Ю.С. Волков. Замечание о связи между второй разделенной разностью и второй производной ... С. 19-21

УДК 519.65

MSC: 41A15

DOI: 10.21538/0134-4889-2021-27-1-19-21

Полный текст статьи (Full text)

В недавней работе С.И. Новикова и В.Т. Шевалдина рассмотрена задача о связи между второй разделенной разностью и второй производной. Задача состоит в нахождении наименьшего значения второй производной (по равномерной норме) среди функций, интерполирующих последовательность значений на произвольных сетках, имеющих ограниченные вторые разделенные разности. В указанной работе найдены двусторонние оценки искомой величины. Мы отмечаем, что известна более точная оценка сверху, достигаемая, например, на равномерной сетке. Эту же оценку легко можно получить с помощью интерполяционных сплайнов по Субботину.

Ключевые слова: задача Фавара, интерполяция, разделенная разность, сплайны второй степени

Данная заметка дискуссионного характера печатается в специальном порядке по решению редколлегии журнала.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1.   Новиков С. И., Шевалдин В. Т. О связи между второй разделенной разностью и второй производной // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2020. Т. 26, № 2. С. 216–224.

2.   Субботин Ю. Н. О связи между конечными разностями и соответствующими производными // Тр. МИАН СССР. 1965. T. 78. С. 24–42.

3.   Schoenberg I.J. Cardinal interpolation and spline functions // J. Approx. Theory. 1969. Vol. 2, no. 2. P. 167–206.

4.   Favard J. Sur l’interpolation // J. Math. Pures Appl. 1940. Vol. 19, no. 3. P. 281–306.

5.   de Boor C. How small can one make the derivatives of an interpolating function? // J. Approx. Theory. 1975. Vol. 13, no. 2. P. 105–116.

6.   de Boor C. A smooth and local interpolant with “small” k-th derivative, Numerical solutions of boundary value problems for ordinary differential equations (Proc. Sympos., Univ. Maryland, Baltimore, Md., 1974). New York: Academic Press, 1975, pp. 177–197.

7.   Стечкин С. Б., Субботин Ю. Н. Сплайны в вычислительной математике. М.: Наука, 1976. 248 с.

8.   Канторович Л. В., Крылов В. И. Приближенные методы высшего анализа. Л.: Физматгиз, 1962. 708 с.

9.   de Boor C. On the (bi)infinite case of Shadrin’s theorem concerning the $L_\infty$-boundedness of the $L_2$-spline projector // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2011. Т. 17, № 3. С. 24–29.

10.   Волков Ю. С. Интерполяция сплайнами четной степени по Субботину и по Марсдену // Укр. мат. журн. 2014. Т. 66, № 7. C. 891–908.

Поступила 23.10.2020

После доработки 26.02.2021

Принята к публикации 1.03.2021

Волков Юрий Степанович
д-р физ.-мат. наук, доцент
главный науч. сотрудник
Институт математики им. С.Л. Соболева СО РАН, г. Новосибирск
e-mail: volkov@math.nsc.ru

Ссылка на статью: Ю.С. Волков. Замечание о связи между второй разделенной разностью и второй производной //Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2021. Т. 27, № 1. С. 19-21.

English

Yu.S. Volkov. A remark on the connection between the second divided difference and the second derivative

In the recent paper of S.I. Novikov and V.T. Shevaldin, the problem of the relationship between the second divided difference and the second derivative has been considered. The problem is to find the smallest value (in the uniform norm) of the second derivative among the functions interpolating a sequence of values with bounded second divided differences on arbitrary grids. In their paper, two-sided estimates for the required quantity have been found. We note that a more exact upper bound is known; it is attainable, for example, on a uniform grid. This bound can be easily obtained using Subbotin’s interpolation splines.

Keywords: Favard problem, interpolation, divided difference, quadratic splines

Received October 23, 2020

Revised February 26, 2021

Accepted March 1, 2021

Yuriy Stepanovich Volkov, Dr. Phys.-Math. Sci., Prof., Sobolev Institute of Mathematics of the Siberian Branch of the Russian Academy of Sciences, Novosibirsk, 630090 Russia, e-mail: volkov@math.nsc.ru

Cite this article as: Yu.S. Volkov.  A remark on the connection between the second divided difference and the second derivative, Trudy Instituta Matematiki i Mekhaniki URO RAN, 2021, vol. 27, no. 1, pp. 19–21.

[References -> on the "English" button bottom right]