П.Д. Лебедев, А.А. Успенский. Об аналитическом построении решений в одном классе задач управления по быстродействию с невыпуклым целевым множеством ... С. 128-140

УДК 517.977, 514.747

MSC: 65P30, 49L25, 58K60, 35A18

DOI: 10.21538/0134-4889-2021-27-3-128-140

Исследование П. Д. Лебедева поддержано грантом РНФ (проект №19-11-00105).

Рассмотрена задача управления по быстродействию с круговой вектограммой скоростей. Для одного класса невыпуклых плоских целевых множеств, у которых часть границы совпадает с отрезком прямой, выделены условия, позволяющие строить ветви сингулярных (рассеивающих) кривых в аналитической форме. Получены в явном виде формулы для псевдовершин — особых точек границы целевого множества, порождающих ветви сингулярного множества. Выявлена аналитическая связь между концевыми точками различных оптимальных траекторий, имеющих общие начальные условия на сингулярном множестве и попадающих на целевое множество в окрестности псевдовершины. Найдены формулы для крайних точек ветвей сингулярного множества. Развиваемые подходы к точному построению негладких решений динамических задач управления проиллюстрированы на конкретных примерах.

Ключевые слова: рассеивающая кривая, псевдовершина, отображение, кривизна

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1.   Субботин А.И. Обобщенные решения уравнений в частных производных первого порядка. Перспективы динамической оптимизации. Москва–Ижевск: Изд-во Ин-та компьютерных технологий, 2003. 336 с.

2.   Lebedev P.D., Uspenskii A.A. Analytical and numerical construction of the optimal outcome function for a class of time-optimal problems // Comput. Math. Modeling. 2008. Vol. 19, iss. 4. P. 375–386. doi: 10.1007/s10598-008-9007-9 

3.   Кружков С.Н. Обобщенные решения уравнений Гамильтона — Якоби типа эйконала. I. Постановка задач, теоремы существования, единственности и устойчивости, некоторые свойства решений // Мат. сб. 1975. Т. 98 (140), №3 (11). С. 450–493.

4.   Арнольд В.И. Особенности каустик и волновых фронтов. М.: ФАЗИС, 1996. 334 с.

5.   Демьянов В.Ф., Васильев Л.В. Недифференцируемая оптимизация. М.: Наука, 1981. 384 с.

6.   Лебедев П.Д., Успенский А.А. Построение рассеивающих кривых в одном классе задач быстродействия при скачках кривизны границы целевого множества // Изв. Ин-та математики и информатики Удмурт. гоc. ун-та. 2020. Т. 55. С. 93–112. doi: 10.35634/2226-3594-2020-55-07 

7.   Айзекс Р. Дифференциальные игры. М.: Мир, 1967. 479 с.

8.   Siersma D. Properties of conflict sets in the plan// Banach Center Publ. 1999. Vol. 50. P. 267–276. doi: 10.4064/-50-1-267-276 

9.   Giblin P.J., Reeve G. Centre symmetry sets of families of plane curves// Demonstratio Mathematica. 2015. Vol. 48, iss. 2. P. 167–192. doi: 10.1515/dema-201-0016 

10.   Giblin P.G. Symmetry sets and medial axes in two and three dimensions // The Mathematics of Surfaces IX / eds. Roperto Cipolla and Ralph Martin. Berlin: Springer-Verlag, 2000. P. 306–321. doi: 10.1007/978-1-4471-0495-7_18 

11.   Алимов А.Р., Царьков И.Г. Связность и солнечность в задачах наилучшего и почти наилучшего приближения // Успехи мат. наук. 2016. Т. 71, № 1. С. 3–84. DOI: doi.org/10.4213/rm9698 

12.   Ушаков В.Н., Ершов А.А., Першаков М.В. Об одном дополнении к оценке Л.С. Понтрягина геометрической разности множеств на плоскости // Изв. Ин-та математики и информатики Удмурт. гоc. ун-та. 2019. T. 4. C. 63–73. doi: 10.20537/2226-3594-2019-54-06 

13.   Седых В.Д. О топологии волновых фронтов в пространствах небольших размерностей// Изв. РАН. Сер. математическая. 2012. T. 76, вып. 2. С. 171–214. doi: 10.4213/im8202 

14.   Седых В.Д. Топология особенностей ростка устойчивой вещественной каустики типа $E_6$// Изв. РАН. Сер. математическая. 2018. T. 82, вып. 3. С. 154–169. doi: 10.4213/im8643 

15.   Позняк Э.Г., Шикин Е.В. Дифференциальная геометрия: первое знакомство. М.: Изд.-во МГУ, 1990. 384 с.

16.   Лебедев П.Д. Вычисление меры невыпуклости плоских множеств // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2007. Т. 13, № 3. С. 84–94.

17.   Лебедев П.Д., Успенский А.А. Геометрия и асимптотика волновых фронтов// Изв. высших учеб. заведений. Математика. 2008. №3 (550). С. 27–37.

18.   Lebedev P.D., Uspenskii A.A. Geometric singularities of the solution of the Dirichlet boundary problem for Hamilton-Jacobi equation with a low order of smoothness of the border curve // Mathematical analysis with applications : Intern. Conf. (CONCORD-90, Ekaterinburg, July 2018) / eds. В S. Pinelas, A. Kim, V. Vlasov . Cham : Springer, 2020. P. 109–122. (Springer Proceedings in Mathematics & Statistics; vol. 318). doi: 10.1007/978-3-030-42176-2_11 

19.   Рашевский П.К. Курс дифференциальной геометрии. М.: Едиториал, УРСС, 2003. 432 с.

Поступила 31.03.2021

После доработки 31.05.2021

Принята к публикации 5.06.2021

Лебедев Павел Дмитриевич
канд. физ.-мат. наук, старший науч. сотрудник
Институт математики и механики им. Н.Н. Красовского УрО РАН
г. Екатеринбург
e-mail: pleb@yandex.ru

Успенский Александр Александрович
д-р физ.-мат. наук, зав. сектором
Институт математики и механики им. Н.Н. Красовского УрО РАН
г. Екатеринбург
e-mail: uspen@imm.uran.ru

Ссылка на статью: П.Д. Лебедев, А.А. Успенский. Об аналитическом построении решений в одном классе задач управления по быстродействию с невыпуклым целевым множеством // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2021. Т. 27, № 3. С. 128-140 

English

P.D. Lebedev, A.A. Uspenskii. On the analytical construction of solutions for one class of time-optimal control problems with nonconvex target set

A time-optimal control problem with a circular velocity vectogram is considered. For one class of nonconvex planar target sets such that a part of their boundary coincides with a line segment, conditions are found that allow one to construct branches of singular (scattering) curves in analytical form. Explicit formulas are obtained for pseudovertices, i.e., singular points of the boundary of the target set generating branches of the singular set. An analytical relation is revealed between the endpoints of different optimal trajectories that have the same initial conditions on the singular set and hit the target set in a neighborhood of a pseudovertex. Formulas are found for the extreme points of branches of the singular set. The developed approaches to the exact construction of nonsmooth solutions of dynamic control problems are illustrated with examples.

Keywords: scattering curve, pseudovertex, mapping, curvature

Received April 31, 2021

Revised May 31, 2021

Accepted June 7, 2021

Funding Agency: P.D. Lebedev’s research is supported by the Russian Science Foundation (project no. 19-11-00105).

Pavel Dmitrievich Lebedev, Cand. Phys.-Math. Sci., Krasovskii Institute of Mathematics and Mechanics of the Ural Branch of the Russian Academy of Sciences, Yekaterinburg, 620108 Russia, e-mail: pleb@yandex.ru

Aleksandr Aleksandrovich Uspenskii, Dr. Phys.-Math. Sci., Krasovskii Institute of Mathematics and Mechanics of the Ural Branch of the Russian Academy of Sciences, Yekaterinburg, 620108 Russia, e-mail: uspen@imm.uran.ru

Cite this article as: P.D. Lebedev, A.A. Uspenskii. On the analytical construction of solutions for one class of time-optimal control problems with nonconvex target set, Trudy Instituta Matematiki i Mekhaniki UrO RAN, 2021, vol. 27, no. 3, pp. 128–140.

 [References -> on the "English" button bottom right]