С.М. Асеев. Принцип максимума для задачи оптимального управления с асимптотическим концевым ограничением ... С. 35-48

УДК 517.977

MSC: 49K15, 91B62

DOI: 10.21538/0134-4889-2021-27-2-35-48

Исследование выполнено за счет гранта Российского научного фонда (проект 19-11-00223).

При выполнении условий, характеризующих доминирование дисконтирующего множителя, получен полный вариант принципа максимума Понтрягина для задачи оптимального управления на бесконечном интервале времени со специальным асимптотическим концевым ограничением. Задачи такого типа возникают в математической экономике при исследовании моделей роста.

Ключевые слова: оптимальное управление, бесконечный горизонт, принцип максимума Понтрягина, асимптотическое концевое ограничение, модели роста, устойчивое развитие

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1.   Acemoglu D. Introduction to modern economic growth. Princeton: Princeton Univ. Press, 2008. 1008 p.

2.   Алексеев В.М., Тихомиров В.М., Фомин С.В. Оптимальное управление. Москва: Наука. Глав. ред. физ.-мат. лит., 1979. 430 c.

3.   Асеев С.М., Бесов К.О., Кряжимский А.В. Задачи оптимального управления на бесконечном интервале времени в экономике // Успехи мат. наук. 2012. Т. 67, № 2. С. 3–64. doi: 10.4213/rm9467 

4.   Асеев С.М, Бесов К.О., Каниовский С.Ю. Оптимизация экономического роста в модели Дасгупты — Хила — Солоу — Стиглица при непостоянной отдаче от расширения масштабов производства // Тр. МИАН. 2019. Т. 304. С. 83–122. doi: 10.4213/tm3985 

5.   Асеев С.М., Кряжимский А.В. Принцип максимума Понтрягина и задачи оптимального экономического роста // Тр. МИАН. 2007. Т. 257. С. 3–271

6.   Aseev S., Manzoor T. Optimal exploitation of renewable resources: lessons in sustainability from an optimal growth model of natural resource consumption // Control Systems and Mathematical Methods in Economics / eds. G. Feichtinger, R. Kovacevic, G. Tragler. Cham: Springer, 2018. P. 221–245. (Lect. Notes Econ. Math. Syst.; vol. 687). doi: 10.1007/978-3-319-75169-6_11 

7.   Aseev S.M., Veliov V.M. Maximum principle for infinite-horizon optimal control problems with dominating discount // Dynamics of Continuous, Discrete and Impulsive Systems. Ser. B: Applications & Algorithms. 2012. Vol. 19, no. 1-2. P. 43–63.

8.   Aseev S.M., Veliov V.M. Needle variations in infinite-horizon optimal control // Variational and Optimal Control Problems on Unbounded Domains. Contemporary Mathematics / eds. G. Wolansky, A.J. Zaslavski. Providence: Amer. Math. Soc., 2014. Vol. 619. P. 1–17. doi: 10.1090/conm/619/12381 

9.   Aseev S.M., Veliov V.M. Maximum principle for infinite-horizon optimal control problems under weak regularity assumptions // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2014. Т. 20, № 3. С. 41–57.

10.   Асеев С.М., Вельов В.М. Другой взгляд на принцип максимума для задач оптимального управления с бесконечным горизонтом в экономике // Успехи мат. наук. 2019. Т. 74, № 6. С. 3–54. doi: 10.4213/rm9915 

11.   Aubin J.-P., Clarke F.H. Shadow prices and duality for a class of optimal control problems // SIAM J. Control Optim. 1979. Vol. 17. P. 567–586. doi: 10.1137/0317040 

12.   Barro R.J., Sala-i-Martin X. Economic growth. N Y: McGraw Hill, 1995. 539 p.

13.   Benchekroun H., Withhagen C. The optimal depletion of exhaustible resources: A complete characterization // Resource and Energy Economics. 2011. Vol. 33, no. 3. P. 612–636. doi: 10.1016/j.reseneeco.2011.01.005 

14.   Бесов К.О. О необходимых условиях оптимальности для задач экономического роста с бесконечным горизонтом и локально неограниченной функцией мгновенной полезности // Тр. МИАН. 2014. Т. 284. С. 56–88. doi: 10.1134/S037196851401004X 

15.   Бродский Ю.И. Необходимые условия слабого экстремума для задач оптимального управления на бесконечном интервале времени // Мат. сб. 1978. Т. 105 (147), № 3. С. 371–388.

16.   Cesari L. Optimization — Theory and applications. Problems with ordinary differential equations. Berlin; Heidelberg; N Y: Springer-Verlag, 1983. 542 p.

17.   Dasgupta P., Heal G.M. The optimal depletion of exhaustible resources // The Review of Economic Studies (Symposium on the Economics of Exhaustible Resources). 1974. Vol. 41, no. 5. P. 3–28.

18.   Филиппов А.Ф. Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью. Москва: Наука. Глав. ред. физ.-мат. лит., 1985. 224 с.

19.   Hartman P. Ordinary differential equations. N Y; London; Sydney: J. Wiley & Sons, 1964. 612 p.

20.   Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа, Москва: Наука. Глав. ред. физ.-мат. лит., 1976. 543 с.

21.   Куратовский К. Топология. Т. 1. Москва: Мир, 1966. 606 с.

22.   Meadows D.H., Meadows D.L., Randers J., and Behrens III W.W. The limits to growth: A report for the Club of Rome’s project on the predicament of mankind. N Y: Universe Books, 1972. 205 p.

23.   Pezzey J. Sustainable development concepts: an economic analysis. World Bank environment paper, no. 2. Washington: The World Bank, 1992. doi: 10.1596/0-8213-2278-8 

24.   Понтрягин Л.С., Болтянский В.Г., Гамкрелидзе Р.В., Мищенко Е.Ф. Математическая теория оптимальных процессов. Москва: Физматгиз, 1961. 400 с.

25.   Ramsey F.P. A mathematical theory of saving // Econ. J. 1928. Vol. 38. P. 543–559.

26.   Seierstad A. A maximum principle for smooth infinite horizon optimal control problems with state constraints and with terminal constraints at infinity // Open J. Optim. 2015. Vol. 4. P. 100–130. doi: 10.4236/ojop.2015.43012 

27.   Solow R.M. Intergenerational equity and exhaustible resources // The Review of Economic Studies (Symposium on the Economics of Exhaustible Resources). 1974. Vol. 41. P. 29–45. doi: 10.2307/2296370 

28.   Stiglitz J. Growth with exhaustible natural resources: Efficient and optimal growth paths // The Review of Economic Studies (Symposium on the Economics of Exhaustible Resources). 1974. Vol. 41. P. 123–137. doi: 10.2307/2296377 

29.   Tauchnitz N. Pontryagin’s maximum principle for infinite horizon optimal control problems with bounded processes and with state constraints. arXiv:2007.09692 . 2020. 27 p.

30.   Valente S. Sustainable development, renewable resources and technological progress // Environmental and Resource Economics. 2005. Vol. 30, no. 1. P. 115–125. doi: 10.1007/s10640-004-2377-3 

31.   Valente S. Optimal growth, genuine savings and long-run dynamics // Scottish Journal of Political Economy. 2008. Vol. 55, no. 2. P. 210–226. doi: 10.1111/j.1467-9485.2008.00451.x 

Поступила 1.02.2021

После доработки 15.02.2021

Принята к публикации 22.02.2021

Асеев Сергей Миронович
д-р физ.-мат. наук, чл.-корр. РАН
главный науч. сотрудник
Математический институт им. В.А. Стеклова РАН, г. Москва;
Московский государственный университет имени M.В. Ломоносова;
International Institute for Applied Systems Analysis, A-2361 Laxenburg, Austria
e-mail: aseev@mi-ras.ru

Ссылка на статью: С.М. Асеев. Принцип максимума для задачи оптимального управления с асимптотическим концевым ограничением // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2021. Т. 27, № 2. С. 35-48

English

S.M. Aseev. Maximum principle for an optimal control problem with an asymptotic endpoint constraint

Under conditions characterizing the dominance of the discounting factor, a complete version of the Pontryagin maximum principle for an optimal control problem with infinite time horizon and a special asymptotic endpoint constraint is developed. Problems of this type arise in mathematical economics in the studies of growth models.

Keywords: optimal control, infinite horizon, Pontryagin maximum principle, asymptotic endpoint constraint, growth models, sustainable development

Received February 1, 2021

Revised February 15, 2021

Accepted February 22, 2021

Funding Agency: This work was supported by Russian Scientific Foundation, project 19-11-00223.

Sergey Mironovich Aseev, Dr. Phys.-Math. Sci., Corresponding member of RAS, Principal research scholar, Steklov Mathematical Institute of RAS, Gubkina 8, Moscow, 119991 Russia; Lomonosov Moscow State University, Leninskiye Gory 1, Moscow, 119991 Russia; International Institute for Applied Systems Analysis, A-2361 Laxenburg, Austria, e-mail: aseev@mi-ras.ru

Cite this article as: S.M.Aseev. Maximum principle for an optimal control problem with an asymptotic endpoint constraint, Trudy Instituta Matematiki i Mekhaniki UrO RAN, 2021, vol. 27, no. 2, pp. 35–48.

[References -> on the "English" button bottom right]