Н.Н. Петров. Матричные разрешающие функции в линейной задаче группового преследования о многократной поимке ... С. 185-196

УДК 517.977

MSC: 49N79, 49N70, 91A24

DOI: 10.21538/0134-4889-2021-27-2-185-196

Работа выполнена при поддержке Минобрнауки РФ в рамках государственного задания № 075-00232-20-01, проект FEWS -2020-0010 и РФФИ (проект 20-01-00293).

В конечномерном евклидовом пространстве рассматривается  задача преследования группой преследователей одного или нескольких убегающих, описываемая системой вида
\begin{gather*}
\dot z_{ij} = A_{ij} z_{ij} + u_i - v_j,\ \  u_i \in U_i,\ \  v_j \in V_j.
\end{gather*}
Целью группы преследователей является  поимка не менее $q$ убегающих, причем каждого убегающего должны поймать не менее чем $m$ различных преследователей, при этом моменты поимки могут не совпадать. Терминальные множества - начало координат. В качестве математической основы используются матричные разрешающие функции, являющиеся обобщением скалярных разрешающих функций. Получены достаточные условия многократной поимки одного убегающего в классе квазистратегий. В предположении, что убегающие используют программные стратегии, а каждый преследователь ловит не более одного убегающего, в терминах начальных позиций получены  достаточные условия разрешимости задачи о многократной поимке заданного числа убегающих. Для доказательства основного результата используется теорема Холла о системе различных представителей. Приведены примеры, иллюстрирующие полученные результаты.

Ключевые слова: дифференциальная игра, преследователь, убегающий, групповое преследование

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1.   Isaacs R. Differential games. N Y: John Wiley & Sons, 1965. 480 c.

2.   Красовский Н.Н., Субботин А.И. Позиционные дифференциальные игры. М.: Наука, 1974. 456 с.

3.   Красовский Н. Н. Управление динамической системой. Задача о минимуме гарантированного результата. М.: Наука, 1985. 516 с.

4.   Субботин А.И., Ченцов А.Г. Оптимизация гарантии в задачах управления. М.: Наука, 1981. 288 с.

5.   Osipov Yu.S., Kryazhimskii A.V. Inverse problems fot ordinary differential equations: dynamical solutions. Basel: Cordon & Breach, 1995. 625 p.

6.   Понтрягин Л.С. Избранные научные труды. Т. 2. М.: Наука, 1988. 576 с.

7.   Чикрий  A.A. Конфликтно управлямые процессы. Киев: Наук. думка, 1992. 384 с.

8.   Chikrii  A.A. Quasilinear controlled prosesses under conflict dynamical systems // J. Math. Sci. 1996. Vol. 80, no. 1. P. 1489–1518.

9.   Григоренко  Н.Л. Математические методы управления несколькими динамическими процессами. М.: Изд-во МГУ, 1990. 197 c.

10.   Пшеничный Б.Н. Простое преследование несколькими объектами // Кибернетика. 1976. № 3. C. 145–146.

11.   Благодатских А.И., Петров  Н.Н. Конфликтное взаимодействие групп управляемых объектов. Ижевск: Изд-во Удмурт. ун-та, 2009. 266 с.

12.   Чикрий А.А., Раппопорт И.С. Метод разрешающих функций в теории конфликтно-управляемых процессов // Кибернетика и системный анализ. 2012. №4. С. 40–64.

13.   Раппопорт И. C. Стратегии группового сближения в методе разрешающих функций для квазилинейных конфликтно-управляемых процессов // Кибернетика и системный анализ. 2019. Т. 55, № 1. С. 149–163.

14.   Petrov N.N., Solov’eva N.A. Multiple capture of given number of evaders in linear recurrent differential games // J. Optim. Theory Appl. 2019. Vol. 182, no. 1. P. 417–429. doi: 10.1007/s10957-019-01526-7 

15.   Петров Н.Н. Задача простого группового преследования с фазовыми ограничениями во временных шкалах // Вестн. Удмурт. ун-та. Математика. Механика. Компьютерные науки. 2020. Т. 30, вып. 2. С. 249–258. doi: 10.35634/vm200208 

16.   Петров Н.Н., Мачтакова А.И. Поимка двух скоординированных убегающих в задаче с дробными производными, фазовыми ограничениями и простой матрицей // Изв. Ин-та математики и информатики Удмурт. гос. ун-та. 2020. Т. 56. С. 50–62. doi: 10.35634/2226-3594-2020-56-05 

17.   Петров Н.Н., Соловьева Н.А. К задаче группового преследования в линейных рекуррентных дифференциальных играх // Итоги науки и техники. Сер. Современ. математика и ее приложение. Тематический обзор. 2017. Т. 132. С. 81–85.

18.   Чикрий А. А., Чикрий Г.Ц. Матричные разрешающие функции в игровых задачах динамики // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2014. Т. 20, № 3. С. 324–333.

19.   Чикрий А. А., Чикрий Г.Ц. О матричных разрешающих функциях в динамических задачах сближения // Кибернетика и системный анализ. 2014. Т. 50, № 2. С. 44–63.

20.   Чикрий А. А. Об одном аналитическом методе в динамических играх сближения // Тр. МИАН. 2010. Т. 271, С. 76–92.

21.   Aubin J.P., Frankowska H. Set-valued analysis. Boston: Birkhauser, 1990. 461 p.

Поступила 14.01.2021

После доработки 12.02.2021

Принята к публикации 22.02.2021

Петров Николай Никандрович
д-р физ.-мат. наук, профессор,
главный науч. сотрудник
лаборатории математической теории управления,
директор
Института математики, информационых технологий и физики Удмуртского университета
г. Ижевск
e-mail: kma3@list.ru

Ссылка на статью: Н.Н. Петров. Матричные разрешающие функции в линейной задаче группового преследования о многократной поимке // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2021. Т. 27, № 2. С. 185-196

English

N.N. Petrov. Matrix resolving functions in a linear problem of group pursuit with multiple capture

A problem of pursuit of one or several evaders by a group of pursuers is considered in a finite-dimensional Euclidean space. The problem is described by the system
$$
\dot z_{ij} = A_{ij} z_{ij} + u_i - v_j,\ \  u_i \in U_i,\ \  v_j \in V_j.
$$
The aim of the group of pursuers is to capture at least $q$ evaders, where each evader must be captured by at least $m$ different pursuers; the capture moments may be different. The terminal sets are the origin. Matrix resolving functions, which generalize scalar resolving functions, are used as a mathematical basis. Sufficient conditions for the multiple capture of one evader in the class of quasi-strategies are obtained. Under the assumption that the evaders use program strategies and each pursuer captures at most one evader, sufficient conditions for the solvability of the problem on the multiple capture of a given number of evaders are obtained in terms of the initial positions. Hall's theorem on a system of distinct representatives is used to prove the main theorem. Examples are given to illustrate the obtained results.

Keywords: differential game, pursuer, evader, group pursuit

Received January 14, 2021

Revised February 12, 2021

Accepted February 22, 2021

Funding Agency: This research was funded by the Ministry of Science and Higher Education of the Russian Federation in the framework of state assignment No. 075-00232-20-01, project FEWS-2020-0010 and under grant 20-01-00293 from the Russian Foundation for Basic Research.

Nikolai Nikandrovich Petrov, Dr. Phys.-Math. Sci., Prof., Udmurt State University, Izhevsk, 426034 Russia, e-mail: kma3@list.ru

Cite this article as: N.N. Petrov. Matrix resolving functions in a linear problem of group pursuit with multiple capture, Trudy Instituta Matematiki i Mekhaniki UrO RAN, 2021, vol. 27, no. 2, pp. 185–196.

[References -> on the "English" button bottom right]