X.Акча, В.И. Максимов. Устойчивое граничное управление параболическим уравнением ... С. 7-18

УДК 517.71

MSC: 93B52, 93C20

DOI: 10.21538/0134-4889-2021-27-2-7-18

В статье рассматривается задача граничного управления дифференциальным уравнением с распределенными параметрами. Суть задачи состоит в построении алгоритма формирования управления по принципу обратной связи, который гарантировал бы заданное качество управляемого процесса, а именно, отслеживание решением этого уравнения решение другого уравнения, подверженного влиянию неизвестного возмущения. Методы решения подобного типа задач для систем, описываемых обыкновенными дифференциальными уравнениями, хорошо известны и излагаются, в частности, в рамках теории позиционного управления. В настоящей работе мы исследуем задачу слежения, в которой роль объекта управления играет уравнение с распределенными параметрами. При этом предполагаем, что решения уравнений измеряются с ошибкой, а относительно возмущения известно лишь, что оно является элементом пространства функций, суммируемых с квадратом евклидовой нормы, т.е может быть неограниченным. Учитывая данные особенности задачи, мы конструируем устойчивые к информационным помехам и погрешностям вычислений алгоритмы ее решения, которые основаны на сочетании элементов теории некорректных задач с известным в теории позиционных дифференциальных игр методом экстремального сдвига.

Ключевые слова: системы с распределенными параметрами, управление

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1.   Lasiecka I., Triggiani R. Control theory for partial differential equations: Continuous and approximation theories. I: Abstract parabolic systems. Cambridge, 2000. 648 p.

2.   Tucshak M., Weiss G. Observation and control for operator semigroups. Berlin: Birkh$\ddot{\mathrm{a}}$user, 2009. 483 p. doi: 10.1007/978-3-7643-8994-9 

3.   Pandolfi L. Distributed systems with persistent memory: Control and moment problems. Berlin: Springer, 2014. 152 p. doi: 10.1007/978-3-319-12247-2 

4.   Фурсиков А.В. Оптимальное управление распределенными системами. Теория и приложения. Новосибирск: Науч. кн., 1999. 360 с.

5.   Tr$\ddot{\mathrm{o}}$ltzsch F. Optimal control of partial differential equations. Theory, methods and applications. Rhode Island, 2010. 408 p.

6.   Корбич Ю.С., Максимов В.И., Осипов Ю.С. Динамическое моделирование управлений в некоторых параболических системах // Прикл. математика и механика. 1990. Т. 54, № 3. С. 355–360.

7.   Осипов Ю.С., Пандолфи Л., Максимов В.И. Задача робастного граничного управления: случай краевых условий Дирихле // Докл. РАН. 2000. Т. 374, № 3. C. 310–312.

8.   Maksimov V., Pandolfi L. Dynamical reconstruction of inputs for contraction semigroup system. Boundary input case // J. Optim. Theory Appl. 1999. Vol. 103, no. 2. P. 401–420. doi: 10.1023/A:1021709004193 

9.   Osipov Yu.S., Pandolfi L., Maksimov V.I. Problems of dynamic reconstruction and robust boundary control: The case of Dirichlet boundary conditions // J. Inverse Ill-Posed Probl. 2001. Vol. 9, no. 2. P. 149–162. doi: 10.1515/jiip.2001.9.2.149 

10.   Осипов Ю.С., Кряжимский А.В., Максимов В.И. Метод экстремального сдвига Н.Н. Красовского и задачи граничного управления // Автоматика и телемеханика. 2009. № 4. С. 18–30.

11.   Максимов В.И., Осипов Ю.С. О граничном управлении распределенной системой на бесконечном промежутке времени // Журн. вычислит. математики и мат. физики. 2016. Т. 56, № 1. С. 14–26.

12.   Maksimov V.I. On reconstruction of boundary controls in a parabolic equations // Advances in Diff. Eq. 2009. Vol. 14, no. 11–12. P. 1193–1211.

13.   Maksimov V.I. On the tracking of a trajectory and a control by the feedback principle // Control Theory Appl. / ed. Vito G. Massari. N Y: Nova Science Publishers, 2011. P. 55–81.

14.   Schl$\ddot{\mathrm{o}}$gl F. Chemical reaction models for non-equilibrium phase-transitions // Zeitschrift f$\ddot{\mathrm{u}}$r Physik. 1972. Vol. 253. P. 147–161. doi: 10.1007/BF01379769 

15.   Gugat M., Tr$\ddot{\mathrm{o}}$ltzsch F. Boundary feedback stabilization of the Schl$\ddot{\mathrm{o}}$gl system // Automatica. 2015. Vol. 51, no. 1. P. 192–199. doi: 10.1016/j.automatica.2014.10.106 .

16.   Buchholz R., Engel H., Kanimann E., Tr$\ddot{\mathrm{o}}$ltzsch F. On the optimal control Schl$\ddot{\mathrm{o}}$gl-model // Comput. Optim. Appl. 2013. Vol. 5, no. 1. P. 153–185. doi: 10.1007/s10589-013-9550-y 

17.   Casas E., Rull C., Tr$\ddot{\mathrm{o}}$ltzsch F. Sparse optimal control of the Schl$\ddot{\mathrm{o}}$gl and FitzHugh–Nagumo systems // Comput. Methods Appl. Math. 2013. Vol. 13, iss. 4. P. 415–442. doi: 10.1515/cmam-2013-0016 

18.   Breiten T., Kunisch K. Riccati based feedback control of the monodomain equations with the FitzHugh–Nagumo model // SIAM J. Contr. Optim. 2014. Vol. 52, no. 6. P. 4057–4081. doi: 10.1137/140964552 

Поступила 31.01.2021

После доработки 10.02.2021

Принята к публикации 15.02.2021

Haydar Akca, Prof.,
Abu Dhabi University, College of Arts and Sciences
Department of Applied Sciences and Mathematics, UAE
e-mail: akcahy@yahoo.com

Максимов Вячеслав Иванович
д-р физ.-мат. наук, профессор
зав. отделом
Институт математики и механики им. Н.Н. Красовского УрО РАН
e-mail: maksimov@imm.uran.ru

Ссылка на статью: X.Акча, В.И. Максимов. Устойчивое граничное управление параболическим уравнением // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2021. Т. 27, № 2. С. 7-18

English

H. Akca, V.I. Maksimov. Stable boundary control of a parabolic equation

A problem of boundary control is considered for a differential equation with distributed parameters. It is required to design an algorithm that forms a feedback control and guarantees a prescribed quality of the controlled process. More exactly, the solution of this equation should track the solution of another equation, which is subject to an unknown perturbation. Methods for solving problems of this type for systems described by ordinary differential equations are well known and are presented, in particular, within the theory of positional control. In the present paper, we study a tracking problem in which the role of the control object is played by an equation with distributed parameters. It is assumed that the solutions of the equations are measured with an error, and the only available information about the perturbation is that it is an element of the space of functions summable with the square of the Euclidean norm; i.e., the perturbation can be unbounded. Taking into account these features of the problem, we design solution algorithms that are stable under information disturbances and computational errors. The algorithms are based on a combination of elements of the theory of ill-posed problems with the extremal shift method known in the theory of positional differential games.

Keywords: systems with distributed parameters, control

Received January 31, 2021

Revised February 10, 2021

Accepted February 15, 2021

Haydar Akca, Prof., Abu Dhabi University, College of Arts and Sciences, Department of Applied Sciences and Mathematics, P.O. Box 59911, Abu Dhabi, UAE, e-mail: akcahy@yahoo.com

Vyacheslav Ivanovich Maksimov, Dr. Phys.-Math. Sci., Prof., Krasovskii Institute of Mathematics and Mechanics of the Ural Branch of the Russian Academy of Sciences, Yekaterinburg, 620108 Russia, e-mail: maksimov@imm.uran.ru

Cite this article as: H. Akca, V.I. Maksimov. Stable boundary control of a parabolic equation, Trudy Instituta Matematiki i Mekhaniki UrO RAN, 2021, vol. 27, no. 2, pp. 7–18.

[References -> on the "English" button bottom right]