Andrew Misseldine. Enumeration Techniques on Cyclic Schur Rings ... P. 276-289

AMS: 20c05, 05c25, 05e30, 05a15 05e16 20k27

DOI: 10.21538/0134-4889-2021-27-4-276-289

This paper is based on the results of the 2020 Ural Workshop on Group Theory and Combinatorics.

Any Schur ring is uniquely determined by a partition of the elements of the group. In this paper we present a general technique for enumerating Schur rings over cyclic groups using traditional Schur rings. We also survey recent efforts to enumerate Schur rings over cyclic groups of specific orders.

Keywords: Schur ring, cyclic group, association scheme, lattice of subgroups


1.   Ashrafi A.R. and Koorepazan-Moftakhar F. Towards the classification of finite simple groups with exactly three or four supercharacter theories. Asian-Eur. J. Math., 2018, vol. 11, no. 5, 21 p., Id/No 1850096.

2.   Ashrafi Ali Reza and Koorepazan-Moftakhar Fatemeh. Denombrement des theories de supercaracteres d’un groupe fini. C. R, Math., Acad. Sci. Paris, 2019, vol. 357, no. 4, pp. 323–326.

3.   Bastian Nicholas, Brewer Jaden, Humphries Stephen, Misseldine Andrew, and Thompson Cache. On Schur rings over infinite groups. Algebras and Representation Theory, 2020, vol. 23, pp. 493–511. doi: 10.1007/s10468-019-09859-7 

4.   Bosma Wieb, Cannon John, and Playoust Catherine. The Magma algebra system. I. The user language. J. Symbolic Comput., 1997, vol. 24, no. 3-4, pp. 235–265. doi: 10.1006/jsco.1996.0125 

5.   Burkett Shawn, Lamar Jonathan, Lewis Mark L., and Wynn Casey. Groups with exactly two supercharacter theories. Commun. Algebra, 2017, vol. 45, no. 3, pp. 977–982.

6.   Calugareanu Grigore. The total number of subgroups of a finite Abelian group. Sci. Math. Jpn., 2004, vol. 60, no. 1, pp. 157–167.

7.   Evdokimov S.A. and Ponomarenko I.N. On a family of Schur rings over a finite cyclic group. St. Petersbg. Math. J., 2002, vol. 13, no. 3, pp. 441–451.

8.   Evdokimov S.A. and Ponomarenko I.N. Characterization of cyclotomic schemes and normal Schur rings over a cyclic group. St. Petersbg. Math. J., 2003, vol. 14, no. 2, pp. 11–55.

9.   Evdokimov  S.A. and Ponomarenko I.N. Schurity of S-rings over a cyclic group and generalized wreath product of permutation groups. St. Petersbg. Math. J., 2013, vol. 24, no. 3, pp. 431–460.

10.   Evdokimov Sergei, Kovács István, and Ponomarenko Ilya. On schurity of finite Abelian groups. Commun. Algebra, 2016, vol. 44, no. 1, pp. 101–117. doi: 10.1080/00927872.2014.958848 

11.   Goursat E. Sur les substitutions orthogonales et les divisions regulieres de l’espace. Ann. Sci.  Ec. Norm. Super. (3), 1889, vol. 6, pp. 9–102.

12.   Hendrikson Anders O. F. Supercharacter theory constructions corresponding to Schur ring products. Commun. Algebra, 2012, vol. 40, pp. 4420–4438.

13.   Humphries Stephen P. and Wagner David R. Central Schur rings over the projective special linear groups. Commun. Algebra, 2017, vol. 45, no. 12, pp. 5325–5337. doi: 10.1080/00927872.2017.1316855 

14.   Keller Joseph, Misseldine Andrew, and Sullivan Max. Counting Schur rings over semi-prime order. Preprint, 2020, 18 p. Available on: arXiv:2005.06373 [math.GR] .

15.   Kerby Brent. Rational Schur rings over Abelian groups. 2008. 90 p. Theses and Dissertations. No. 1491. Available on: 

16.   Kovács István . The number of indecomposable Schur rings over a cyclic 2-group. Seminaire Lotharingien de Combinatoire, 2005, vol. 5, 16 p. Article B51h.

17.   Lang Alexander. An enumeration of the supercharacter theories of $C_p\times C_2 \times C_2$  for prime $p$. Preprint. Available on: arXiv:1609.07182 [math.RT] .

18.   Leung Ka Hin and Ma Siu Lun. The structure of Schur rings over cyclic groups. J. Pure and Appl. Algebra, 1990, vol. 66, pp. 287–302.

19.   Leung Ka Hin and Man Shin Hing. On Schur rings over cyclic groups II. J. Algebra, 1996, vol. 183, pp. 273–285.

20.   Leung Ka Hin and Man Shin Hing. On Schur rings over cyclic groups. Israel J. Math., 1998, vol. 106, pp. 251–267.

21.   Liskovets V. and Pöschel R.. Counting circulant graphs of prime-power order by decomposing into orbit enumeration problems. Discr. Math., 2000, vol. 214, pp. 173–191.

22.   Misseldine Andrew. Counting Schur rings over cyclic groups. J. Algebraic Comb., 2020, vol. 51, pp. 155–169.

23.   Muzychuk Mikhail and Ponomarenko Ilia. Schur rings. European J. Combin., 2009, vol. 30, pp. 1526–1539.

24.   Muzychuk Mikhail E. The structure of rational Schur rings over cyclic groups. European J. Combin., 1993, vol. 14, pp. 479–490.

25.   Muzychuk Mikhail E. On the structure of basic sets of Schur rings over cyclic groups. J. Algebra, 1994, vol. 169, pp. 655–678.

26.   Muzychuk Mikhail E. The structure of Schur rings over cyclic groups of square-free order. Acta Applicandae Mathematicae, 1998, vol. 52, pp. 163–181.

27.   Oh Ju-Mok. An explicit formula for the number of subgroups of a finite Abelian p-group up to rank 3. Commun. Korean Math. Soc., 2013, vol. 28, no. 4, pp. 649–667. doi: 10.4134/CKMS.2013.28.4.649 

28.   Petrillo Joseph. Counting subgroups in a direct product of finite cyclic groups. The College Math. J., 2011, vol. 42, no. 3, pp. 215–222. doi: 10.4169/college.math.j.42.3.215 

29.   Pöschel R. Investigations of S-rings, especially in the group ring of p-groups. Math. Message, 1974, vol. 60, pp. 1–27.

30.   Schur Issai. Zur theorie der einfach transitiven permutationsgruppen. Sitzungsber. Preuss. Akad. Wiss. Phy-Math Klasse, Berlin, 1933, vol. 118, pp. 309–310.

31.   Tamaschke Olaf. On Schur-rings which define a proper character theory on finite groups. Math. Z., 1970, vol. 117, pp. 340–360.

32.   Tóth László. Subgroups of finite Abelian groups having rank two via Goursat’s lemma. Tatra Mt. Math. Publ., 2014, vol. 59, no. 1, pp. 93–103. doi: 10.2478/tmmp-2014-0021 

33.   Wielandt  Helmut. Zur theorie der einfach transitiven permutationsgruppen II. Math. Z., 1949, vol. 52, pp. 384–393.

34.   Wielandt Helmut. Finite permutation groups. NY, London: Acad. Press, 1964.

35.   Ziv-Av Matan. Enumeration of Schur rings over small groups. In: Proc. Computer Algebra in Scientific Computing, 16th International Workshop (CASC 2014), Warsaw, 2014, pp. 491–500.

Received November 24, 2020

Revised September 13, 2021

Accepted September 17, 2021

Andrew Misseldine, Prof., Mathematics department at Southern Utah University, USA (Utah), e-mail:

Cite this article as: Andrew Misseldine, Enumeration Techniques on Cyclic Schur Rings, Trudy Instituta Matematiki i Mekhaniki UrO RAN, 2021, vol. 27, no. 4, pp. 276–289.


Э. Мисселдин. О подсчете числа колец Шура над циклическими группами

Любое кольцо Шура однозначно определяется разбиением  группы. В статье предложен общий метод подсчета числа колец Шура над циклическими группами, использующий традиционные кольца Шура. Приведен обзор недавних исследований, посвященных подсчету числа колец Шура над циклическими группами некоторых порядков.

Ключевые слова: кольцо Шура, циклическая группа, ассоциативная схема, решетка подгрупп