А.Л. Агеев, Т.В. Антонова. Об аппроксимации нормали к линиям разрыва зашумленной функции ... С. 7-23

УДК 517.988.68

MSC: 65J22, 68U10

DOI: 10.21538/0134-4889-2022-28-2-7-23

Работа посвящена построению регуляризующих алгоритмов для решения некорректной задачи определения нормали и положения линий разрыва функции двух переменных. Предполагается, что вне линий разрыва функция гладкая, а в каждой точке на линии имеет разрыв первого рода. Рассматривается случай, когда точная функция неизвестна, а вместо нее в каждом узле равномерной сетки с шагом $\tau$ известны средние значения на квадрате со стороной $\tau$ от возмущенной функции. Возмущенная функция приближает точную функцию в пространстве $L_2(\mathbb{R}^2)$, и уровень возмущения $\delta$ считается известным. Ранее авторами были исследованы (получены оценки точности) глобальные дискретные регуляризирующие алгоритмы аппроксимации множества линий разрыва зашумленной функции. Для подавления шума при построении алгоритмов используется идея усреднения исходных возмущенных данных по обеим переменным. В настоящей работе конструируются методы, позволяющие находить множество пар (точка сетки и вектор): точка сетки аппроксимирует линию разрыва точной функции, а соответствующий вектор аппроксимирует нормаль к линии разрыва. Эти алгоритмы исследуются для частного случая, когда линии разрыва являются ломаными. Получены оценки точности аппроксимации линий разрыва и нормалей.

Ключевые слова: некорректная задача, метод регуляризации, линии разрыва, глобальная локализация, порог разделимости, нормаль

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1.   Тихонов А. Н., Арсенин В. Я. Методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1979. 288 с.

2.   Vasin V. V., Ageev A. L. Ill-posed problems with a priori information. Utrecht: VSP, 1995. 255 с.

3.   Canny J. A computational approach to edge detection // IEEE Trans. Pattern Anal. Machine Intell. 1986. Vol. PAMI-8, no. 6. P. 679–698. doi: 10.1109/TPAMI.1986.4767851 

4.   Малла С. Вэйвлеты в обработке сигналов. М.: Мир, 2005. 671 с.

5.   Гонсалес Р., Вудс Р. Цифровая обработка изображений. (Изд. 3-е испр. и допол.). М.: Техносфера, 2012. 1104 с.

6.   Mafi M., Rajaei H., Cabrerizo M., Adjouadi M. A robust edge detection approach un the presence of high impulse noise intensity through switching adaptive median and fixed weighted mean filtering // IEEE Trans. Image Process. 2018. Vol. 27, no. 11. P. 5475–5489. doi: 10.1109/TIP.2018.2857448 

7.   Mozerov M., van de Weijer J. Improved recursive geodesic distance computation for edge preserving filter // IEEE Trans. Image Process., 2017. Vol. 26, no. 8. P. 3696–3706.

8.   Агеев А.Л., Антонова Т.В. Аппроксимация линий разрыва зашумленной функции двух переменных // Сиб. журн. индустр. математики. 2012. Т. 15, № 1(49). С. 3–13.

9.   Агеев А.Л., Антонова Т.В. К вопросу о глобальной локализации линий разрыва функции двух переменных // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2018. Т. 24, № 2. С. 12–23.

10.   Ageev A.L., Antonova T.V. New methods for the localization of discontinuities of the first kind for functions of bounded variation // J. Inverse Ill-Posed Probl. 2013. Vol. 21. no. 2. P. 177–191. doi: 10.1515/jip-2012-0039 

11.   Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления: в 3 т. Т. 1. 8-е изд. М.: Физматлит, 2003. 680 с.

12.    Макаров Б.М., Подкорытов А.Н Лекции по вещественному анализу. СПб.: БХВ–Петербург, 2011. 688 с.

Поступила 16.12.2021

После доработки 20.01.2022

Принята к публикации 24.01.2022

Агеев Александр Леонидович
д-р физ.-мат. наук, профессор
зав. отделом
Институт математики и механики им. Н.Н. Красовского УрО РАН
г. Екатеринбург
e-mail: ageev@imm.uran.ru

Антонова Татьяна Владимировна
д-р физ.-мат. наук
ведущий науч. сотрудник
Институт математики и механики им. Н.Н. Красовского УрО РАН
г. Екатеринбург
e-mail: tvantonova@imm.uran.ru

Ссылка на статью: А.Л. Агеев, Т.В. Антонова. Об аппроксимации нормали к линиям разрыва зашумленной функции // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2022. Т. 28, № 2. С. 7-23

English

A.L. Ageev, T.V. Antonova. Approximation of the normal to the discontinuity lines of a noisy function

The work is devoted to the construction of regularizing algorithms for solving the ill-posed problem of determining the normal and the position of the discontinuity lines of a function of two variables. It is assumed that the function is smooth outside the discontinuity lines, and at each point on the line it has a discontinuity of the first kind. The case is considered when the exact function is unknown, and instead of it, at each node of a uniform grid with a step $\tau$, the mean values on the square with side $\tau$ of the perturbed function are known. The perturbed function approximates the exact function in the space $L_2(\mathbb{R}^2)$ and the perturbation level $\delta$ is assumed to be known. Previously, the authors investigated (obtained accuracy estimates for) global discrete regularizing algorithms for approximating the set of discontinuity lines of a noisy function. To suppress noise when constructing the algorithms, the idea of averaging the original disturbed data over both variables is used. In this work, methods are constructed that allow finding a set of pairs (grid point and vector): the grid point approximates the discontinuity line of the exact function, and the corresponding vector approximates the normal to the discontinuity line.These algorithms are investigated for the special case when the break lines are polygonal. Estimates of the accuracy of approximation of discontinuity lines and normals are obtained.

Keywords: ill-posed problem, regularization method, discontinuity lines, global localization, discretization, separability threshold, normal

Received December 16, 2021

Revised January 20, 2022

Accepted January 24, 2022

Alexander Leonidivich Ageev, Dr. Phys.-Math. Sci., Prof., Krasovskii Institute of Mathematics and Mechanics of the Ural Branch of the Russian Academy of Sciences, Yekaterinburg, 620108 Russia, e-mail: ageev@imm.uran.ru

Tatiana Vladimirovna Antonova, Dr. Phys.-Math. Sci., Krasovskii Institute of Mathematics and Mechanics of the Ural Branch of the Russian Academy of Sciences, Yekaterinburg, 620108 Russia, e-mail: tvantonova@imm.uran.ru

Cite this article as: A.L. Ageev, T.V. Antonova. Approximation of the normal to the discontinuity lines of a noisy function. Trudy Instituta Matematiki i Mekhaniki UrO RAN, 2022, vol. 28, no. 2, pp. 7–23.

[References -> on the "English" button bottom right]