С.В. Чистяков. Заметки о дифференциальных играх ... С. 227-236

УДК 517.977.8

MSC: 49N70

DOI: 10.21538/0134-4889-2021-27-3-227-236

В статье обсуждаются некоторые вопросы теории неантагонистических дифференциальных игр. В первом разделе приводится пример бескоалиционной дифференциальной игры двух лиц, в которой в классе рекурсивных стратегий имеется бесконечное множество исходов, порождаемых ситуациями $\varepsilon$-равновесия в смысле Нэша при $\varepsilon \rightarrow 0$. Более того, в этом примере найдены две такие ситуации равновесия в классе программных стратегий, что порождаемые ими исходы не доминируют друг друга, а любой отличный от них исход доминируется по крайней мере одним из этих двух исходов. Таким образом, показано, что в рассматриваемой дифференциальной игре имеет место проблема, которая ранее была обнаружена в биматричной игре "семейный спор". Все это в общем случае подчеркивает невозможность корректного определения функции значения бескоалиционной дифференциальной игры. Во втором разделе статьи обсуждается так называемая проблема динамической устойчивости в теории кооперативных дифференциальных игр. В том числе приводится пример, опровергающий известное утверждению о динамической устойчивости (или, иначе, состоятельности во времени) принципа оптимальности Парето.

Ключевые слова: неантагонистические дифференциальные игры, равновесие и $\varepsilon$-равновесие в смысле Нэша, принцип оптимальности Парето, динамическая неустойчивость

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1.   Кононенко А.Ф. О равновесных позиционных стратегиях в неантагонистических дифференциальных играх // Докл. АН СССР. 1976. Т. 231, № 2. С. 285–288.

2.   Красовский Н.Н., Субботин А.И. Позиционные дифференциальные игры. М.: Наука, 1974. 456 с.

3.   Субботина Н.Н. Универсальные оптимальные стратегии в позиционных дифференциальных играх // Дифференц. уравнения. 1983. Т. 19, вып. 11. С. 1890–1896.

4.   Чистяков С.В. О существовании решения бескоалиционных дифференциальных игр. Управление в динамических системах. Л., 1979 / Рук. деп. ВИНИТИ 24.07.1979, № 2794 — 79 деп./ (РЖ Мат., 1979, 10Б733 деп.).

5.   Чистяков С.В. О бескоалиционных дифференциальных играх // Докл. АН СССР. 1981. Т. 259, № 5. С. 1052–1055.

6.   Чистяков С.В. Об уравнениях метода программных итераций // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2018. Т. 24, № 1. С. 288–296.

7.   Воробьев Н.Н. Теория игр для экономистов-кибернетиков. М.: Наука, 1985. 272 с.

8.   Basar, T., Olsder, G. J., Dynamic noncooperative game theory. 2nd ed. Philadelphia: SIAM, 1999. 511 p. doi: 10.1137/1.9781611971132 

9.   Isaacs R Differential games. N Y: John Wiley and sons, 1965, 384 p.

10.   Петросян Л. А., Данилов Н.Н. Кооперативные дифференциальные игры и их приложения. Томск: Изд-во Томского ун-та, 1985. 275 с.

11.   Адрианов А.А., Чистяков С.В. К теории кооперативных дифференциальных игр // Вестн. СПбГУ. Сер. 10: Прикладная математика, информатика, процессы управления. 2008. Вып. 1. С. 3–15.

12.   Скитович В.В. Кооперативные дифференциальные игры с ограниченными ресурсами у игроков // Естественные и математические науки в современном мире: сб. ст. по матер. 29-й Mеждунар. науч.-практ. конф. № 4 (28). Новосибирск: СибАК, 2015.

Поступила 26.03.2021

После доработки 21.05.2021

Принята к публикации 15.06.2021

Чистяков Сергей Владимирович
д-р физ.-мат. наук, профессор
Санкт-Петербургский государственный университет
г. Санкт-Петербург
e-mail: svch50@mail.ru

Ссылка на статью: С.В. Чистяков. Заметки о дифференциальных играх // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2021. Т. 27, № 3. С. 227-236

English

S.V. Chistyakov. Notes on differential games

Some problems of the theory of nonzero-sum differential games are discussed. An example of a coalition-free differential two-person game with infinitely many outcomes generated by Nash $\varepsilon$-equilibrium as $\varepsilon \rightarrow 0$ in the class of recursive strategies is presented in the first section. Moreover, for this example, two equilibrium situations are found in the class of program strategies such that the corresponding outcomes do not dominate each other, while all the other outcomes are dominated by at least one of these two outcomes. Thus, it is proved that in this game the same problem is present that was revealed earlier for the known bimatrix game Battle of the Sexes. In the general case, all this emphasizes the impossibility of the correct definition of the value function in a coalition-free differential game. The so-called dynamic stability problem in the theory of cooperative differential games is discussed in the second section. In particular, an example disproving the known statement on the dynamic stability (or, in other words, time consistency) of the Pareto optimality principle is given.

Keywords: nonzero-sum differential games, Nash equilibrium, Nash $\varepsilon$-equilibrium, Pareto optimality principle, dynamic instability

Received March 26, 2021

Revised May 21, 2021

Accepted June 15, 2021

Chistyakov Sergey Vladimirovich, Dr. Phys.-Math. Sci., Prof., St. Petersburg State University, Saint-Petersburg, 199034 Russia, e-mail: svch50@mail.ru

Cite this article as: S.V. Chistyakov. Notes on differential games, Trudy Instituta Matematiki i Mekhaniki UrO RAN, 2021, vol. 27, no. 3, pp. 227–236.

[References -> on the "English" button bottom right]