С.В. Солодуша, Е.Ю. Гражданцева. Тестовое полиномиальное уравнение Вольтерра I рода в задаче идентификации входных сигналов ... С. 161-174

УДК 519.642.5

MSC: 45D05

DOI: 10.21538/0134-4889-2021-27-4-161-174

Исследование выполнено в рамках государственного задания Министерства науки и высшего образования Российской Федерации (проект FWEU-2021-0006, тема № AAAA-A21-121012090034-3).

В статье рассматриваются полиномиальные интегральные уравнения Вольтерра I рода, возникающие при описании нелинейной динамической системы типа "вход-выход" в виде конечного отрезка (полинома) интегро-степенного ряда  Вольтерра. Выполнен краткий обзор результатов исследований таких уравнений для случая, когда вход $x(t)$ - скалярная функция времени. Важнейшая их особенность состоит в локальности (в смысле малости правого конца отрезка $[0,T]$) решения  в $C_{[0,T]}$. Приводятся постановки задач, развитые или намеченные в публикациях А.С. Апарцина. Исследовательская часть работы посвящена рассмотрению ситуации с  векторным входом $x(t)=(x_1(t),x_2(t))^T$. Для изучения полиномиальных уравнений выделено тестовое уравнение Вольтерра I рода.  Доказаны утверждения, определяющие вид ядер Вольтерра, который гарантирует выполнение оценок при переходе к специальным мажорантным интегральным уравнениям. Указан алгоритм  решения эквивалентной задачи Коши. Получены неулучшаемые оценки решений частных классов  нелинейных интегральных неравенств, выражаемые через функцию Ламберта.

Ключевые слова:  нелинейная динамическая система,  полиномиальные уравнения Вольтерра,  задача Коши, функция Ламберта

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1.   Цалюк З.Б. Интегральные уравнения Вольтерра // Итоги науки и техники. Сер. Мат. анализ. 1977. Т. 15. С. 131–198.

2.   Brunner H. Volterra integral equations: an introduction to theory and applications. Cambridge: Cambridge University Press, 2017. 387 p. ISBN: 9781316162491 , doi: 10.1017/9781316162491 

3.   Вольтерра В. Теория функционалов, интегральных и интегро-дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1982. 302 с.

4.   Boyd S., Chua L.O., Desoer C.A. Analytical foundations of Volterra series // IMA J. Math. Control Inform. 1984. Vol. 1, no. 3. P. 243–282. doi: 10.1093/imamci/1.3.243 

5.   Schetzen M. Nonlinear system modelling and analysis from the Volterra and Wiener perspective // Block-Oriented Nonlinear System Identification / eds. F. Giri, E-W. Bai. London: Springer, 2010. P. 13–26. (Ser. Lecture Notes in Control and Information Sciences; vol 404).
doi: 10.1007/978-1-84996-513-2_2 

6.   Cheng C.M., Peng Z.K., Zhang W.M., Meng G. Volterra-series-based nonlinear system modeling and its engineering applications: A state-of-the-art review // Mechanical Systems and Signal Processing. 2017. Vol. 87. P. 340–364. doi: 10.1016/j.ymssp.2016.10.029 

7.   Liu Q., Xie M., Lim M.-K. Volterra series models for nonlinear system control // Proc. 32nd ISR (ISR 2001) — International Symposium on Robotics. 2001. P. 1386–1391.

8.   Апарцин А.С. Неклассические уравнения Вольтерра I рода в интегральных моделях динамических систем: теория, численные методы, приложения: дис. …д-р физ.-мат. наук / Иркут. гос. ун-т. Иркутск, 2000. 319 с.

9.   Веников В.А., Суханов О.А., Гусейнов А.Ф. Функциональное представление подсистем в кибернетическом моделировании // Кибернетика электроэнергетических систем: труды семинара. Вып. 2. Брянск, 1974. С. 39–46.

10.   Галин Н.М., Зябиров Ф.И. Метод решения нелинейных задач теплообмена с применением функциональных рядов Вольтерра // Гидродинамика и теплообмен в однофазных и двухфазных потоках: сб. статей. М.: Изд-во МЭИ, 1987. С. 34–48.

11.   Bhatt D., Sharma S.N. Volterra model-based control for nonlinear systems via Carleman linearization. Preprint. 2021. 23 p. Available on: arXiv:2101.00495 [math.OC] .

12.   Апарцин А.С., Солодуша С.В. Об оптимизации амплитуд тестовых сигналов при идентификации ядер Вольтерра // Автоматика и телемеханика. 2004. № 3. С. 116–124.

13.   Апарцин А.С. Неклассические уравнения Вольтерра I рода: теория и численные методы. Новосибирск: Наука, 1999. 193 с. ISBN: 5-02-031548-6 .

14.   Техническая кибернетика. Теория автоматического регулирования. Теория нестационарных, нелинейных и самонастраивающихся систем автоматического регулирования / ред. В.В. Солодовникова. Ч. II. М.: Машиностроение, 1969. 368 с.

15.   Апарцин А.С. Об эквивалентных нормах в теории полиномиальных интегральных уравнений Вольтерра I рода // Изв. Иркут. гос. ун-та. Сер. Математика. 2010. Т. 3, № 1. С. 19–29.

16.   Апарцин А.С. О полилинейных уравнениях Вольтерра I рода // Автоматика и телемеханика. 2004. № 2. С. 118–125.

17.   Belbas S.A., Bulka Yu. Numerical solution of multiple nonlinear Volterra integral equations // Appl. Math. Comp. 2011. Vol. 217, no. 9. P. 4791–4804. doi: 10.1016/j.amc.2010.11.034 

18.   Burt P.M.S., Goulart J.H. de M. Efficient computation of bilinear approximations and Volterra models of nonlinear systems // IEEE Trans. Signal Process. 2018. Vol. 66, no. 3. P. 804–816.

19.   Апарцин А.С. К теории полилинейных уравнений Вольтерра I рода // Оптимизация, управление, интеллект. 2005. № 1. С. 5–27.

20.   Сидоров Н.А., Сидоров Д.Н. Об обобщенных решениях интегральных уравнений в задаче идентификации нелинейных динамических моделей // Автоматика и телемеханика. 2009. № 4. С. 41–47.

21.   Apartsyn A.S., Markova E.V. On numerical solution of the multilinear Volterra equations of the first kind // Proc. Internat. Conf. Comp. Math. (ICCM-2002). Novosibirsk, 2002. Part 2. P. 322–326.

22.   Апарцин А.С. Об одном классе нелинейных уравнений Вольтерра II рода и их сеточных аналогах // Тр. Междунар. конф. по вычислит. математике (МКВМ-2004). Ч. I. Новосибирск: Прайс-курьер, 2004. С. 385–389.

23.   Апарцин А.С. О сходимости численных методов решения билинейного уравнения Вольтерра I рода // Журн. вычисл. математики и мат. физики. 2007. Т. 47, № 8. С. 1378–1386. doi: 10.1109/TSP.2017.2777391 

24.   Апарцин А.С. Полилинейные уравнения Вольтерра I рода и некоторые задачи управления // Автоматика и телемеханика. 2008. № 4. С. 3–16.

25.   Апарцин А.С., Спиряев В.А. О неулучшаемых ламберт-оценках решений одного класса нелинейных интегральных неравенств // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2010. Т. 16, №. 2. С. 3–12.

26.   Апарцин А.С. К исследованию устойчивости решения полиномиального уравнения Вольтерра I рода // Автоматика и телемеханика. 2011. № 6. С. 95–102.

27.   Апарцин А.С. Полиномиальные интегральные уравнения Вольтерра I рода и функция Ламберта // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2012. Т. 18, № 1. С. 69–81.

28.   Косов А.А., Семенов Э.И. Функция Ламберта и точные решения нелинейных параболических уравнений // Изв. вузов. Математика. 2019. № 8. С. 13–20. doi: 10.26907/0021-3446-2019-8-13-20 

29.   Солодуша С.В. Методы построения интегральных моделей динамических систем: алгоритмы и приложения в энергетике: дисс. …д-ра техн. наук / Институт систем энергетики им. Л.А. Мелентьева СО РАН. Иркутск, 2019. 353 с.

30.   Corless R.M., Gonnet G.H., Hare D.E.G., Jeffrey D.J., Knuth D.E. On the Lambert W function // Advances Comp. Math. 1996. Vol. 5, no. 1. P. 329–359. doi: 10.1007/BF02124750 

Поступила 31.03.2021

После доработки 25.05.2021

Принята к публикации 7.06.2021

Солодуша Светлана Витальевна
д-р техн. наук, доцент
Институт систем энергетики им. Л.А. Мелентьева СО РАН;
Иркутский государственный университет,
Институт математики и информационных технологий
г. Иркутск
e-mail: solodusha@isem.irk.ru

Гражданцева Елена Юрьевна
канд. физ.-мат. наук, доцент
Иркутский государственный университет,
Институт математики и информационных технологий;
Институт систем энергетики им. Л.А. Мелентьева СО РАН
г. Иркутск
e-mail: grelyur@mail.ru

Ссылка на статью: С.В. Солодуша, Е.Ю. Гражданцева. Тестовое полиномиальное уравнение Вольтерра I рода в задаче идентификации входных сигналов // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2021. Т. 27, № 4. С. 161-174

English

S.V. Solodusha, E.Yu. Grazhdantseva. Test polynomial Volterra equation of the first kind in the problem of input signal identification

The paper discusses Volterra polynomial integral equations of the first kind that arise in describing a nonlinear dynamic system of the “input-output” type in the form of a finite segment (polynomial) of the Volterra integro-power series. A brief review of research results for such equations is given for the case when the input x(t) is a scalar function of time. The most important feature of these equations is the locality (in the sense of the smallness of the right endpoint of the interval [0,T]) of the solution in C[0,T]. We consider problem statements developed or outlined in the works of A. S. Apartsyn. The research part of the paper is devoted to the situation with a vector input x(t) = (x1(t),x2(t))T. In order to study polynomial equations, we consider a test Volterra equation of the first kind. Statements are proved that determine the form of Volterra kernels guaranteeing the validity of estimates in the passage to special majorant integral equations. An algorithm for solving an equivalent Cauchy problem is presented. Unimprovable estimates expressed in terms of the Lambert function are obtained for solutions of special classes of nonlinear integral inequalities.

Keywords: nonlinear dynamic system, polynomial Volterra equations, Cauchy problem, Lambert function

Received March 31, 2021

Revised May 25, 2021

Accepted June 7, 2021

Funding Agency: This work was supported by the Ministry of Science and Higher Education of the Russian Federation (project FWEU-2021-0006, topic no. AAAA-A21-121012090034-3).

Svetlana Vital’evna Solodusha, Dr. Technic. Sci., Melentiev Energy Systems Institute of the Siberian Branch of the Russian Academy of Sciences, Irkutsk, 664033 Russia; Irkutsk State University, Institute of Mathematics and Information Technologies, Irkutsk, 664003 Russia,
e-mail: solodusha@isem.irk.ru

Elena Yurevna Grazhdantseva, Cand. Sci. (Phys.-Math.), Irkutsk State University, Institute of Mathematics and Information Technologies, Irkutsk, 664003 Russia; Melentiev Energy Systems Institute of the Siberian Branch of the Russian Academy of Sciences, Irkutsk, 664033 Russia,
e-mail: grelyur@mail.ru

Cite this article as: S.V. Solodusha, E.Yu. Grazhdantseva. Test polynomial Volterra equation of the first kind in the problem of input signal identification, Trudy Instituta Matematiki i Mekhaniki UrO RAN, 2021, vol. 27, no. 4, pp. 161–174.

[References -> on the "English" button bottom right]