М.В. Першаков. К вычислению хаусдорфова отклонения выпуклых многоугольников в $\mathbb{R}^2$ от их геометрической разности с кругами ... С. 209-217

УДК 514.712.2

MSC: 11H16, 28A78

DOI: 10.21538/0134-4889-2022-28-1-209-217

Работа выполнена в рамках исследований, проводимых в Уральском математическом центре при финансовой поддержке Министерства науки и высшего образования Российской Федерации (номер соглашения 075-02-2021-1383).

Изучается задача, относящаяся к~вычислению хаусдорфова отклонения выпуклых многоугольников в $\mathbb{R}^2$ от их геометрической разности с кругами достаточно малого радиуса. Задачи с такой тематикой, в которых рассматриваются не только выпуклые многоугольники, но и выпуклые компакты в евклидовом пространстве $\mathbb{R}^n,$ возникают в различных областях математики, и в частности в теории дифференциальных игр, теории управления, выпуклом анализе. Оценки  хаусдорфовых отклонений выпуклых компактов в $\mathbb{R}^n $ от их геометрической разности с замкнутыми шарами в $\mathbb{R}^n$ присутствуют в работах Л.С. Понтрягина, его сотрудников и коллег. Эти оценки весьма существенны при выводе оценки рассогласования альтернированного интеграла  Л.С. Понтрягина в линейных дифференциальных играх преследования и альтернированных сумм. Аналогичные оценки оказываются полезными при~выводе оценки рассогласования множеств достижимости нелинейных управляемых систем в $\mathbb{R}^n $ и аппроксимирующих их множеств. В работе рассмотрен выпуклый многоугольник в $\mathbb{R}^2$. Получена формула для вычисления хаусдорфова отклонения многоугольника от его геометрической разности с кругом в $\mathbb{R}^2$, радиус которого меньше минимального из радиусов кругов, вписанных в трёхзвенники многоугольника $\Phi$.

Ключевые слова: выпуклый многоугольник в $\mathbb{R}^2$, хаусдорфово отклонение, круг, геометрическая разность множеств

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1.   Понтрягин Л.С. Линейные дифференциальные игры преследования // Мат. сб. 1980. Т. 112 (154), № 3 (7). С. 307–330.

2.   Понтрягин Л.С. Избранные научные труды. Т. 2. М.: Наука, 1988. 576 c.

3.   Никольский М.С. Об альтернированном интеграле Л.С. Понтрягина // Мат. сб. 1981. Т. 116 (158), № 1 (9). С. 136–144.

4.   Nikol’skii M.S. Approximate computation of the least guaranteed estimate in linear differential games with a fixed duration // J. Appl. Math. Mech. 1982. Vol. 46, No 4. P. 550–552. doi: 10.1016/0021-8928(82)90044-2 

5.   Половинкин Е.С. Стабильность терминального множества и оптимальность времени преследования в дифференциальных играх // Дифференц. уравнения. 1984. Т. 20, № 3. С. 433–446.

6.   Пономарев А.П., Розов Н.Х. Устойчивость и сходимость альтернированных сумм Понтрягина // Вестн. Москов. ун-та. Сер. 15: Вычисл. математика и кибернетика. 1978. № 1. С. 82–90.

7.   Азамов А.А. Полуустойчивость и двойственность в теории альтернированного интеграла Понтрягина // Докл. АН СССР. 1988. Т. 299. № 2. C. 265–268.

8.   Половинкин Е.С. и др. Об альтернированном интеграле Л.С. Понтрягина. Стабильность терминального множества и оптимальность времени преследования в дифференциальных играх // Мат. сб. 2001. Т. 192, № 10. C. 95–122.

9.   Azamov A.A., Iskanadjiev I.M. Pontryagin’s alternating integral for differential inclusions with counteraction // Contributions to Game Theory and Management. 2012. Vol 5. P. 33–44.

10.   Ершов А.А., Ушаков А.В., Ушаков В.Н. О двух игровых задачах о сближении // Мат. сб. 2021. Т. 212, № 9. С. 40–74. doi: 10.4213/sm9496 

11.   Ушаков В.Н., Першаков М.В. К оценке хаусдорфова отклонения выпуклых многоугольников в $\mathbb{R}^2$ от их геометрической разности с кругами // Вестн. Удмурт. ун-та. Математика. Механика. Комп. науки. 2020. Vol. 30, № 4. P. 585–603. doi: 10.35634/vm200404 

12.   Петров Н.Н. Введение в выпуклый анализ: уч. пособие. Ижевск: Изд-во УдГУ, 2008. 168 c.

Поступила 22.08.2021

После доработки 22.10.2021

Принята к публикации 25.10.2021

Першаков Максим Вадимович
математик
Институт математики и механики им. Н.Н. Красовского УрО РАН
г. Екатеринбург
e-mail: Mper192@yandex.ru

Ссылка на статью: М.В. Першаков. К вычислению хаусдорфова отклонения выпуклых многоугольников в $\mathbb{R}^2$ от их геометрической разности с кругами // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2022. Т. 28, № 1. С. 209-217

English

M.V. Pershakov. On the calculation of the Hausdorff deviation of convex polygons in $\mathbb{R}^2$ from their geometric difference with disks

We study a problem concerning the calculation of the Hausdorff deviation of convex polygons in $\mathbb{R}^2$ from their geometric difference with disks of sufficiently small radius. Problems of this kind, in which not only convex polygons but also convex compact sets in Euclidean space $\mathbb{R}^n$ are considered, arise in various fields of mathematics, in particular, in the theory of differential games, control theory, and convex analysis. Estimates of the Hausdorff deviations of convex compact sets in $\mathbb{R}^n$ from their geometric difference with closed balls in $\mathbb{R}^n$ are found in the works of L.S. Pontryagin and his colleagues. These estimates are essential in deriving an estimate for the discrepancy between Pontryagin's alternating integral in linear differential games of pursuit and alternating sums. Similar estimates turn out to be useful in deriving an estimate for the discrepancy between reachable sets of nonlinear control systems in $\mathbb{R}^n$ and the sets approximating them. The paper considers a convex polygon in $\mathbb{R}^2$. We derive a formula for the Hausdorff deviation of the polygon from its geometric difference with a disk in $\mathbb{R}^2$ whose radius is less than the smallest of the radii of the circles inscribed in the three-links of the polygon.

Keywords: convex polygon in $\mathbb{R}^2$, Hausdorff deviation, disk, geometric difference of sets

Received August 22, 2021

Revised October 22, 2021

Accepted October 25, 2021

Funding Agency: This study is a part of the research carried out at the Ural Mathematical Center and supported by the Ministry of Science and Higher Education of the Russian Federation (agreement no. 075-02-2021-1383).

Maksim Vadimovich Pershakov, Krasovskii Institute of Mathematics and Mechanics of the Ural Branch of the Russian Academy of Sciences, Yekaterinburg, 620108 Russia, e-mail: Mper192@yandex.ru

Cite this article as: M.V. Pershakov. On the calculation of the Hausdorff deviation of convex polygons in $\mathbb{R}^2$ from their geometric difference with disks, Trudy Instituta Matematiki i Mekhaniki UrO RAN, 2022, vol. 28, no. 1, pp. 209–217.

[References -> on the "English" button bottom right]