С.М. Асеев. Принцип максимума для задачи оптимального управления с асимптотическим концевым ограничением ... С. 35-48

УДК 517.977

MSC: 49K15, 91B62

DOI: 10.21538/0134-4889-2021-27-2-35-48

Исследование выполнено за счет гранта Российского научного фонда (проект 19-11-00223).

Полный текст статьи (Full text)

Статья переведена: ISSN 0081-5438 

Proceedings of the Steklov Institute of Mathematics, 2021, Vol. 315, Suppl. 1, pp. S42–S54. (Abstract)

При выполнении условий, характеризующих доминирование дисконтирующего множителя, получен полный вариант принципа максимума Понтрягина для задачи оптимального управления на бесконечном интервале времени со специальным асимптотическим концевым ограничением. Задачи такого типа возникают в математической экономике при исследовании моделей роста.

Ключевые слова: оптимальное управление, бесконечный горизонт, принцип максимума Понтрягина, асимптотическое концевое ограничение, модели роста, устойчивое развитие

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1.   Acemoglu D. Introduction to modern economic growth. Princeton: Princeton Univ. Press, 2008. 1008 p.

2.   Алексеев В.М., Тихомиров В.М., Фомин С.В. Оптимальное управление. Москва: Наука. Глав. ред. физ.-мат. лит., 1979. 430 c.

3.   Асеев С.М., Бесов К.О., Кряжимский А.В. Задачи оптимального управления на бесконечном интервале времени в экономике // Успехи мат. наук. 2012. Т. 67, № 2. С. 3–64. doi: 10.4213/rm9467 

4.   Асеев С.М, Бесов К.О., Каниовский С.Ю. Оптимизация экономического роста в модели Дасгупты — Хила — Солоу — Стиглица при непостоянной отдаче от расширения масштабов производства // Тр. МИАН. 2019. Т. 304. С. 83–122. doi: 10.4213/tm3985 

5.   Асеев С.М., Кряжимский А.В. Принцип максимума Понтрягина и задачи оптимального экономического роста // Тр. МИАН. 2007. Т. 257. С. 3–271

6.   Aseev S., Manzoor T. Optimal exploitation of renewable resources: lessons in sustainability from an optimal growth model of natural resource consumption // Control Systems and Mathematical Methods in Economics / eds. G. Feichtinger, R. Kovacevic, G. Tragler. Cham: Springer, 2018. P. 221–245. (Lect. Notes Econ. Math. Syst.; vol. 687). doi: 10.1007/978-3-319-75169-6_11 

7.   Aseev S.M., Veliov V.M. Maximum principle for infinite-horizon optimal control problems with dominating discount // Dynamics of Continuous, Discrete and Impulsive Systems. Ser. B: Applications & Algorithms. 2012. Vol. 19, no. 1-2. P. 43–63.

8.   Aseev S.M., Veliov V.M. Needle variations in infinite-horizon optimal control // Variational and Optimal Control Problems on Unbounded Domains. Contemporary Mathematics / eds. G. Wolansky, A.J. Zaslavski. Providence: Amer. Math. Soc., 2014. Vol. 619. P. 1–17. doi: 10.1090/conm/619/12381 

9.   Aseev S.M., Veliov V.M. Maximum principle for infinite-horizon optimal control problems under weak regularity assumptions // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2014. Т. 20, № 3. С. 41–57.

10.   Асеев С.М., Вельов В.М. Другой взгляд на принцип максимума для задач оптимального управления с бесконечным горизонтом в экономике // Успехи мат. наук. 2019. Т. 74, № 6. С. 3–54. doi: 10.4213/rm9915 

11.   Aubin J.-P., Clarke F.H. Shadow prices and duality for a class of optimal control problems // SIAM J. Control Optim. 1979. Vol. 17. P. 567–586. doi: 10.1137/0317040 

12.   Barro R.J., Sala-i-Martin X. Economic growth. N Y: McGraw Hill, 1995. 539 p.

13.   Benchekroun H., Withhagen C. The optimal depletion of exhaustible resources: A complete characterization // Resource and Energy Economics. 2011. Vol. 33, no. 3. P. 612–636. doi: 10.1016/j.reseneeco.2011.01.005 

14.   Бесов К.О. О необходимых условиях оптимальности для задач экономического роста с бесконечным горизонтом и локально неограниченной функцией мгновенной полезности // Тр. МИАН. 2014. Т. 284. С. 56–88. doi: 10.1134/S037196851401004X 

15.   Бродский Ю.И. Необходимые условия слабого экстремума для задач оптимального управления на бесконечном интервале времени // Мат. сб. 1978. Т. 105 (147), № 3. С. 371–388.

16.   Cesari L. Optimization — Theory and applications. Problems with ordinary differential equations. Berlin; Heidelberg; N Y: Springer-Verlag, 1983. 542 p.

17.   Dasgupta P., Heal G.M. The optimal depletion of exhaustible resources // The Review of Economic Studies (Symposium on the Economics of Exhaustible Resources). 1974. Vol. 41, no. 5. P. 3–28.

18.   Филиппов А.Ф. Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью. Москва: Наука. Глав. ред. физ.-мат. лит., 1985. 224 с.

19.   Hartman P. Ordinary differential equations. N Y; London; Sydney: J. Wiley & Sons, 1964. 612 p.

20.   Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа, Москва: Наука. Глав. ред. физ.-мат. лит., 1976. 543 с.

21.   Куратовский К. Топология. Т. 1. Москва: Мир, 1966. 606 с.

22.   Meadows D.H., Meadows D.L., Randers J., and Behrens III W.W. The limits to growth: A report for the Club of Rome’s project on the predicament of mankind. N Y: Universe Books, 1972. 205 p.

23.   Pezzey J. Sustainable development concepts: an economic analysis. World Bank environment paper, no. 2. Washington: The World Bank, 1992. doi: 10.1596/0-8213-2278-8 

24.   Понтрягин Л.С., Болтянский В.Г., Гамкрелидзе Р.В., Мищенко Е.Ф. Математическая теория оптимальных процессов. Москва: Физматгиз, 1961. 400 с.

25.   Ramsey F.P. A mathematical theory of saving // Econ. J. 1928. Vol. 38. P. 543–559.

26.   Seierstad A. A maximum principle for smooth infinite horizon optimal control problems with state constraints and with terminal constraints at infinity // Open J. Optim. 2015. Vol. 4. P. 100–130. doi: 10.4236/ojop.2015.43012 

27.   Solow R.M. Intergenerational equity and exhaustible resources // The Review of Economic Studies (Symposium on the Economics of Exhaustible Resources). 1974. Vol. 41. P. 29–45. doi: 10.2307/2296370 

28.   Stiglitz J. Growth with exhaustible natural resources: Efficient and optimal growth paths // The Review of Economic Studies (Symposium on the Economics of Exhaustible Resources). 1974. Vol. 41. P. 123–137. doi: 10.2307/2296377 

29.   Tauchnitz N. Pontryagin’s maximum principle for infinite horizon optimal control problems with bounded processes and with state constraints. arXiv:2007.09692 . 2020. 27 p.

30.   Valente S. Sustainable development, renewable resources and technological progress // Environmental and Resource Economics. 2005. Vol. 30, no. 1. P. 115–125. doi: 10.1007/s10640-004-2377-3 

31.   Valente S. Optimal growth, genuine savings and long-run dynamics // Scottish Journal of Political Economy. 2008. Vol. 55, no. 2. P. 210–226. doi: 10.1111/j.1467-9485.2008.00451.x 

Поступила 1.02.2021

После доработки 15.02.2021

Принята к публикации 22.02.2021

Асеев Сергей Миронович
д-р физ.-мат. наук, чл.-корр. РАН
главный науч. сотрудник
Математический институт им. В.А. Стеклова РАН, г. Москва;
Московский государственный университет имени M.В. Ломоносова;
International Institute for Applied Systems Analysis, A-2361 Laxenburg, Austria
e-mail: aseev@mi-ras.ru

Ссылка на статью: С.М. Асеев. Принцип максимума для задачи оптимального управления с асимптотическим концевым ограничением // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2021. Т. 27, № 2. С. 35-48

English

S.M. Aseev. Maximum principle for an optimal control problem with an asymptotic endpoint constraint

Under conditions characterizing the dominance of the discounting factor, a complete version of the Pontryagin maximum principle for an optimal control problem with infinite time horizon and a special asymptotic endpoint constraint is developed. Problems of this type arise in mathematical economics in the studies of growth models.

Keywords: optimal control, infinite horizon, Pontryagin maximum principle, asymptotic endpoint constraint, growth models, sustainable development

Received February 1, 2021

Revised February 15, 2021

Accepted February 22, 2021

Funding Agency: This work was supported by Russian Scientific Foundation, project 19-11-00223.

Sergey Mironovich Aseev, Dr. Phys.-Math. Sci., Corresponding member of RAS, Principal research scholar, Steklov Mathematical Institute of RAS, Gubkina 8, Moscow, 119991 Russia; Lomonosov Moscow State University, Leninskiye Gory 1, Moscow, 119991 Russia; International Institute for Applied Systems Analysis, A-2361 Laxenburg, Austria, e-mail: aseev@mi-ras.ru

Cite this article as: S.M.Aseev. Maximum principle for an optimal control problem with an asymptotic endpoint constraint, Trudy Instituta Matematiki i Mekhaniki UrO RAN, 2021, vol. 27, no. 2, pp. 35–48.

[References -> on the "English" button bottom right]