О.В. Акопян, Р.Р. Акопян. Оптимальное восстановление на классах аналитических в кольце функций ... С. 7-23

УДК 517.977

MSC: 30A10, 30E10

DOI: 10.21538/0134-4889-2023-29-1-7-23

Полный текст статьи (Full text)

Статья переведена: ISSN 0081-5438 

Proceedings of the Steklov Institute of Mathematics, 2023, Vol. 321, Suppl. 1, pp. S4–S19. (Abstract)

Пусть $C_{r,R}$ — кольцо с граничными окружностями $\gamma_r$ и $\gamma_R$ с центром в нуле, внутренним и внешним радиусами, равными $r$ и $R.$ На классе аналитических в кольце $C_{r,R}$ функций, имеющих конечные $L^2$-нормы угловых пределов на окружности $\gamma_r$ и производные порядка $n$ (самих функций при $n=0$) на окружности $\gamma_R,$ исследуются взаимосвязанные экстремальные задачи для оператора $\psi_{\rho}^m,$ сопоставляющего граничным значениям функции на $\gamma_r$ ее сужение (при $m=0$) или сужение производной порядка $m$ (при $m>0$) на промежуточную окружность $\gamma_\rho,\, r<\rho<R.$ Решена задача наилучшего приближения оператора $\psi_{\rho}^m$ линейными ограниченными операторами из $L^2(\gamma_r)$ в $C(\gamma_\rho).$ Найдена величина и метод оптимального восстановления производной порядка $m$ на промежуточной окружности $\gamma_\rho$ по $L^2$-приближенно заданным значениям функции на граничной окружности $\gamma_r.$ Получено точное неравенство Адамара — Колмогорова, оценивающее равномерную норму производной порядка $m$ на промежуточной окружности $\gamma_\rho$ через $L^2$-нормы предельных граничных значений функции и производной порядка $n$ на окружностях $\gamma_r$ и $\gamma_R.$

Ключевые слова: аналитические функции, теорема Адамара о трех кругах, неравенство Колмогорова, оптимальное восстановление

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1.   Арестов В.В. О равномерной регуляризации задачи вычисления значений оператора // Мат. заметки. 1977. Т. 22, № 2. C. 231–244.

2.   Арестов В.В. Наилучшее восстановление операторов и родственные задачи // Тр. МИАН: cб. тр. Всесоюз. шк. по теории функций (Душанбе, август 1986 г.). Т. 189. C. 3–20.

3.   Арестов В.В., Габушин В.Н. Наилучшее приближение неограниченных операторов ограниченными // Изв. вузов. Математика. 1995. № 11. C. 42–68.

4.   Арестов В.В. Приближение неограниченных операторов ограниченными и родственные экстремальные задачи // Успехи мат. наук. 1996. Т. 51, вып. 6 (312). С. 89–124.

5.   Бабенко В.Ф., Корнейчук Н.П., Кофанов В.А., Пичугов С.А. Неравенства для производных и их приложения. Киев: Наук. думка, 2003. 591 c.

6.   Магарил-Ильяев Г.Г., Осипенко К.Ю. Об оптимальном восстановлении функционалов по неточным данным // Мат. заметки. 1991. T. 50, № 6. C. 85–93.

7.   Osipenko K.Yu. Optimal recovery of analytic functions. Huntington: NOVA Science Publ. Inc., 2000. 229 p.

8.   Осипенко К.Ю. Оптимальное восстановление линейных операторов в неевклидовых метриках // Мат. сб. 2014. Т. 205, № 10. С. 77–106.

9.   Полиа Г., Сеге Г. Задачи и теоремы из анализа: в 2 т. М.: Наука, 1978. Т. 1. 398 с.

10.   Акопян Р.Р. Наилучшее приближение оператора аналитического продолжения на классе аналитических в кольце функций // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2012. Т. 18, № 4. C. 3–13.

11.   Robinson R.M. Analytic functions in circular rings // Duke Math. J. 1943. Vol. 10, no. 2. P. 341–354. doi: 10.1215/S0012-7094-43-01031-2

12.   Голузин Г.М. Геометрическая теория функций комплексного переменного. М.; Л.: ГИТТЛ, 1952. М.: Наука, 1966. 628 c.

13.   Akopyan R.R. Approximation of the differentiation operator on the class of functions analytic in an annulus // Ural Math. J. 2017. Vol. 3, no. 2. P. 6–13. doi: 10.15826/umj.2017.2.002

14.   Тумаркин Г.Ц., Хавинсон С.Я. Качественные свойства решений экстремальных задач некоторых типов // Исследование по современным проблемам теории функций комплексного переменного: сб. тр. М.: Физматгиз, 1960. С. 77–95.

15.   Хавинсон С.Я. Аналитические функции ограниченного вида (граничные и экстремальные свойства) // Итоги науки. Мат. анализ. 1963. ВИНИТИ, М. 1965. С. 5–80.

16.   Хавинсон С.Я. О представлении экстремальных функций в классах $E_q$ через функции Грина и Неймана // Мат. заметки. 1974. Т. 16, № 5. С. 707–716.

17.   Khavinson S.Ya., Kuzina T.S. The structural formulae for extremal functions in Hardy classes on finite Riemann surfaces // Operator Theory: Advances and Applications. 2005. Vol. 158. P. 37–57. doi: 10.1007/3-7643-7340-7_4

18.   Osipenko K.Y., Stessin M.I. Hadamard and Schwarz type theorems and optimal recovery in spaces of analytic functions // Constr. Approx. 2010. Vol. 31. P. 37–67. doi: 10.1007/s00365-009-9043-5

19.   Акопян Р.Р. Аналог теоремы о двух константах и оптимальное восстановление аналитических функций // Мат. сб. 2019. Т. 210, № 10. С. 3–36. doi: 10.4213/sm8952

20.   Осипенко К.Ю. Об оптимальных методах восстановления в пространствах Харди — Соболева // Мат. сб. 2001. Т. 192, № 2. C. 67–86.

21.   Gonzalez-Vera P., Stessin M.I. Joint spectra of Toeplitz operators and optimal recovery of analytic functions // Constr. Approx. 2012. Vol. 36, no. 1. P. 53–82. doi: 10.1007/s00365-012-9169-8

22.   DeGraw A. Optimal recovery of holomorphic functions from inaccurate information about radial integration // Amer. J. Comput. Math. 2012. Vol. 2, no. 4. P. 258–268. doi: 10.4236/ajcm.2012.24035

23.   Осипенко К.Ю. Неравенство Харди — Литтлвуда — Полиа для аналитических функций из пространств Харди — Соболева // Мат. сб. 2006. Т. 197, № 3. С. 15–34.

24.   Ovchintsev M. Linear best method for recovering the second derivatives of Hardy class functions // E3S Web of Conferences. 2020. Vol. 164. Article no. 02013. doi: 10.1051/e3sconf/20201640201

25.   Тайков Л.В. Неравенства типа Колмогорова и наилучшие формулы численного дифференцирования // Мат. заметки. 1968. Т. 4, № 2. С. 233–238.

26.   Акопян Р.Р. Наилучшее приближение операторов дифференцирования на классе Соболева аналитических в полосе функций // Сиб. электрон. мат. изв. 2021. Т. 18, № 2. С. 1286–1298. doi: 10.33048/semi.2021.18.098

27.   Babenko V., Babenko Yu., Kriachko N., Skorokhodov D. On Hardy–Littlewood–Pólya and Taikov type inequalities for multiple operators in Hilbert spaces // Analysis Mathematica. 2021. Vol. 47. P. 709–745. doi: 10.1007/s10476-021-0104-8

28.   Введенская Е. В., Осипенко К. Ю. Дискретные аналоги неравенства Л. В. Тайкова и восстановление последовательностей, заданных неточно // Мат. заметки. 2012. Т. 92, № 4. С. 515–527.

29.   Шадрин А.Ю. Неравенства типа Колмогорова и оценки сплайн-интерполяции для периодических классов $W_2^m$ // Мат. заметки. 1990. Т. 48, № 4. С. 132–139.

Поступила 10.02.2023

После доработки 27.02.2023

Принята к публикации 27.02.2023

Акопян Ольга Владимировна
доцент
Институт естественных наук и математики
Уральский федеральный университет
г. Екатеринбург
e-mail: olga_akopjan@rambler.ru

Акопян Роман Размикович
д-р физ.-мат. наук, доцент
зав. отделом
Институт математики и механики им. Н.Н. Красовского УрО РАН
г. Екатеринбург

e-mail: RRAkopyan@mephi.ru

 

Ссылка на статью: О.В. Акопян, Р.Р. Акопян. Оптимальное восстановление на классах аналитических в кольце функций // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2023. Т. 29, №1. С. 7-23

English

O.V. Akopyan, R.R. Akopyan. Optimal recovery on classes of functions analytic in a annulus

Let $C_{r,R}$ be a annulus with boundary circles $\gamma_r$ and $\gamma_R$ centered at zero; its inner and outer radii are $r$ and $R$, respectively. On the class of functions analytic in the annulus $C_{r,R}$ with finite $L^2$-norms of the angular limits on the circle $\gamma_r$ and of the $n$th derivatives (of the functions themselves for $n=0$) on the circle $\gamma_R$, we study interconnected extremal problems for the operator $\psi_{\rho}^m$ that takes the boundary values of a function on $\gamma_r$ to its restriction (for $m=0$) or the restriction of its $m$th derivative (for $m>0$) to an intermediate circle $\gamma_\rho$, $r<\rho<R$. The problem of the best approximation of $\psi_{\rho}^m$ by linear bounded operators from $L^2(\gamma_r)$ to $C(\gamma_\rho)$ is solved. A method for the optimal recovery of the $m$th derivative on a intermediate circle $\gamma_\rho$ from $L^2$-approximately given values of the function on the boundary circle $\gamma_r$ is proposed and its error is found. The Hadamard—Kolmogorov exact inequality, which estimates the uniform norm of the $m$th derivative on an intermediate circle $\gamma_\rho$ in terms of the $L^2$-norms of the limit boundary values of the function and the $n$th derivative on the circles $\gamma_r$ and $\gamma_R$, is derived.

Keywords: analytic functions, Hadamard three-circle theorem, Kolmogorov's inequality, optimal recovery

Received February 10, 2023

Revised February 27, 2023

Accepted February 27, 2023

Olga Vladimirovna Akopyan, Ural Federal University, Yekaterinburg, 620000 Russia, e-mail: olga_akopjan@rambler.ru

Roman Razmikovich Akopyan, Dr. Phys.-Math. Sci., Krasovskii Institute of Mathematics and Mechanics of the Ural Branch of the Russian Academy of Sciences, Yekaterinburg, 620108 Russia, e-mail: RRAkopyan@mephi.ru

Cite this article as: O.V. Akopyan, R.R. Akopyan. Optimal recovery on classes of functions analytic in a annulus, Trudy Instituta Matematiki i Mekhaniki UrO RAN, 2023, vol. 29, no. 1, pp. 7–23 ; Proceedings of the Steklov Institute of Mathematics  (Suppl.), 2023, Vol. 321, Suppl. 1, pp. S4–S19.

[References -> on the "English" button bottom right]