А.И. Созутов, Н.М. Сучков, Н.Г. Сучкова. О смешанных нормальных подгруппах группы Lim($\mathbb{N}$) ... С. 187-192

УДК 512.54

MSC: 20B07, 20B30, 20B35

DOI: 10.21538/0134-4889-2022-28-2-187-192

Исследования А.И. Созутова по построению бесконечно убывающих и бесконечно возрастающих цепочек смешанных нормальных подгрупп группы Lim($\mathbb {N}$) (теорема 1) выполнены при поддержке РНФ (проект № 19-71-10017). Исследования Н.М. Сучкова и Н.Г. Сучковой поддержаны Красноярским математическим центром, финансируемым Минобрнауки РФ (Соглашение 075-02-2022-876).

Пусть $\mathbb{N}$ — множество натуральных чисел. Подстановка $g$ множества $\mathbb{N}$ называется ограниченной, если существует такое натуральное $\alpha$, что $|\beta - \beta^g| \leqslant |\alpha - \alpha^g|$ для всех $\beta \in \mathbb{N}$. Обозначим через $G = \mathrm{Lim}(\mathbb{N})$ группу всех ограниченных подстановок множества $\mathbb{N}$. В 2010 г.  Н.М. Сучков и Н.Г. Сучкова доказали, что смешанная группа $G = AB$, где $A,B$ — локально конечные подгруппы группы $G$. В  2016 г. они описали локально конечный радикал $R$ группы $G$. В частности, доказан следующий результат. Если $H$ — нормальная подгруппа группы $G$, то либо $H\leqslant R$, либо $H$ — смешанная подгруппа группы $G$. В данной статье мы изучаем смешанные нормальные подгруппы группы $G$. Показано, что существует континуальное множество таких подгрупп. Приводятся примеры бесконечно убывающих и бесконечно возрастающих цепочек смешанных нормальных подгрупп группы $G$. В 2020 г. авторы доказали аналогичные результаты для локально конечных нормальных подгрупп группы $G$.

Ключевые слова: группа, ограниченная подстановка, смешанная группа, нормальная подгруппа, ряды подгрупп

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1.   Сучков Н.М., Сучкова Н.Г. О группах ограниченных подстановок // Журн. Сиб. федерал. ун-та. 2010. Т. 3, № 2. С. 262–266.

2.   Созутов А.И., Сучков Н.М., Сучкова Н.Г. О подгруппах группы Lim($\mathbb{N}$) // Сиб. электрон. мат. изв. 2020. Т. 17. С. 208–217.

3.   Каргаполов, М.И., Мерзляков Ю.И. Основы теории групп. Москва: Наука, 1982. 288 с.

Поступила 23.02.2022

После доработки 30.03.2022

Принята к публикации 4.04.2022

Созутов Анатолий Ильич
д-р физ.-мат. наук, профессор
Сибирский федеральный университет, г. Красноярск
e-mail: sozutov_ai@mail.ru

Сучков Николай Михайлович
д-р физ.-мат. наук, профессор
Сибирский федеральный университет, г. Красноярск
e-mail: ns7654321@mail.ru

Сучкова Надежда Георгиевна
канд. физ.-мат. наук, доцент
Сибирский федеральный университет, г. Красноярск
e-mail: ns7654321@mail.ru

Ссылка на статью: А.И. Созутов, Н.М. Сучков, Н.Г. Сучкова. О смешанных нормальных подгруппах группы Lim(N) // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2022. Т. 28, № 2. С. 187-192

English

A.I. Sozutov, N.M. Suchkov, N.G. Suchkova. On mixed normal subgroups of the group Lim($\mathbb{N}$)

Let $\mathbb{N}$ be the set of natural numbers. A permutation $g$ of the set $\mathbb{N}$ is called limited if there exists $\alpha\in \mathbb{N}$ such that $|\beta-\beta^g|\leqslant|\alpha-\alpha^g|$ for every $\beta\in \mathbb{N}$. Denote by $G=\mathrm{Lim}(\mathbb{N})$ the group of all limited permutations of the set $\mathbb{N}$. In 2010 N.M. Suchkov and N.G. Suchkova proved that $G = AB$, where $A$ and $B$ are locally finite subgroups of $G$. In 2016 the same authors described the locally finite radical $R$ of the group $G$. In particular, the following result was proved: if $H$ is a normal subgroup of $G$, then either $H\leqslant R$ or $H$ is a mixed subgroup of $G$. In this paper we study mixed normal subgroups of the group $G$. It is proved that there exists a continuum set of such subgroups. We give examples of infinitely decreasing and infinitely increasing chains of mixed normal subgroups of $G$. In 2020 the authors proved similar results for locally finite normal subgroups of $G$.

Keywords: group, limited permutation, mixed group, normal subgroup, chains of subgroups

Received February 23, 2022

Revised March 30, 2022

Accepted April 4, 2022

Funding Agency: The research of the first author on the construction of infinitely decreasing and infinitely increasing chains of mixed normal subgroups of the group Lim(N) (Theorem 1) was supported by the Russian Science Foundation (project no. 19-71-10017). The research of the second and third authors was supported by the Krasnoyarsk Mathematical Center, which is financed by the Ministry of Science and Higher Education of the Russian Federation (agreement no. 075-02-2022-876).

Anatoly Ilyich Sozutov, Dr. Phys.-Math. Sci., Prof., Siberian Federal University, Krasnoyarsk, 660041 Russia, e-mail: sozutov_ai@mail.ru

Nikolai Mihailovich Suchkov, Dr. Phys.-Math. Sci., Prof., Siberian Federal University, Krasnoyarsk, 660041 Russia, e-mail: ns7654321@mail.ru

Nadezhda Georgievna Suchkova, Cand. Phys.-Math. Sci., Read., Siberian Federal University, Krasnoyarsk, 660041 Russia, e-mail: ns7654321@mail.ru

Cite this article as: A.I. Sozutov, N.M. Suchkov, N.G. Suchkova. On mixed normal subgroups of group Lim(N), Trudy Instituta Matematiki i Mekhaniki UrO RAN, 2022, vol. 28, no. 2, pp. 187–192.

[References -> on the "English" button bottom right]