А.О. Игнатьев. О существовании периодического решения системы Льенара с импульсным воздействием ... С. 79-87

УДК 517.95

MSC: 34C25; 34C15; 34A37

DOI: 10.21538/0134-4889-2021-27-1-79-87

Полный текст статьи (Full text)

Рассмотрена система дифференциальных уравнений Льенара с импульсным воздействием
\begin{equation*}%\label{2.1}
\frac{dx}{dt}=z-F(x),\quad \frac{dz}{dt}=-g(x)\quad \text{ при}\quad x\ne 0,
\end{equation*}
\begin{equation*}%\label{2.2}
\Delta x=0,\quad \Delta z=J(z)\quad \text{ при}\quad x= 0.
\end{equation*}
Получены достаточные условия существования периодического решения этой системы.

Ключевые слова: системы дифференциальных уравнений с импульсным воздействием, система Льенара, предельный цикл

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1.   Bainov D.D., Simeonov P.S. Systems with impulse effect: stability, theory and applications. N Y; Chichester; Brisbane; Toronto: Halsted Press, 1989. 256 p.

2.   Lakshmikantham V., Bainov D.D., Simeonov P.S. Theory of impulsive differential equations. Singapure; N J; London: World Scientific, 1989. 273 p. doi: 10.1142/0906 

3.   D’Onofrio A. Pulse vaccination strategy in the SIR epidemic model: Global asymptotic stable eradication in presence of vaccine failures //  Mathematical and Computer Modelling 2002. Vol. 36. P. 473–489. doi: 10.1016/S0895-7177(02)00177-2 

4.   Smith R.J., Wahl L.M. Distinct effects of protease and reverse transcriptase inhibition in an immunological model of HIV-1 infection with impulsive drug effects //  Bulletin Math. Biology 2004. Vol. 66. P. 1259–1283. doi: 10.1016/J.BULM.2003.12.004 

5.   Jiao J., Liu Z., Li L., Nie X. Threshold dynamics of a stage-structured single population model with non-transient and transient impulsive effects // Applied Math. Letters 2019. Vol. 97, no. 1. P. 88–92. doi: 10.1016/j.aml.2019.05.024 

6.   Игнатьев А.О. Метод функций Ляпунова в задачах устойчивости решений систем дифференциальных уравнений с импульсным воздействием // Мат. сб. 2003. Т. 194, № 10. C. 117–132.

7.   Двирный А.И., Слынько В.И. Аналог критического случая А.М. Молчанова для импульсных систем // Автоматика и телемеханика 2015. Т. 76, № 6. C. 3–17.

8.   Haddad W.M., Chellaboina V., Nersesov S.G. Impulsive and hybrid dynamical systems: stability, dissipativity, and control. Princeton: Princeton University Press, 2006. 520 p. doi: 10.1515/9781400865246 

9.   Graef J.R., Kadari H., Ouahab A., and Oumansour A. Existence results for systems of second-order impulsive differential equations // Acta Math. Univ. Comenianae. 2019. Vol. 88, no. 1. P. 51–66.

10.   Levinson N. and Smith O. A general equation for relaxation oscillations // Duke Math. J. 1942. Vol. 9, no. 2. P. 382–403. doi: 10.1215/S0012-7094-42-00928-1 

11.   Игнатьев А.О. Оценка амплитуды предельного цикла уравнения Льенара // Дифференц. уравнения. 2017. Т. 53, № 3. C. 312–320.

12.   Ignatyev A.O. The domain of existence of a limit cycle of Li$\acute{\mathrm{e}}$nard system // Lobachevskii J. Math. 2017. Vol. 38, no. 2. P. 271–279. doi: 10.1134/S199508021702010X 

13.   Carletti T., Villari G. A note on existence and uniqueness of limit cycles for Li$\acute{\mathrm{e}}$nard systems // J. Math. Analysis Appl. 2005. Vol. 307, no. 2. P. 763–773. doi: 10.1016/j.jmaa.2005.01.054 

14.   Sabatini M., Vilari G. On the uniqueness of limit cycles for Lienard equation: the legacy of G. Sansone // Matematiche (Catania). 2010. Vol. 65, no. 2. P. 201–214.

15.   Belley J.M., Guen R. Periodic van der Pol equation with state dependent impulses // J. Math. Analysis Appl. 2015. Vol. 426. P. 995–1011. doi: 10.1016/j.jmaa.2015.02.026 

16.   Herrera L., Montano O., Orlov Yu. Hopf bifurcation of hybrid Van der Pol oscillators // Nonlinear Analysis: Hybrid Systems, 2017. Vol. 26. P. 225–238. doi: 10.1016/j.nahs.2017.05.003 

17.   Ding B., Pan S., Ding C. The index of impulsive periodic orbits // Nonlinear Analysis. 2020. Vol. 192. P. 1–9. doi: 10.1016/j.na.2019.111659 .

Поступила 8.12.2020

После доработки 25.12.2020

Принята к публикации 11.01.2021

Игнатьев Александр Олегович
д-р физ.-мат. наук, профессор
ведущий научный сотрудник
Институт прикладной математики и механики
г. Донецк
e-mail: aoignat@mail.ru

Ссылка на статью: А.О. Игнатьев. О существовании периодического решения системы Льенара с импульсным воздействием // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2021. Т. 27, № 1. С. 79-87.

English

A.O. Ignatyev. On the existence of a periodic solution of the Li$\acute{\mathrm{e}}$nard system with impulse effect

We consider a system of Li$\acute{\mathrm{e}}$nard differential equations with impulse effect
$$
\frac{dx}{dt}=z-F(x),\quad \frac{dz}{dt}=-g(x),\quad \text{ for}\quad x\ne 0,
$$
$$
\Delta x=0,\quad \Delta z=J(z)\quad \text{ for}\quad x= 0.
$$
Sufficient conditions for the existence of a periodic solution of this system are obtained.

Keywords: systems of differential equations with impulse effect, Lienard system, limit cycle

Received December 8, 2020

Revised December 25, 2020

Accepted January 11, 2021

Alexander Olegovich Ignatyev, Dr. Phys.-Math. Sci., Prof., Institute of Applied Mathematics and Mechanics, Donetsk, 83114 Ukraine, e-mail: aoignat@mail.ru

Cite this article as: A.O. Ignatyev. On the existence of a periodic solution of the Li$\acute{\mathrm{e}}$nard system with impulse effect, Trudy Instituta Matematiki i Mekhaniki UrO RAN, 2021, vol. 27, no. 1, pp. 79–87.

[References -> on the "English" button bottom right]