В.Е. Федоров, Н.В. Филин. Линейные уравнения с дискретно распределенной дробной производной в банаховых пространствах ... С. 264-280

УДК 517.95

MSC: 35R11, 34G10, 34A08

DOI: 10.21538/0134-4889-2021-27-2-264-280

Работа выполнена при поддержке РФФИ (проект 21-51-54003) и  в рамках исследований, проводимых  в Уральском математическом центре при финансовой поддержке Министерства науки и высшего образования Российской Федерации  (номер соглашения 075-02-2021-1383).

Исследуется однозначная разрешимость линейных уравнений в банаховых пространствах с дискретно распределенной дробной производной Герасимова — Капуто в терминах аналитических разрешающих семейств операторов. Получены условия в терминах резольвенты замкнутого оператора из правой части уравнения, необходимые и достаточные для существования такого семейства операторов, а также изучены его свойства. Эти результаты использованы для доказательства существования единственного решения задачи Коши для линейного уравнения соответствующего класса с неоднородностью, непрерывной в норме графика оператора из правой части уравнения либо гельдеровой. На основе полученных абстрактных результатов исследована однозначная разрешимость начально-краевых задач для одного класса уравнений с дискретно распределенной дробной производной по времени и с многочленами от эллиптического самосопряженного дифференциального по пространственным переменным оператора.

Ключевые слова: дробная производная Герасимова — Капуто, дискретно распределенная дробная производная, задача Коши, разрешающее семейство операторов, начально-краевая задача

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1.   Нахушев А. М. О непрерывных дифференциальных уравнениях и их разностных аналогах // Докл. АН СССР. 1988. Т. 300, № 4. С. 796–799.

2.   Caputo M. Mean fractional order derivatives. Differential equations and filters // Ann. Univ. Ferrara. 1995. Vol. 41, no. 1. P. 73–84. doi: 10.1007/BF02826009 

3.   Sokolov I. M., Chechkin A. V., Klafter J. Distributed-order fractional kinetics // Acta Physica Polonica B. 2004. Vol. 35. P. 1323–1341.

4.   Diethelm K., Ford N., Freed A. D., Luchko Y. Algorithms for the fractional calculus: A selection of numerical methods // Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering. 2003. Vol. 194, no. 6–8. P. 743–773. doi: 10.1016/j.cma.2004.06.006 

5.   Псху А. В. Уравнения в частных производных дробного порядка. М.: Наука, 2005. 199 c. ISBN 5-02-033721-8.

6.   Atanackovi$\acute{\mathrm{c}}$ T. M., Oparnica L., Pilipovi$\acute{\mathrm{c}}$ S. On a nonlinear distributed order fractional differential equation // J. Math. Anal. Appl. 2007. Vol. 328. P. 590–608. doi: 10.1016/j.jmaa.2006.05.038 

7.   Kochubei A. N. Distributed order calculus and equations of ultraslow diffusion // J. Math. Anal. Appl. 2008. Vol. 340. P. 252–280. doi: 10.1016/j.jmaa.2007.08.024 

8.   Fedorov V. E., Abdrakhmanova A. A. A class of initial value problems for distributed order equations with a bounded operator // Stability, Control and Differential Games: eds. A. Tarasyev, V. Maksimov, T. Filippova. Cham: Springer Nature, 2020. P. 251–262. doi: 10.1007/978-3-030-42831-0_22

9.   Fedorov V. E., Streletskaya E. M. Initial-value problems for linear distributed-order differential equations in Banach spaces // Electronic J. Diff. Eq. 2018. Vol. 2018, no. 176. P. 1–17.

10.   Федоров В. Е., Фуонг Т. Д., Киен Б. Т., Бойко К. В., Ижбердеева Е. М. Один класс полулинейных уравнений распределенного порядка в банаховых пространствах // Челяб. физ.-мат. журн. 2020. Т. 5, вып. 3. C. 342–351. doi: 10.47475/2500-0101-2020-15308

11.   Федоров В. Е. О порождении аналитического в секторе разрешающего семейства операторов дифференциального уравнения распределенного порядка // Зап. науч. семинаров ПОМИ. 2020. Т. 489. С. 113–129.

12.   Fedorov V. E. Generators of analytic resolving families for distributed order equations and perturbations // Mathematics. 2020. Vol. 8, no. 1306. P. 1–15. doi: 10.3390/math8081306 

13.   Псху А. В. Уравнение дробной диффузии с оператором дискретно распределенного дифференцирования // Сиб. электрон. мат. изв. 2016. Т. 13. C. 1078–1098. doi: 10.17377/semi.2016.13.086

14.   Kosti$\acute{\mathrm{c}}$ M. Degenerate multi-term fractional differential equations in locally convex spaces // Publication de l’Institut Math$\acute{\mathrm{e}}$matique. Nouvelle s$\acute{\mathrm{e}}$rie. 2016. Tome 100 (114). P. 49–75. doi: 10.2298/PIM1614049K 

15.   Novozhenova O. G. Life and science of Alexey Gerasimov, one of the pioneers of fractional calculus in Soviet Union // Fractional Calculus and Applied Analysis. 2017. Vol. 20, no. 3. P. 790–809. doi: 10.1515/fca-2017-0040 

16.   Podlubny I. Fractional Differential Equations. San Diego; Boston: Academic Press, 1999. 340 p.

17.   Pr$\ddot{\mathrm{u}}$ss J. Evolutionary integral equations and applications. Basel: Springer, 1993. 369 c.

18.   Arendt W., Batty C. J. K., Hieber M., Neubrander F. Vector-valued Laplace transforms and Cauchy problems. Basel: Springer, 2011. 539 p.

19.   Bajlekova E. G. Fractional evolution equations in Banach spaces. PhD thesis; Eindhoven: Eindhoven University of Technology: University Press Facilities, 2001.

20.   Иосида К. Функциональный анализ. М.: Мир, 1967. 616 c.

21.   Goldstein J. A. Semigroups and second-order differential equations // J. Functional Analysis. 1969. Vol. 4. P. 50–70. doi: 10.1016/0022-1236(69)90021-4 

22.   Трибель Х. Теория интерполяции. Функциональные пространства. Дифференциальные операторы. М.: Мир, 1980. 664 c.

Поступила 1.02.2021

После доработки 6.03.2021

Принята к публикации 15.03.2021

Федоров Владимир Евгеньевич
д-р физ.-мат. наук, профессор
профессор кафедры математического анализа
Челябинский государственный университет
г. Челябинск;
Институт математики и механики им. Н.Н. Красовского УрО РАН
г. Екатеринбург
e-mail: kar@csu.ru

Филин Николай Владимирович
младший науч. сотрудник
Институт математики и механики им. Н.Н. Красовского УрО РАН
г. Екатеринбург;
аспирант
Югорский государственный университет
г. Ханты-Мансийск;
ассистент кафедры математического анализа
Челябинский государственный университет
г. Челябинск
e-mail: nikolay_filin@inbox.ru

Ссылка на статью: В.Е. Федоров, Н.В. Филин. Линейные уравнения с дискретно распределенной  дробной производной в банаховых пространствах // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2021. Т. 27, № 2. С. 264-280

English

V.E. Fedorov, N.V. Filin. Linear equations with discretely distributed fractional derivative in Banach spaces

We study the unique solvability of linear equations in Banach spaces with discretely distributed Gerasimov–Caputo fractional derivative in terms of analytic resolving families of operators. Necessary and sufficient conditions for the existence of such a family of operators are obtained in terms of the resolvent of a closed operator from the right-hand side of the equation, and the properties of this family are studied. These results are used to prove the existence of a unique solution to the Cauchy problem for a linear equation of the corresponding class with inhomogeneity which is either continuous in the norm of the graph of the operator from the right-hand side of the equation or HЈolderian. Based on the abstract results obtained, we investigate the unique solvability of initial–boundary value problems for a class of equations with discretely distributed fractional time derivative and with polynomials in an elliptic self-adjoint differential operator with respect to spatial variables.

Keywords: Gerasimov–Caputo fractional derivative, discretely distributed fractional derivative, Cauchy problem, resolving family of operators, initial–boundary value problem

Received February 1, 2021

Revised March 6, 2021

Accepted March 15, 2021

Funding Agency: This work was supported by the Russian Foundation for Basic Research (project 21-51-54003),  is a part of the research carried out at the Ural Mathematical Center and supported by the Ministry of Science and Higher Education of the Russian Federation (agreement no. 075-02-2021-1383).

Vladimir Evgenyevich Fedorov, Dr. Phys.-Math. Sci., Prof., Chelyabinsk State University, Chelyabinsk, 454001 Russia; Krasovskii Institute of Mathematics and Mechanics of the Ural Branch of the Russian Academy of Sciences, Yekaterinburg, 620108 Russia, e-mail: kar@csu.ru

Nikolay Vladimirovich Filin, Krasovskii Institute of Mathematics and Mechanics of the Ural Branch of the Russian Academy of Sciences, Yekaterinburg, 620108 Russia; Yugra State University, Khanty-Mansiysk, 628012 Russia; Chelyabinsk State University, Chelyabinsk, 454001 Russia; e-mail: nikolay_filin@inbox.ru

Cite this article as: V.E. Fedorov, N.V. Filin. Linear equations with discretely distributed fractional derivative in Banach spaces, Trudy Instituta Matematiki i Mekhaniki UrO RAN, 2021, vol. 27, no. 2, pp. 264–280.

[References -> on the "English" button bottom right]