УДК 517.5
MSC: 41A05, 41A15
DOI: 10.21538/0134-4889-2023-29-4-217-228
Полный текст статьи (Full text)
Для конечных наборов данных из единичного шара пространства $l_{2}^{N}$ найдено точное решение задачи интерполяции с наименьшим значением $L_{2}$-нормы производной порядка $r\ (r\geq 2)$ на конечном отрезке $[a,b]$ функциями $f:\ [a,b]\to \mathbb{R}$, имеющими абсолютно непрерывную $(r-1)$-ю производную. Интерполирование производится в узлах произвольной сетки $\Delta_{N}:\ a=x_{1}<x_{2}<\ldots<x_{N}=b$. Значение наименьшей $L_{2}$-нормы на классе интерполируемых значений выражено через максимальное собственное число некоторой квадратной матрицы и её определитель. Работа уточняет классические результаты в теории сплайнов, первоначально полученные Дж.Холидеем и затем продолженные Дж.Албергом, Э.Нильсоном и Дж.Уолшем, а также В.Н. Малоземовым и А.Б. Певным, относящиеся к свойству минимальной нормы для сплайнов.
Ключевые слова: интерполяция, натуральные сплайны, собственное значение матрицы
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Holladay J. A smoothest curve approximation // Math. Tables Aids Comput. 1957. Vol. 11. P. 233–243.
2. Алберг Дж., Нильсон Э., Уолш Дж. Теория сплайнов и ее приложения. М.: Мир, 1972. 316 с.
3. Малоземов В.Н., Певный А.Б. Полиномиальные сплайны. Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1986. 120 с.
4. Тихомиров В.М., Боянов Б.Д. О некоторых выпуклых задачах теории приближения // Serdika. Българско матем. списание. 1979. Т. 5. C. 83–96.
5. Субботин Ю.Н. Функциональная интерполяция в среднем с наименьшей $n$-й производной // Тр. МИАН. 1967. Т. 88. C. 30–60.
6. Субботин Ю.Н., Новиков С.И., Шевалдин В.Т. Экстремальная функциональная интерполяция и сплайны // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2018. Т. 24, № 3. С. 200–225. doi: 10.21538/0134-4889-2018-24-3-200-225
7. Субботин Ю.Н., Шевалдин В.Т. Экстремальная функциональная интерполяция в пространстве $L_p$ на произвольной сетке числовой оси // Мат. сб. 2022. Т. 213, № 4. C. 123–144. doi: 10.4213/sm9628
8. Новиков С.И. Периодическая интерполяция с минимальным значением нормы $m$-й производной // Сиб. журн. вычисл. математики. 2006. Т. 9, № 2. С. 165–172.
9. Schoenberg I.J. On the best approximation of linear operators // Indagationes Mathem. 1964. Vol. 26, no 2. P. 155–163.
10. Jerome J.W., Schumaker L.L. A note on obtaining natural spline functions by the abstract approach of Atteia and Laurent // SIAM J. Numer. Anal. 1968. Vol. 5. P. 657–663.
11. Прудников А.П., Брычков Ю.А., Маричев О.И. Интегралы и ряды. Элементарные функции. М.: Наука, 1981. 800 с.
12. Holmes R. Geometric functional analysis and its applications. N.Y. ect.: Springer Verlag, 1975. 246 p.
13. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т. 1. М.: Наука, 1970. 608 с.
14. Фаддеев Д.К., Фаддеева В.Н. Вычислительные методы линейной алгебры. СПб.: Изд-во “Лань”, 2009. 736 с.
15. Пароди М. Локализация характеристических чисел матриц и ее применения. М.: Из-во иностр. литер., 1960. 170 с.
16. Tarazaga P. Eigenvalue estimates for symmetric matrices // Linear Algebra and its Appl. 1990. Vol. 135, no. 1. P. 171–179. doi: 10.1016/0024-3795(90)90120-2
Поступила 09.06.2023
После доработки 30.06.2023
Принята к публикации 3.07.2023
Новиков Сергей Игоревич
канд. физ.-мат. наук, старший науч. сотрудник
Институт математики и механики им. Н.Н. Красовского УрО РАН
г. Екатеринбург
e-mail: Sergey.Novikov@imm.uran.ru
Ссылка на статью: С.И. Новиков. Оптимальная интерполяция на отрезке с наименьшим значением среднеквадратичной нормы $r$-й производной // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2023. Т. 29, № 4. С. 217-228
English
S.I. Novikov. Optimal interpolation on an interval with the smallest mean-square norm of the rth derivative
An exact solution is found to the problem of interpolation on a finite interval $[a,b]$ with the smallest $L_{2}$-norm of the $r$th-order derivative $(r\geq 2)$ by functions $f$: $[a,b]\to \mathbb{R}$ with absolutely continuous $(r-1)$th-order derivatives for finite collections of data from the unit ball of the space $l_{2}^{N}$. Interpolation is performed at nodes of an arbitrary grid $\Delta _{N}$: $a=x_{1}<x_{2}<\cdots<x_{N}=b$. The smallest value of the $L_{2}$-norm on the class of interpolated data is expressed in terms of the largest eigenvalue of a certain square matrix and its determinant. The paper improves the classical results of spline theory related to the minimum norm property, which were originally obtained by J. Holladay and then developed by J. Ahlberg, E. Nilson, and J. Walsh, as well as by V.N. Malozemov and A.B. Pevnyi.
Keywords: interpolation, natural splines, matrix eigenvalue
Received June 9, 2023
Revised June 30 2023
Accepted July 3, 2023
Sergey Igorevich Novikov, Cand. Sci. (Phys.-Math.), Krasovskii Institute of Mathematics and Mechanics of the Ural Branch of the Russian Academy of Sciences, Yekaterinburg, 620108 Russia, e-mail: Sergey.Novikov@imm.uran.ru
Cite this article as: S.I. Novikov. Optimal interpolation on an interval with the smallest mean-square norm of the rth derivative. Trudy Instituta Matematiki i Mekhaniki UrO RAN, 2023, vol. 29, no. 4, pp. 217–228.
[References -> on the "English" button bottom right]
