В.И. Зенков. О пересечениях нильпотентных подгрупп в конечных группах с цоколем $L_3(q)$ или $U_3(q)$ ... С. 70-78

УДК 512.542

MSC: 20D06, 20D15, 20D20, 20D30

DOI: 10.21538/0134-4889-2021-27-1-70-78

Полный текст статьи (Full text)

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ, проект 20-01-00456, и проекта повышения конкурентоспособности ведущих университетов России (соглашение 02.А03.210006 от 27.08.2013).

Ранее автором были описаны с точностью до сопряжения все пары $(A,B)$ нильпотентных подгрупп $A$ и $B$ в конечной группе $G$ с цоколем $L_2(q)$, для которых $A\cap B^g\ne 1$ для любого элемента $g$ из $G$.  Аналогичное описание было позднее получено автором для примарных подгрупп $A$ и $B$ в конечной группе $G$ с цоколем $L_n(2^m)$. В этой работе дается описание с точностью до сопряжения всех пар $(A,B)$ нильпотентных подгрупп $A$ и $B$ конечной группы $G$ с цоколем $L_3(q)$ или $U_3(q)$, для которых $A\cap B^g\ne 1$ для любого элемента $g$ из $G$. Полученные результаты подтверждают в рассмотренных случаях гипотезу о том, что в конечной простой неабелевой группе $G$ для любой ее нильпотентной подгруппы $N$ найдется такой элемент $g$, что $N\cap N^g=1$ (задача 15.40 из "Коуровской тетради").

Ключевые слова: конечная группа, нильпотентная подгруппа, пересечение подгрупп, подгруппа Фиттинга

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1.   Isaacs I.M. Finite group theory. Providence, RI: AMS, 2008. 350 p.

2.   Зенков В.И. О пересечении абелевой и нильпотентной подгрупп в конечной группе. II // Мат. заметки. 2019. Т. 105, № 3. С. 383–394.

3.   Мазуров В.Д., Зенков В.И. О пересечении силовских подгрупп в конечных группах // Алгебра и логика. 1996. Т. 35, № 4. С. 424–432.

4.   Зенков В.И. Пересечения нильпотентных подгрупп в конечных группах // Фунд. и прикл. математика. 1994. Т. 56. С. 1–91.

5.   Unsolved problems in group theory. The Kourovka notebook [e-resource]. No. 19. Novosibirsk. 2018. 250 p. URL: math.nsc.ru/~alglog/19tkt.pdf 

6.   Курмазов Р.К. О пересечении сопряженных нильпотентных подгрупп в группах подстановок // Сиб. мат. журн. 1913. Т. 54, № 1. С. 98–104.

7.   Зенков В.И. О пересечениях двух нильпотентных подгрупп в конечных группах с цоколем $L_2(q)$ // Сиб. мат. журн. 2016. Т. 57, № 6. С. 1280–1290.

8.   Зенков В.И. О пересечениях примарных подгрупп в неразрешимых конечных группах с цоколем, изоморфным $L_n(2^m) // Сиб. мат. журн. 2018. Т. 59, № 2. С. 337–344.

9.   Горенстейн Д. Конечные простые группы. Введение в их классификацию. М.: Мир, 1985. 352 с.

10.   Atlas of finite group / Conway J. H. [et. al.] Oxford: Clarendon Press, 1985. 252 p.

11.   Gorenstein D., Lyons R. The local structure of finite groups of characteristic 2 type // Mem. Amer. Math. Soc. 1983. Vol. 42. P. 1–731.

12.   Зенков В.И. О пересечении двух нильпотентных подгрупп в небольших конечных группах // Сиб. электрон. мат. изв. 2016. Т. 13. С. 1099–1115.

13.   Gorenstein D., Lyons R., Solomon R. The classification of the finite simple groups, Number 3. Providence, RI: AMS, 1998. 420 p.

14.   Aschbacher M., Seitz G. Involutions in Chevalley groups over fields of even order // Nagoya Math. J. 1974. Vol. 60. P. 1–91.

15.   Yong Yang. Regular orbits of nilpotent subgroups of solvable linear groups // J. Algebra. 2011. Vol. 325, no. 1. P. 56–69.

16.   Aschbacher M. Overgroups of Sylow subgroups in sporadic groups // Mem. Amer. Math. Soc. 1986. Vol. 60, no. 343. P. 1–235. 10.1090/memo/0343

17.   Гаген Т. К теории конечных групп. Некоторые вопросы теории конечных групп. М.: Мир, 1979. С. 13–96.

Поступила 22.09.2020

После доработки 20.12.2020

Принята к публикации 11.01.2021

Зенков Виктор Иванович
д-р физ.-мат. наук, ведущий науч. сотрудник
Институт математики и механики им. Н.Н.Красовского УрО РАН
профессор
Уральский федеральный университет
e-mail: v1i9z52@mail.ru

Ссылка на статью: В.И. Зенков. О пересечениях нильпотентных подгрупп в конечных группах с цоколем $L_3(q)$ или $U_3(q)$ // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2021. Т. 27, № 1. С. 70-78.

English

V.I. Zenkov. On the intersections of nilpotent subgroups in finite groups with socle $L_3(q)$ or $U_3(q)$

Earlier, the author described up to conjugation all pairs $(A,B)$ of nilpotent subgroups $A$ and $B$ in a finite group $G$ with socle $L_2(q)$ for which $A\cap B^g\ne 1$ for any element $g$ of $G$. A similar description was obtained later by the author for primary subgroups $A$ and $B$ of a finite group $G$ with socle $L_n(2^m)$. In this paper, we describe up to conjugation all pairs $(A,B)$ of nilpotent subgroups $A$ and $B$ of a finite group $G$ with socle $L_3(q)$ or $U_3(q)$ for which $A\cap B^g\ne 1$ for any element $g$ of $G$. The obtained results confirm in the considered cases the hypothesis that for a finite simple non-Abelian group $G$ and its nilpotent subgroup $N$ there is an element $g\in G$ such that $N\cap N^g=1$ (Problem 15.40 from "The Kourovka Notebook").

Keywords: finite group, nilpotent subgroup, intersection of subgroups, Fitting subgroup

Received September 22, 2020

Revised December 20, 2020

Accepted January 11, 2021

Funding Agency: This work was supported by the Russian Foundation for Basic Research (project no. 20-01-00456) and by the Russian Academic Excellence Project (agreement no. 02.A03.21.0006 of August 27, 2013,  between the Ministry of Education and Science of the Russian Federation and Ural Federal University).

Victor Ivanovich Zenkov, Dr. Phys.-Math. Sci., Krasovskii Institute of Mathematics and Mechanics Ural Branch of the Russian Academy of Sciences, Yekaterinburg, 620108 Russia; Ural Federal University, 620000 Russia, e-mail: v1i9z52@mail.ru

Cite this article as: V.I. Zenkov. On the intersections of nilpotent subgroups in finite groups with socle $L_3(q)$ or $U_3(q)$, Trudy Instituta Matematiki i Mekhaniki UrO RAN, 2021, vol. 27, no. 1, pp. 70–78.

[References -> on the "English" button bottom right]