В.А. Белоногов. Конечные группы с четырьмя классами сопряженных максимальных подгрупп. III ... С. 5-18

УДК 512.54

MSC: 20D05, 20E28

DOI: 10.21538/0134-4889-2021-27-1-5-18

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект 20-01-00456).

Полный текст статьи (Full text)

Продолжается изучение конечных групп, имеющих точно четыре класса сопряженных максимальных подгрупп. Группы с этим свойством названы $4M$-группами. В первой части были описаны простые $4M$-группы и непростые неразрешимые $4M$-группы без нормальных подгрупп простого индекса (т.е. $4M$-группы, совпадающие со своим коммутантом). Во второй части начато исследование конечных неразрешимых $4M$-групп, имеющих нормальную максимальную подгруппу. При этом используются ранние результаты Г. Паздерского о строении конечных групп, имеющих точно два класса сопряженных максимальных подгрупп, и результаты автора о строении конечных групп, которые имеют точно три класса сопряженных максимальных подгрупп. Результаты первых двух частей напоминаются во введении в теоремах 1–3. В настоящей третьей части работы (см. теорему 4) получено полное описание конечных непростых почти простых $4M$-групп. Доказательства полученных результатов основываются на работах многих авторов, изучавших строение максимальных подгрупп различных классов конечных простых и почти простых групп.

Ключевые слова: конечная группа, почти простая группа, максимальная подгруппа, $4M$-группа

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1.   Белоногов В.А. Конечные группы с четырьмя классами максимальных подгрупп. I // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2017. Т. 23, № 4. С. 52–62. doi: 10.21538/0134-4889-2017-23-4-52-62 

2.   Белоногов В.А. Конечные группы с четырьмя классами максимальных подгрупп. II // Сиб. электрон. мат. изв. 2018. Т. 15. С. 86–91. doi: 10.17377/semi.2018.15.010 .

3.   Белоногов В.А. Конечные группы с четырьмя классами максимальных подгрупп // Теория групп и ее приложения: материалы XII шк.-конф. по теории групп, посвящен. 65-летию А. А. Махнева / Кубанский гос. ун-т. Краснодар, 2018. С. 7–13.

4.   Pazderski G. $\ddot{\mathrm{U}}$ber maximal Untergruppen endlicher Gruppen // Math. Nachr. 1964. Vol. 26, no. 6. P. 307–319.

5.   Белоногов В.А. Конечные группы с тремя классами максимальных подгрупп // Мат. сб. 1986. Т. 131, № 2. С. 225–239.

6.   Belonogov V.A. On finite almost simple groups with exactly four conjugate classes of maximal subgroups // Тез. Междунар. конф. “Мальцевские чтения” (Malcev Meeting). 2019. С. 142.

7.   Conway J.H., Curtis R.T., Norten S.P., Parker R.A., Wilson R.A. Atlas of finite groups. Oxford: Clarendon Press, 1985. 252 p.

8.   Gorenstein D. Finite groups. N Y: Harper & Row, 1968. 642 p.

9.   Gorenstein D., Lyons R., Solomon R. The classification of the finite simple groups. Providence: AMS, 1994. 165 p. (Math. Surveys and Monographs; vol. 40, no 1).

10.   Wilson R.A. The finite simple groups. London: Springer, 2009. 313 p.

11.   Liebeck M.W., Praeger C.E., Saxl J. The classification of the maximal subgroups of the finite alternating and symmetric groups // J. Algebra. 1987. Vol. 111, no. 2. P. 365–383.

12.   Bray J.N., Holt D.F., Roney-Dougal C.M. The maximal subgroups of the low-dimensional finite classical groups. Cambridge: Cambridge Univ. Press, 2013. 438 p. (London Math. Soc. Lecture Note; vol. 407).

13.   Huppert B. Endliche Gruppen. I. Berlin: Springer, 1967. 793 S. doi: 10.1007/978-3-642-64981-3

14.   Dickson L.E. Linear groups with an exposition of the Galois field theory // Teubner, Leipzig, 1901 (Dover reprint 1958). doi: 10.5962/bhl.title.22174 

15.   King O. The subgroup structure of finite classical groups in terms of geometric configurations // Surveys in Combinatorics / ed. B.S. Webb. (British Combinatorial Conf. — BC, 2005). Cambridge: Cambridge Univ. Press, 2005. P. 29–56. (London Math. Soc. Lecture Note Ser.; vol. 327.) doi: 10.1017/CBO9780511734885.003 

16.   Giudici M. The maximal subgroups of almost simple groups with socle PSL(2,q) [e-resource]. Available on: arXiv:math/0703685v1 [math. GR] 23 Mar 2007. P. 1–11.

17.   Kleidman P., Liebeck M. The subgroup structure of the finite classical groups. Cambridge: Cambridge Univ. Press, 1990. 304 p. ( London Math. Soc. Lecture Note Ser.; vol. 129).

18.   Carter R.W. Simple groups of Lie type. London: John Willey and Sons, 1972. 331 p.

19.   Liebeck M.W., Saxl J., Seitz G.M. Subgroups of maximal rank in finite exeptional groups of Lie type // Proc. London Math. Soc. (3). 1992. vol. 65, no. 2. doi: 10.1112/plms/s3-65.2.297 .

20.   Malle G. The maximal subgroups of $^2F_4(q^2)$ // J. Algebra. 1991. Vol. 139. P. 52–69.

Поступила 4.03.2020

После доработки 29.11.2020

Принята к публикации 11.01.2021

Белоногов Вячеслав Александрович
д-р физ.-мат. наук, профессор
ведущий науч. сотрудник
Институт математики и механики им. Н.Н. Красовского УрО РАН
г. Екатеринбург
e-mail: belonogov@imm.uran.ru

Ссылка на статью: В.А. Белоногов. Конечные группы с четырьмя классами сопряженных максимальных подгрупп. III //Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2021. Т.27, № 1. С. 5-18

English

V.A. Belonogov. Finite groups with four conjugacy classes of maximal subgroups. III

We continue the study of finite groups with exactly four conjugacy classes of maximal subgroups. Groups with this property are called $4M$-groups. In the first part of this series of papers, we described simple $4M$-groups and nonsimple nonsolvable $4M$-groups without normal subgroups of prime index. In the second part, we started the investigation of finite nonsolvable $4M$-groups with a normal maximal subgroup using G. Pazderski’s results on the structure of finite groups with exactly two conjugacy classes of maximal subgroups and the author’s results on the structure of finite groups with exactly three conjugacy classes of maximal subgroups. The results of parts I and II are recalled in the introduction in Theorems 1–3. In the present third part, a complete description of finite nonsimple almost simple $4M$-groups is given (see Theorem 4). The proofs of the results are based on the works of many authors who studied the structure of maximal subgroups of finite simple and almost simple groups from various classes.

Keywords: finite group, almost simple group, maximal subgroup, $4M$-group

Received March 4, 2020

Revised November 29, 2020

Accepted January 11, 2021

Funding Agency: This work was supported by the Russian Foundation for Basic Research ( project no. 20-01-00456).

Vyacheslav Aleksandrovich Belonogov, Dr. Phys.-Math. Sci., Prof., Krasovskii Institute of Mathematics and Mechanics of the Ural Branch of the Russian Academy of Sciences, Yekaterinburg, 620108 Russia, e-mail: belonogov@imm.uran.ru

Cite this article as: V.A. Belonogov. Finite groups with four conjugacy classes of maximal subgroups. III, Trudy Instituta Matematiki i Mekhaniki UrO RAN, 2021, vol. 27, no. 1, pp. 5–18.

[References -> on the "English" button bottom right]