyzed depending on the thickness of a plate in the RMPT and KLPT as well as on eccentricity in the case of one hole. Adaptive grids are used to improve accuracy in problems with large gradients and limited smoothness of the solution, which resulted in improving the order of convergence in the latter case. The application of adaptive grids expands the capabilities of the $h$-CM$_4$ and $h$-LSCM$_4$ compared to previous versions of the least-squares collocation method, which is confirmed by numerical examples.

Keywords: collocation method, Poisson’s equation, Reissner–Mindlin theory, Kirchhoff–Love theory, plate bending

Received October 23, 2023

Revised November 20, 2023

Accepted November 27, 2023

Funding Agency: This research was carried out within a state task to the Khristianovich Institute of Theoretical and Applied Mechanics, Siberian Branch of the Russian Academy of Sciences.

Luka Sergeevich Bryndin, doctoral student, Khristianovich Institute of Theoretical and Applied Mechanics of the Siberian Branch of the Russian Academy of Sciences, Novosibirsk, 630090 Russia; Novosibirsk State University, Novosibirsk, 630090 Russia, e-mail: l.bryndin@g.nsu.ru

Vasilii Alexeyevich Belyaev, Cand. Sci. (Phys.-Math.), Khristianovich Institute of Theoretical and Applied Mechanics of the Siberian Branch of the Russian Academy of Sciences, Novosibirsk, 630090 Russia, e-mail: belyaevasily@mail.ru

Cite this article as: L.S. Bryndin, V.A. Belyaev. Collocation methods with fourth degree polynomials on triangular grids and their application to the calculation of bending of round plates with holes. Trudy Instituta Matematiki i Mekhaniki UrO RAN, 2024, vol. 30, no. 1, pp. 43–60.

[References -> on the "English" button bottom right]