М.И. Гомоюнов. О критериях минимаксных решений уравнений Гамильтона — Якоби с коинвариантными производными дробного порядка ... С. 25-42

УДК 517.952

MSC: 35F21, 35D99, 26A33

DOI: 10.21538/0134-4889-2021-27-3-25-42

Работа выполнена при поддержке РНФ (проект 19-71-00073).

В статье рассмотрены уравнения Гамильтона — Якоби с коинвариантными производными дробного порядка, возникающие в задачах оптимального управления динамическими системами, эволюция которых описывается дифференциальными уравнениями с дробными производными Капуто. Для верхних, нижних и минимаксных (обобщенных) решений таких уравнений установлен ряд критериев, выраженных в терминах нелокальных условий стабильности относительно характеристических дифференциальных включений, удовлетворяющих определенному набору требований, а также в виде неравенств для подходящим образом введенных производных функционалов по многозначным направлениям. В частности, данные критерии позволяют согласовать между собой результаты о существовании и единственности минимаксных решений краевых задач для рассматриваемых уравнений Гамильтона — Якоби, полученные ранее при различных предположениях.

Ключевые слова: уравнения Гамильтона — Якоби, коинвариантные производные, производные дробного порядка, минимаксные решения, характеристические дифференциальные включения, производные по многозначным направлениям

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1.   Субботин А.И. Минимаксные неравенства и уравнения Гамильтона — Якоби. М.: Наука, 1991. 216 с.

2.   Subbotin A.I. Generalized solutions of first order PDEs: The dynamical optimization perspective. Basel: Birkhauser, 1995. 314 p. doi: 10.1007/978-1-4612-0847-1 

3.   Красовский Н.Н., Субботин А.И. Позиционные дифференциальные игры. М.: Наука, 1974. 456 с.

4.   Субботин А.И., Ченцов А.Г. Оптимизация гарантии в задачах управления. М.: Наука, 1981. 288 с.

5.   Krasovskii N.N., Krasovskii A.N. Control under lack of information. Berlin etc.: Birkhauser, 1995. 322 p. ISBN: 0-8176-3698-6.

6.   Красовский Н.Н. К задаче унификации дифференциальных игр // Докл. АН СССР. 1976. Т. 226, № 6. С. 1260–1263.

7.   Ушаков В.Н., Паршиков Г.В. Унификация дифференциального включения с параметром в задаче о сближении // Докл. АН. 2017. Т. 477, № 4. С. 406–409. doi: 10.7868/S0869565217340047 

8.   Субботин А.И., Тарасьев А.М., Ушаков В.Н. Обобщенные характеристики уравнений Гамильтона — Якоби // Известия АН. Техническая кибернетика. 1993. № 1. С. 190–197.

9.   Субботина Н.Н. Метод характеристик для уравнений Гамильтона — Якоби и его приложения в динамической оптимизации // Современная математика и ее приложения. 2004. Т. 20. С. 1–129.

10.   Subbotin A.I., Tarasyev A.M. Stability properties of the value function of a differential game and viscosity solutions of Hamilton — Jacobi equations // Problems Control Inform. Theory. 1986. Vol. 15, № 6. P. 451–463.

11.   Гомоюнов М.И. Минимаксные решения однородных уравнений Гамильтона — Якоби с коинвариантными производными дробного порядка // Тр. Института математики и механики УрО РАН. 2020. Т. 26, № 4. С. 106–125. doi: 10.21538/0134-4889-2020-26-4-106-125 

12.   Gomoyunov M.I. Minimax solutions of Hamilton — Jacobi equations with fractional coinvariant derivatives // ESAIM: Control Optim. Calc. Var. 2021. (статья послана в печать, arXiv:2011.11306). URL: https://arxiv.org/abs/2011.11306 

13.   Gomoyunov M.I. Dynamic programming principle and Hamilton — Jacobi — Bellman equations for fractional-order systems // SIAM J. Control Optim. 2020. Vol. 58, iss. 6. P. 3185–3211. doi: 10.1137/19M1279368 

14.   Самко С.Г., Килбас А.А., Маричев О.И. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения. Минск: Наука и техника, 1987. 688 с.

15.   Kilbas A.A., Srivastava H.M., Trujillo J.J. Theory and applications of fractional differential equations. N Y: Elsevier, 2006. 540 p. ISBN: 0444518320 .

16.   Diethelm K. The analysis of fractional differential equations. Berlin: Springer, 2010. 247 p. doi: 10.1007/978-3-642-14574-2 

17.   Kim A.V. Functional differential equations. Application of i-smooth calculus. Dordrecht: Springer, 1999. 168 p. doi: 10.1007/978-94-017-1630-7 

18.   Лукоянов Н.Ю. О свойствах функционала цены дифференциальной игры с наследственной информацией // Прикл. математика и механика. 2001. Т. 65, вып. 3. С. 375–384.

19.   Lukoyanov N.Yu. Functional Hamilton — Jacobi type equations in ci-derivatives for systems with distributed delays // Nonlinear Funct. Anal. Appl. 2003. Vol. 8, № 3. P. 365–397.

20.   Лукоянов Н.Ю. Минимаксные и вязкостные решения в задачах оптимизации наследственных систем // Тр. Института математики и механики УрО РАН. 2009. Т. 15, № 4. С. 183–194.

21.   Лукоянов Н.Ю. Функциональные уравнения Гамильтона — Якоби и задачи управления с наследственной информацией. Екатеринбург: Изд-во Урал. федерал. ун-та, 2011. 243 с.

22.   Гомоюнов М.И. К теории дифференциальных включений с дробными производными Капуто // Дифференц. уравнения. 2020. Т. 56, № 11. С. 1419–1432. doi: 10.1134/S0374064120110011 .

Поступила 8.04.2021

После доработки 13.05.2021

Принята к публикации 15.06.2021

Гомоюнов Михаил Игоревич
канд. физ.-мат. наук, старший науч. сотрудник
Институт математики и механики им. Н.Н. Красовского УрО РАН;
доцент
Уральский федеральный университет им. Б.Н. Ельцина
г. Екатеринбург
e-mail: m.i.gomoyunov@gmail.com

Ссылка на статью: М.И. Гомоюнов. О критериях минимаксных решений уравнений Гамильтона — Якоби с коинвариантными производными дробного порядка // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2021. Т. 27, № 3. С. 25-42

English

M.I. Gomoyunov. Criteria of minimax solutions for Hamilton–Jacobi equations with coinvariant fractional-order derivatives

We consider Hamilton–Jacobi equations with coinvariant fractional-order derivatives, which arise in optimal control problems for dynamical systems whose evolution is described by differential equations with Caputo fractional derivatives. For upper, lower, and minimax (generalized) solutions of such equations, a number of criteria are established, which are expressed in terms of nonlocal conditions of stability with respect to characteristic differential inclusions satisfying a certain set of requirements and in the form of inequalities for suitably introduced derivatives of functionals in multivalued directions. In particular, these criteria make it possible to establish a correspondence between the results on the existence and uniqueness of minimax solutions of boundary value problems for the considered Hamilton–Jacobi equations obtained earlier under various assumptions.

Keywords: Hamilton–Jacobi equations, coinvariant derivatives, fractional-order derivatives, minimax solutions, characteristic differential inclusions, derivatives in multivalued directions

Received April 8, 2021

Revised May 13, 2021

Accepted June 15, 2021

Funding Agency: This work was supported by the Russian Science Foundation (project no. 19-71-00073).

Mikhail Igorevich Gomoyunov, Cand. Sci. (Phys.-Math.), Krasovskii Institute of Mathematics and Mechanics of the Ural Branch of the Russian Academy of Sciences, Yekaterinburg, 620108 Russia; Ural Federal University, Yekaterinburg, 620002 Russia, e-mail: m.i.gomoyunov@gmail.com

Cite this article as: M.I. Gomoyunov. Criteria of minimax solutions for Hamilton–Jacobi equations with coinvariant fractional-order derivatives, Trudy Instituta Matematiki i Mekhaniki UrO RAN, 2021, vol. 27, no. 3, pp. 25–42.

[References -> on the "English" button bottom right]