А.С. Васильев. Нормализаторы силовских подгрупп в симплектических и ортогональных группах над конечными полями нечетной характеристики ... С. 61-69

УДК 512.542

MSC: 20D20

DOI: 10.21538/0134-4889-2024-30-1-61-69

Работа выполнена за счет РНФ, проект № 24-21-00163, https://rscf.ru/project/24-21-00163/ .

В работе найдены нормализаторы силовских $r$-подгрупп для нечетного простого $r$ в симплектических и ортогональных группах (как простых, так и полных) над полями нечетной характеристики, отличной от $r$. Мотивация данного исследования происходит от фундаментальной роли $r$-подгрупп и их нормализаторов ($r$-локальных подгрупп) в теории конечных групп и неполного описания нормализаторов силовских подгрупп в простых группах на сегодняшний день. Результаты работы приближают нас к полному описанию нормализаторов силовских $r$-подгрупп в классических группах. Остается открытым лишь случай нечетного $r$ для симплектических и ортогональных групп над полем характеристики $2$.

Ключевые слова: симплектические группы, ортогональные группы, нормализаторы силовских подгрупп, конечные простые группы

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1.   Carter R., Fong P. The Sylow 2-subgroups of the finite classical group // J. Algebra. 1964. Vol. 1. P. 131–151. doi: 10.1016/0021-8693(64)90030-4

2.   Кондратьев А.С., Мазуров В.Д. 2-сигнализаторы конечных простых групп // Алгебра и логика. 2003. Т. 42, № 5. С. 594–623. doi: 10.1023/A:1025923522954

3.   Кондратьев А.С. Нормализаторы силовских 2-подгрупп в конечных простых группах // Мат. заметки. 2005. Т. 78, № 3. С. 338–346. doi: 10.4213/mzm2593

4.   Васильев А.С. Нормализаторы силовских подгрупп в линейных и унитарных конечных группах // Алгебра и логика. 2020. Т. 59, № 1. С. 3–26. doi: 10.33048/alglog.2020.59.101

5.   An J. Weights for classical groups // Trans. Am. Math. Soc. 1994. Vol. 342, no. 1. P. 1–42. doi: 10.2307/2154683

6.   Kleidman P. B., Liebeck M. The subgroups structure of finite classical groups. Cambridge: Cambridge Univ. Press., 1990. doi: 10.1017/CBO9780511629235

7.   Alperin J.L., Fong P. Weights for symmetric and general linear groups // J. Algebra. 1990. Vol. 131, no. 1. P. 2–22. doi: 10.1016/0021-8693(90)90163-I

8.   Gross F. Odd order Hall subgroups of the classical linear groups // Mathematische Zeitschrift. 1995. Vol. 220. P. 317–336. doi: 10.1007/BF02572618

9.   Griess R. Automorphisms of extra special groups and nonvanishing degree 2 cohomology // Pacif. J. Math. 1973. Vol. 48. P. 403–411. doi: 10.1016/s0304-0208(08)71828-0

10.   Ревин Д.О. Свойство $D_\pi$  конечных групп в случае $2 \notin \pi$ // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2007. Т. 13, № 1. С. 166–182.

11.   Weir A.J. Sylow p-subgroups of the classical groups over finite fields with characteristic prime to p // Proc. Amer. Math. Soc. 1955. Vol. 6, no. 4. P. 529–533. doi: 10.2307/2033424

Поступила 15.02.2024

После доработки 26.02.2024

Принята к публикации 29.02.2024

Васильев Алексей Сергеевич
стажер-исследователь
Институт математики имени С.Л. Соболева СО РАН
г. Новосибирск
e-mail: a.vasilev1@g.nsu.ru

Ссылка на статью: А.С. Васильев. Нормализаторы силовских подгрупп в симплектических и ортогональных группах над конечными полями нечетной характеристики // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2024. Т. 30, № 1. С. 61-69

English

A.S. Vasilev. Normalizers of Sylow subgroups in symplectic and orthogonal groups over finite fields of odd characteristic

The paper identifies the normalizers of Sylow $r$-subgroups for an odd prime $r$ in symplectic and orthogonal groups (both simple and complete) over fields of odd characteristic different from $r$. The motivation for this study comes from the fundamental role of $r$-subgroups and their normalizers ($r$-local subgroups) in the theory of finite groups and the incomplete description of Sylow subgroup normalizers in simple groups as of today. The findings of the work bring us closer to a full description of the normalizers of Sylow $r$-subgroups in classical groups. The only case that remains open is for odd $r$ in symplectic and orthogonal groups over a field of characteristic $2$.

Keywords: symplectic groups, orthogonal groups, normalizers of Sylow subgroups, finite simple groups

Received February 15, 2024

Revised February 26, 2024

Accepted February 29, 2024

Funding Agency: The work was supported by the Russian Science Foundation (Grant no. 24-21-00163), https://rscf.ru/project/24-21-00163/.

Alexey Sergeevich Vasilev, Sobolev Institute of Mathematics, Novosibirsk, 630090 Russia, e-mail: a.vasilev1@g.nsu.ru

Cite this article as: A.S. Vasilev. Normalizers of Sylow subgroups in symplectic and orthogonal groups over finite fields of odd characteristic. Trudy Instituta Matematiki i Mekhaniki UrO RAN, 2024, vol. 30, no. 1, pp. 61–69.

[References -> on the "English" button bottom right]