А.Л. Агеев, Т.В. Антонова. Алгоритмы локализации линий разрыва с новым типом усреднения ... C. 5-18

УДК 517.988.68

MSC: 65J22, 68U10

DOI: 10.21538/0134-4889-2021-27-4-5-18

Рассматривается некорректно поставленная задача локализации (определения положения) линий разрыва функции двух переменных. Считается, что вне линий разрыва функция гладкая, а в каждой точке на линии имеет разрыв первого рода. Для равномерной сетки с шагом $\tau$ предполагается, что в каждом узле известны средние значения на квадрате со стороной $\tau$ от возмущенной функции. Возмущенная функция приближает точную функцию в пространстве $L_2(\mathbb{R}^2)$ с известным уровнем возмущения $\delta$. Конструируются глобальные дискретные регуляризирующие алгоритмы аппроксимации линий разрыва по зашумленным данным. Предложен новый подход к построению методов усреднения для решения задачи локализации. Использование нового типа усреднения позволяет построить регуляризирующие алгоритмы без использования производной усредняющей функции. Разработана и использована новая методика получения оценок. Эта методика применима для широкого класса новых методов с неклассической областью усреднения. На классах функций с кусочно-линейными линиями разрыва проведены оценки точности локализации и других важных характеристик регуляризирующего алгоритма. Показано, что новые алгоритмы в некоторых ситуациях экономичнее по числу операций по сравнению с методами, которые были исследованы авторами в предшествующих работах.

Ключевые слова: некорректная задача, метод регуляризации, линии разрыва, глобальная локализация, дискретизация, порог разделимости

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1.   Тихонов А. Н., Арсенин В. Я. Методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1979. 288 с.

2.   Иванов В. К., Васин В. В., Танана В. П. Теория линейных некорректных задач и ее приложения. М.: Наука, 1978. 206 с.

3.   Vasin V. V., Ageev A. L. Ill-posed problems with a priori information. Utrecht: VSP, 1995. 255 с.

4.   Малла С. Вэйвлеты в обработке сигналов. М.: Мир, 2005. 671 с.

5.   Введение в контурный анализ и его приложения к обработке изображений и сигналов / ред. Я. А. Фурмана. М.: Физматлит, 2002. 596 с.

6.   Гонсалес Р., Вудс Р. Цифровая обработка изображений. Изд. 3-е исправленное и дополненное. М.: Техносфера, 2012. 1104 с.

7.   Антонова Т.В. Метод локализации линии разрыва приближенно заданной функции двух переменных // Сиб. журн. вычисл. математики. 2012. Т. 15, № 4. C. 345–357.

8.   Агеев А.Л., Антонова Т.В. К вопросу о глобальной локализации линий разрыва функции двух переменных // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2018. Т. 24, № 2. С. 12–23. doi: 10.21538/0134-4889-2018-24-2-12-23 

9.   Mafi M., Rajaei H., Cabrerizo M., and Adjouadi M. A robust edge detection approach in the presence of high impulse noise intensity through switching adaptive median and fixed weighted mean filtering // IEEE Transactions on image processing. 2018. Vol. 27, no. 11. P. 5475–5489. doi: 10.1109/TIP.2018.2857448 

10.   Al-nasrawi M., Deng G., Thai B. Edge-aware smoothing through adaptive interpolation // Signal, Image and Video Processing. 2018. Vol. 12. P. 347—354. doi: 10.1007/s11760-017-1164-x 

11.   Чочиа П.А. Контурно-ограниченное сглаживание, сохраняющее структуру // Информационные процессы. 2020. Т. 20, № 3. С. 193–204.

12.   Ageev A.L., Antonova T.V. New methods for the localization of discontinuities of the first kind for functions of bounded variation // J. Inverse Ill-Posed Probl. 2013. Vol. 21. no. 2. P. 177–191.

13.   Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления: в 3 т. Т. 1. 8-е изд. М.: Физматлит, 2003. 680 с.

14.   Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления: в 3 т. Т. 3. 8-е изд. М.: Физматлит, 2003. 728 с.

Поступила 19.03.2021

После доработки 13.05.2021

Принята к публикации 17.05.2021

Агеев Александр Леонидович
д-р физ.-мат. наук, профессор
зав. отделом
Институт математики и механики им. Н.Н. Красовского УрО РАН
г. Екатеринбург
e-mail: ageev@imm.uran.ru

Антонова Татьяна Владимировна
д-р физ.-мат. наук, ведущий науч. сотрудник
Институт математики и механики им. Н.Н. Красовского УрО РАН
г. Екатеринбург
e-mail: tvantonova@imm.uran.ru

Ссылка на статью: А.Л. Агеев, Т.В. Антонова. Алгоритмы локализации линий разрыва с новым типом усреднения// Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2021. Т. 27, № 4. C. 5-18

English

A.L. Ageev, T.V. Antonova. Algorithms for localizing discontinuity lines with a new type of averaging

We consider the ill-posed problem of localizing (finding the position of) the discontinuity lines of a function of two variables. It is assumed that the function is smooth outside the discontinuity lines and has a discontinuity of the first kind at each point of these lines. The average values of the perturbed function on a square $\tau\times\tau$ are assumed to be known at each node of a uniform grid with step $\tau$. The perturbed function with a given perturbation level $\delta$ approximates the exact function in the space $L_2(\mathbb{R}^2)$. Global discrete regularizing algorithms are constructed for the localization of the discontinuity lines from noisy data. A new approach to the construction of averaging methods for solving the localization problem is proposed. The use of a new type of averaging allows one to construct regularizing algorithms without using the derivative of the averaging function. A new technique is developed and used for deriving estimates. This technique is  applicable to a wide range of new methods with a nonclassical averaging domain. On classes of functions with piecewise linear discontinuity lines, estimates of the localization error and other important characteristics of the regularizing algorithm are obtained. It is shown that the new algorithms in some situations are more economical in terms of the number of operations compared to the methods that were investigated by the authors in previous works.

Keywords: ill-posed problem, regularization method, discontinuity lines, global localization, discretization, separability threshold

Received March 19, 2021

Revised May 13, 2021

Accepted May 17, 2021

Alexander Leonidivich Ageev, Dr. Phys.-Math. Sci., Prof., Krasovskii Institute of Mathematics and Mechanics of the Ural Branch of the Russian Academy of Sciences, Yekaterinburg, 620108 Russia, e-mail: ageev@imm.uran.ru

Tatiana Vladimirovna Antonova, Dr. Phys.-Math. Sci., Krasovskii Institute of Mathematics and Mechanics of the Ural Branch of the Russian Academy of Sciences, Yekaterinburg, 620108 Russia, e-mail: tvantonova@imm.uran.ru

Cite this article as: A.L. Ageev, T.V. Antonova. Algorithms for localizing discontinuity lines with a new type of averaging, Trudy Instituta Matematiki i Mekhaniki UrO RAN, 2021, vol. 27, no. 4, pp. 5–18.

[References -> on the "English" button bottom right]