А.С. Кондратьев, И.Д. Супруненко, И.В. Храмцов. О конечных $4$-примарных группах c несвязным графом Грюнберга - Кегеля и композиционным фактором, изоморфным $L_3(17)$ или $Sp_4(4)$ ... С. 139-155

УДК 512.542

MSC: 20D06, 20D20, 20D60, 20C20, 20C33,20G05, 05C25

DOI: 10.21538/0134-4889-2022-28-1-139-155

Исследование первого автора выполнено при финансовой поддержке РФФИ в рамках научного проекта № 20-01-00456, а также проекта повышения конкурентоспособности ведущих университетов России (соглашение 02.А03.210006 от 27.08.2013); исследование второго автора поддержано Институтом математики НАН Беларуси в рамках государственной программы научных исследований “Конвергенция-2025”.

Графом Грюнберга — Кегеля (графом простых чисел) конечной группы $G$ называется граф, в котором вершинами служат простые делители порядка группы $G$ и две различные вершины $p$ и $q$ смежны тогда и только тогда, когда $G$ содержит элемент порядка $pq$. В теории конечных групп динамично развивается направление исследований конечных групп по свойствам их графов Грюнберга — Кегеля. Детальное изучение класса конечных групп с несвязным графом Грюнберга — Кегеля — одна из важных задач в этом направлении. В 2010–2011 гг. первый и третий авторы описали нормальное строение конечных 3-примарных и 4-примарных групп с несвязным графом Грюнберга — Кегеля. Однако в этом описании был пропущен случай, когда 4-примарная группа имеет композиционный фактор, изоморфный группе $L_3(17)$ или $Sp_4(4)$. Восполняя этот пробел, в данной работе мы получаем описание рассматриваемых групп в этом пропущенном случае. Тем самым описание нормального строения 4-примарных групп с несвязным графом Грюнберга — Кегеля поправлено. В ходе доказательства вычислена 2-модулярная матрица разложения группы $L_3(17)$  (с точностью до двух параметров, каждый из которых принимает значение 1 или 2), что представляет самостоятельный интерес.

Ключевые слова: конечная группа, алгебраическая группа, неразрешимая 4-примарная группа, главный фактор, несвязный граф Грюнберга — Кегеля, характер, характер Брауэра, матрица разложения

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1.   Белоногов В.А. Представления и характеры в теории конечных групп. Свердловск: Изд-во УрО АН СССР, 1990. 380 с.

2.   Бурбаки Н. Группы и алгебры Ли. Гл. IV–VI. М.: Мир, 1972. 334 с.

3.   Бурбаки Н. Группы и алгебры Ли, гл. VII–VIII. М.: Мир, 1978. 342 с.

4.   Кондратьев А.С. О компонентах графа простых чисел конечных простых групп // Мат. сб. 1989. Т. 180, № 6. С. 787–797.

5.   Кондратьев А.С., Храмцов И.В. О конечных трипримарных группах // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2010. Т. 16, № 3. С. 150–158.

6.   Кондратьев А.С., Храмцов И.В. О конечных четырепримарных группах // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2011. Т. 17, № 4. С. 142–159.

7.   Кэртис Ч., Райнер И. Теория представлений конечных групп и ассоциативных алгебр. М.: Наука, 1969. 668 с.

8.   Р. Стейнберг R. Лекции о группах Шевалле. М.: Мир, 1975. 262 с.

9.   И.Д. Супруненко. Сохранение систем весов неприводимых представлений алгебраической группы и алгебры Ли типа $A_l$  с ограниченными старшими весами при редукции по модулю $p$ // Весцi АН БССР. Сер. фiз.-мат. навук. 1983. № 2. С. 18–22.

10.   Arad Z., W. Herford W. Classification of finite groups with a CC-subgroup // Comm. Algebra 2004. Vol. 32, no. 6. P. 2087–2098.

11.   Atlas of finite groups / J.H. Conway [et. al.]. Oxford: Clarendon Press, 1985. 252 p.

12.   An atlas of Brauer characters / C. Jansen [et. al.]. Oxford: Clarendon Press, 1995. 327 p.

13.   Baranov A.A., Osinovskaya A.A., Suprunenko I.D. Modular representations of the special linear groups with small weight multiplicities // J. Algebra. 2014. Vol. 397. P. 225–251.

14.   Bray J.N., Holt D.F., Roney-Dougal C.M. The maximal subgroups of the low-dimensional finite classical groups. Cambridge: Cambridge University Press, 2013. 438 p. (London Math. Soc. Lect. Note Ser.; vol. 407).

15.   Craven D.A. Representation theory of finite groups: a guidebook. Universitext. Cham: Springer, 2019. 294 p.

16.   Dipper R. On the decomposition matrices of the finite general linear groups II // Trans. Amer. Math. Soc. 1985. Vol. 292, no. 1. P. 123–133.

17.   Dornhoff L. Group representation theory. Pt. B: modular representation theory. NY: Marcell Dekker, 1972. 256 p.

18.   The GAP Group, GAP — Groups, Algorithms, and Programming, Ver.  4.11.1. 2021. URL: http://www.gap-system.org 

19.   Huppert B. Endliche Gruppen I. Berlin etc.: Springer, 1967. 453 S.

20.   Huppert B., Blackburn N. Finite groups II. Berlin: Springer-Verlag, 1982. 531 p.

21.   Iiyori N., Yamaki H. Prime graph components of the simple groups of Lie type over the fields of even characteristic // J. Algebra. 1993. Vol. 155, no. 2. P. 335–343; Corrigenda // J. Algebra. 1996. Vol. 181, no. 2. P. 659.

22.   Jantzen J.C. Representations of algebraic groups, Second Edition. Providence, R.I.: Amer. Math. Soc., 2003. 576 p.

23.   Lucido M.S. Prime graph components of finite almost simple groups // Rend. Sem. Mat. Univ. Padova. 1999. Vol. 102. P. 1–22; addendum // Rend. Sem. Mat. Univ. Padova. 2002. Vol. 107. P. 189–190.

24.   Mortimer B. The modular permutation representations of the known doubly transitive groups // Proc. London Math. Soc. (3) 1980. Vol. 41, no. 1. P. 1–20.

25.   Simpson W., Frame J.S. The character tables for $SL(3,q)$, $SU(3,q^2)$, $PSL(3,q)$, $PSU(3,q^2)$ // Canad. J. Math. 1973. Vol. 25, no. 3 P. 486–494.

26.   R. Steinberg. Representations of algebraic groups // Nagoya Math. J. 1963. Vol. 22. P. 33–56.

27.   Williams J.S. Prime graph components of finite groups // J. Algebra. 1981. Vol. 69, no. 2. P. 487–513.

Поступила 16.11.2021

После доработки 14.12.2021

Принята к публикации 20.12.2021

Кондратьев Анатолий Семенович
д-р физ.-мат. наук, профессор
зав. сектором
Институт математики и механики им. Н.Н. Красовского УрО РАН
г. Екатеринбург
e-mail: A.S.Kondratiev@imm.uran.ru

Супруненко Ирина Дмитриевна
д-р физ.-мат. наук
главный науч. сотрудник
Институт математики НАН Беларуси
г. Минск, Беларусь
e-mail: suprunenko@im.bas-net.by

Храмцов Игорь Владимирович
канд. физ.-мат. наук
старший инженер-программист
ООО “Яндекс Технологии”
г. Москва
e-mail: ihramtsov@gmail.com

Ссылка на статью: А.С. Кондратьев, И.Д. Супруненко, И.В. Храмцов. О конечных $4$-примарных группах c несвязным  графом Грюнберга - Кегеля и композиционным фактором, изоморфным $L_3(17)$ или $Sp_4(4)$ // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2022. Т. 28, № 1. С. 139-155

English

A.S. Kondrat’ev, I.D. Suprunenko, I.V. Khramtsov. On finite 4-primary groups having a disconnected Gruenberg–Kegel graph and a composition factor isomorphic to $L_3(17)$ or $Sp_4(4)$

The Gruenberg–Kegel graph (the prime graph) $\Gamma(G)$ of a finite group $G$ is the graph in which the vertices are the prime divisors of the order of $G$ and two distinct vertices $p$ and $q$ are adjacent if and only if $G$ contains an element of order $pq$. Investigations of finite groups by the properties of their Gruenberg–Kegel graphs form a dynamically developing branch of the finite group theory. A detailed study of the class of finite groups with disconnected Gruenberg–Kegel graphs is one of the important problems in this direction. In 2010–2011, the first and the third authors described the normal structure of finite 3-primary and 4-primary groups with disconnected Gruenberg–Kegel graphs. Unfortunately, the case where a 4-primary group has a composition factor isomorphic to $L_3(17)$ or $Sp_4(4)$  has been omitted in this description. In the present paper, we obtain a description of the groups under consideration in the omitted case. Now a description of the normal structure of finite 4-primary groups with disconnected Gruenberg–Kegel graphs is corrected. In the course of the proof, the 2-modular decomposition matrix of the group $L_3(17)$  is calculated (up to two parameters every of which takes value 1 or 2).

Keywords: finite group, algebraic group, non-solvable 4-primary group, chief factor, disconnected Gruenberg–Kegel graph, character, Brauer character, decomposition matrix

Received November 16, 2021

Revised December 14, 2021

Accepted December 20, 2021

Funding Agency: The first author was supported by the Russian Foundation for Basic Research (project no. № 20-01-00456) and by the Russian Academic Excellence Project (agreement no. 02.A03.21.0006 of August 27, 2013,  between the Ministry of Education and Science of the Russian Federation and Ural Federal University); the second author was supported by the Institute of Mathematics of the National Academy of Sciences of Belarus (the State Research Programme “Convergence-2025”).

Anatolii Semenovich Kondrat’ev, Dr. Phys.-Math. Sci., Krasovskii Institute of Mathematics and Mechanics of the Ural Branch of the Russian Academy of Sciences, Yekaterinburg, 620108 Russia, e-mail: A.S.Kondratiev@imm.uran.ru

Irina Dmitrievna Suprunenko, Dr. Phys.-Math. Sci., Institute of Mathematics of the National Academy of Sciences of Belarus, Minsk, 200072 Belarus, e-mail: suprunenko@im.bas-net.by

Igor Vladimirovich Khramtsov, Cand. Sci. (Phys.-Math.), OOO “Yandex Tehnology”, Moscow, 119021 Russia, e-mail: ihramtsov@gmail.com

Cite this article as: A.S. Kondrat’ev, I.D. Suprunenko, I.V. Khramtsov. On finite 4-primary groups having a disconnected Gruenberg–Kegel graph and a composition factor isomorphic to  $L_3(17)$ or $Sp_4(4)$, Trudy Instituta Matematiki i Mekhaniki UrO RAN, 2022, vol. 28, no. 1, pp. 139–155.

[References -> on the "English" button bottom right]