Н.Н. Петров. Об одной задаче преследования группы убегающих во временных шкалах ... С. 163-171

УДК 517.977

MSC: 49N79, 49N70, 91A24

DOI: 10.21538/0134-4889-2021-27-3-163-171

Работа выполнена при поддержке Минобрнауки РФ в рамках государственного задания № 075-00232-20-01, проект FEWS -2020-0010 и РФФИ (проект 20-01-00293).

В конечномерном евклидовом пространстве $\mathbb R^k$ рассматривается задача преследования группой преследователей группы  убегающих с равными возможностями всех участников, описываемая в заданной временной шкале $T$ системой вида
$$
z_i^{\Delta} = u_i - v,
$$
где $f^{\Delta}$ - $\Delta$-производная функции $f$ во временной шкале $T$. Множество допустимых управлений - шар радиусом "единица" с центром в начале координат. Терминальные множества - начало координат. Дополнительно предполагается, что  все убегающие  используют одно и то же управление и в процессе игры не покидают пределы выпуклого многогранного множества с непустой внутренностью. Получены достаточные условия разрешимости задачи о поимке хотя бы одного убегающего. При исследовании в качестве базового используется метод разрешающих функций.

Ключевые слова: дифференциальная игра, преследователь, убегающий, групповое преследование, временная шкала

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1.   Красовский  Н.Н., Субботин А.И. Позиционные дифференциальные игры. М.: Наука, 1974. 456 с.

2.   Чикрий A.A. Конфликтно управлямые процессы. Киев: Наук. думка, 1992. 384 с.

3.   Григоренко Н.Л. Математические методы управления несколькими динамическими процессами. М.: Изд-во МГУ, 1990. 197 c.

4.   Благодатских А.И., Петров Н.Н. Конфликтное взаимодействие групп управляемых объектов. Ижевск: Изд-во Удмурт. ун-та, 2009. 266 с.

5.   Bopardikar S.D., Suri S. k-Capture in multiagent pursuit evasion, or the lion and the gyenas // Teoretical Computer Science. 2014. Vol. 522. P. 13–23. doi: 10.1016/j.tcs.2013.12.001 

6.   Aulbach B., Hilger S. Linear dynamic processes with inhomogeneous time scale // Nonlinear dynamics and quantum dynamical systems. Contributions to the international seminar ISAM-90, Gaussig (GDR) / eds. G.A. Leonov, V. Reitmann, W. Timmermann. Berlin: Akademie-Verlag, 1990. Vol. 59. P.  9–20.

7.   Hilger S. Analysis on measure chains – a unified approach to continuous and discrete calculus// Results in Mathematics. 1990. Vol. 18. P. 18–56. doi: 10.1007/BF03323153 

8.   Benchohra M., Henderson J., Ntouyas S. Impulsive differential equations and inclusions. N Y: Hindawi Publ., 2006. 381 p.

9.   Bohner M., Peterson A. Advances in dynamic equations on time scales. Boston: Birkhauser, 2003. 348 p.

10.   Martins N., Torres D. Necessary conditions for linear noncooperative N-player delta differential games on time scales // Discussiones Mathematicae, Differential Inclusions, Control and Optimization. 2011. Vol. 31, no 1. P. 23–37. doi: 10.7151/dmdico.1126 

11.   Петров Н.Н. Задача простого группового преследования с фазовыми ограничениями во временных шкалах // Вест. Удмурт. ун-та. Математика. Механика. Компьютерные науки. 2020. Т. 30, вып. 2. С. 249–258. doi: 10.35634/vm200208/ 

12.   Вагин Д.А., Петров Н.Н. Простое преследование жестко соединенных убегающих // Изв. РАН. Теория и системы управления. 2001. № 5. С. 75–79.

13.   Мачтакова А. И. Преследование жестко скоординированных убегающих в линейной задаче с дробными производными и простой матрицей // Изв. Ин-та математики и информатики Удмурт. гос. ун-та. 2019. Т. 54. С. 45–54. doi: 10.20537/2226-3594-2019-54-04 

14.   Guseinov G.S. Integration on time scales // J. Math. Anal. Appl. 2003. Vol. 285. no 1. P. 107–127. doi: 10.1016/S0022-247X(03)00361-5

15.   Cabada A., Vivero D. R. Expression of the Lebesgue $\Delta$-integral on time scales as a usual Lebesgue integral; application to the calculus of $\Delta$-antiderivatives // Math. Comp. Modelling. 2006. Vol. 43, no 1-2. P. 194–207. doi: 10.1016/j.mcm.2005.09.028 

16.   Петров Н.Н. Об управляемости автономных систем // Дифференц. уравнения. 1968. Т. 4, № 4. С. 606–617.

17.   Виноградова М.Н., Петров Н.Н., Соловьева Н.А. Поимка двух скоординированных убегающих в линейных рекуррентных дифференциальных играх // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2013. Т. 19, № 1. С. 41–48.

18.   Пшеничный Б.Н. Простое преследование несколькими объектами // Кибернетика. 1976. № 3. С. 145–146.

19.   Иванов Р.П. Простое преследование-убегание на компакте // Докл. АН СССР. 1980. Т. 254, №  6. С. 1318–1321.

Поступила 29.03.2021

После доработки 11.05.2021

Принята к публикации 7.06.2021

Петров Николай Никандрович
д-р физ.-мат. наук, профессор,
главный науч. сотрудник
лаборатории математической теории управления,
директор
Института математики, информационых технологий и физики Удмуртского университета
г. Ижевск
e-mail: kma3@list.ru

Ссылка на статью: Н.Н. Петров. Об одной задаче преследования группы убегающих во временных шкалах // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2021. Т. 27,  № 3. С. 163-171

English

N.N. Petrov. On a problem of pursuing a group of evaders in time scales

A problem of pursuing a group of evaders by a group of pursuers with equal capabilities for all the participants is considered in a finite-dimensional Euclidean space $\mathbb R^k$. In a given time scale $T$, the problem is described by a system
$$ z_i^{\Delta}=u_i-v,$$
where $f^{\Delta}$ is the $\Delta$-derivative of $f$ in the time scale $T$. The set of admissible controls is a ball of unit radius centered at the origin. The terminal sets are the origin. In addition, it is assumed that all the evaders use the same control and, during the game, stay within a convex polyhedral set with nonempty interior. Sufficient conditions are obtained for the solvability of the problem of capturing at least one evader. The method of resolving functions is used as a basis of this research.

Keywords: differential game, pursuer, evader, group pursuit, time scale

Received March 29, 2021

Revised May 11, 2021

Accepted Junе 7, 2021

Funding Agency: This research was funded by the Ministry of Science and Higher Education of the Russian Federation in the framework of state assignment No. 075-00232-20-01, project FEWS-2020-0010 and under grant 20-01-00293 from the Russian Foundation for Basic Research.

Nikolai Nikandrovich Petrov, Dr. Phys.-Math. Sci., Prof., Udmurt State University, Izhevsk, 426034 Russia, e-mail: kma3@list.ru

Cite this article as: N.N. Petrov. Matrix resolving functions in a linear problem of group pursuit with multiple capture, Trudy Instituta Matematiki i Mekhaniki UrO RAN, 2021, vol. 27, no. 3, pp. 163–171.

[References -> on the "English" button bottom right]