А.Г. Ченцов. О релаксации игровой задачи сближения с элементами приоритетности ... С. 281-297

УДК 517.977

MSC:49J15, 49K15, 93C15, 49N70

DOI: 10.21538/0134-4889-2021-27-2-281-297

Рассматриваются вопросы, связанные с релаксацией игровой задачи сближения на конечном промежутке времени. В исходной задаче предполагаются заданными замкнутое в пространстве позиций целевое множество и множество, определяющее фазовые ограничения и имеющее замкнутые в фазовом пространстве сечения, отвечающие фиксации моментов времени. Условия окончания игры сближения ослабляются посредством замены упомянутых множеств окрестностями, определяемыми в различных топологиях пространства позиций и имеющих “размеры”, связанные коэффициентом пропорциональности в виде параметра приоритетности. Для каждого значения данного параметра и фиксированной позиции определяется значение релаксированной задачи, совпадающее с минимаксом в классе квазистратегий для специального функционала качества. Установлено, что получающаяся при этом функция позиции зависит от параметра непрерывно как отображение положительной полуоси в тихоновскую степень вещественной прямой с использованием пространства позиций в качестве индексного множества. Для соответствующих функций вычисления (при фиксации позиции) указаны области равномерной непрерывности.

Ключевые слова: дифференциальная игра, квазистратегия, метод программных итераций

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1.   Красовский Н. Н., Субботин А. И. Альтернатива для игровой задачи сближения // Прикл. математика и механика. 1970. Т. 34, № 6. С. 1005–1022.

2.   Красовский Н. Н., Субботин А. И. Позиционные дифференциальные игры. М.: Наука, 1974. 456 с.

3.   Понтрягин Л. С. О линейных дифференциальных играх, 1, 2 / Л.С. Понтрягин // Докл. АН СССР. 1967. Т. 174, № 6. С. 1278–1280; Т. 175, № 4. С. 764–766.

4.   Понтрягин Л. С. Математическая теория оптимальных процессов и дифференциальных игр // Тр. МИАН им. В. А. Стеклова. 1985. Т. 169. С. 119–157.

5.   Красовский Н. Н. Теория управления движением. М.: Наука, 1968. 476 p.

6.   Красовский Н. Н. Игровые задачи о встрече движений. М.: Физматлит, 1970. 420 p.

7.   Красовский Н. Н. Управление динамической системой. Задача о минимуме гарантированного результата. М.: Наука, 1985. 516 с.

8.   Куржанский А. Б. Управление и наблюдение в условиях неопределенности. М.: Наука, 1977. 392 с.

9.   Осипов Ю. С. Альтернатива в дифференциально-разностной игре // Докл. АН СССР. 1971. Т. 197, № 5. C. 1022–1025.

10.   Осипов Ю. С. К теории дифференциальных игр в системах с распределенными параметрами // Докл. АН СССР. 1975. T. 223, № 6. C. 1314–1317.

11.   Пшеничный Б. Н. Структура дифференциальных игр // Докл. АН СССР. 1969. Т. 184, № 2. С. 285–287.

12.   Субботин А. И. Обобщение основного уравнения теории дифференциальных игр // Докл. АН СССР. 1980. T. 254, №2. C. 293–297.

13.   Субботин А. И. Обобщенные решения уравнений в частных производных первого порядка. Перспективы динамической оптимизации. М.; Ижевск: Изд-во Ин-та компьютерных иследований, 2003. 336 с.

14.   Субботин А. И., Ченцов А. Г. Оптимизация гарантии в задачах управления. М.: Наука, 1981.

15.   Кряжимский А. В. К теории позиционных дифференциальных игр сближения-уклонения // Докл. АН СССР. 1978. T. 239, № 4. C. 779–782.

16.   Айзекс Р. Дифференциальные игры. М.: Мир, 1967. 480 с.

17.   Красовский Н. Н. Дифференциальная игра сближения-уклонения. I, II // Изв. АН СССР. Сер. техническая кибернетика. 1973. № 2. С. 3–18; 1973. № 3. С. 22–42.

18.   Ченцов А. Г. О структуре одной игровой задачи сближения // Докл. АН СССР. 1975. T. 224, № 6. C. 1272–1275.

19.   Ченцов А. Г. К игровой задаче наведения // Докл. АН СССР. 1976. T. 226, № 1. C. 73–76.

20.   Ухоботов В. И. Построение стабильного моста для одного класса линейных игр // Прикладная математика и механика. 1977. Т. 41, № 2. С. 358–364.

21.   Чистяков С. В. К решению игровых задач преследования // Прикладная математика и механика. 1977. Т. 41, № 5. С. 825–832.

22.   Ченцов А. Г. Об игровой задаче сближения к заданному моменту времени. Изв. АН СССР. Сер. математическая. 1978. T. 42, № 2. C. 455–467.

23.   Ченцов А. Г. Метод программных итераций в игровой задаче наведения // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2016. T. 22, № 2. С. 304–321.

24.   Ченцов А. Г. Некоторые вопросы теории дифференциальных игр с фазовыми ограничениями // Изв. ИМИ УдГУ. 2020. T. 56. C. 138–184.

25.   Куратовский К., Мостовский А. Теория множеств. М.: Мир, 1970. 416 с.

26.   Дьедонне Ж. Основы современного анализа. М.: Мир, 1964. 430 с.

27.   Ченцов А. Г. Элементы конечно-аддитивной теории меры. I. Екатеринбург: Изд-во УГТУ-УПИ, 2008. 388 с.

28.   Неве Ж. Математические основы теории вероятностей. М.: Мир, 1969. 309 с.

29.   Данфорд Н., Шварц Дж. Т. Линейные операторы: Общая теория. М.: ИЛ, 1962. 896 с.

30.   Биллингсли П. Сходимость вероятностных мер. М.: Наука, 1977. 352 с.

31.   Ченцов А. Г. Итерации стабильности и задача уклонения с ограничением на число переключений формируемого управления // Изв. ИМИ УдГУ. 2017. T. 49. C. 17–54.

32.   Ченцов А. Г. Итерации стабильности и задача уклонения с ограничением на число переключений // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2017. T. 23, № 2. С. 285–302.

33.   Ченцов А. Г. Метод программных итераций в игровой задаче наведения // Вест. Удмурт. ун-та. Сер. Математика. Механика. Компьютерные науки. 2016. T. 26, № 2. C. 271–282.

34.   Ченцов А. Г. Релаксации игровой задачи сближения, связанные с альтернативой в дифференциальной игре сближения-уклонения // Вест. российских университетов. Математика. 2020. Т. 25, № 130. С. 196–244.

Поступила 18.01.2021

После доработки 29.01.2021

Принята к публикации 1.02.2021

Ченцов Александр Георгиевич
д-р физ.-мат. наук
чл.-корр. РАН, профессор
главный науч. сотрудник
Институт математики и механики им. Н.Н. Красовского УрО РАН;
профессор
Уральский федеральный университет
г. Екатеринбург
e-mail: chentsov@imm.uran.ru

Ссылка на статью: А.Г. Ченцов. О релаксации игровой задачи сближения с элементами приоритетности // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2021. Т. 27, № 2. С. 281-297

English

A.G. Chentsov. On the relaxation of a game problem of approach with priority elements

The issues related to the relaxation of a game problem of approach on a finite time interval are considered. In the original problem, it is assumed that the following sets are given: a target set closed in the position space and a set that determines state constraints and whose sections corresponding to fixed times are closed in the state space. The game termination conditions are relaxed by replacing these sets with their neighborhoods defined in different topologies of the position space; the “sizes” of the neighborhoods are related by a proportionality coefficient in the form of a priority parameter. For each value of this parameter and a fixed position, we find the value of the relaxed problem, which coincides with the minimax in the class of quasi-strategies for a special quality functional. It is established that the resulting position function depends on the parameter continuously as a mapping of the positive semiaxis to the Tikhonov power of the real line with the position space as the index set. Regions of uniform continuity are specified for the corresponding calculation functions (for a fixed position).

Keywords: differential game, quasi-strategy, program iteration method

Received January 18, 2021

Revised January 29, 2021

Accepted February 1, 2021

Alexander Georgievich Chentsov, Dr. Phys.-Math. Sci, RAS Corresponding Member, Prof., Krasovskii Institute of Mathematics and Mechanics of the Ural Branch of the Russian Academy of Sciences, Yekaterinburg, 620108 Russia; Ural Federal University, Yekaterinburg, 620000 Russia, e-mail: chentsov@imm.uran.ru

Cite this article as: A.G. Chentsov. On the relaxation of a game problem of approach with priority elements, Trudy Instituta Matematiki i Mekhaniki UrO RAN, 2021, vol. 27, no. 2, pp. 281–297.

[References -> on the "English" button bottom right]