УДК 517.927.4+938.5
MSC: 34A34, 34C25, 34A26
DOI: 10.21538/0134-4889-2021-27-1-157-172
Полный текст статьи (Full text)
В статье исследованы необходимые и достаточные условия существования периодических и ограниченных решений для одного класса трехмерных систем нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений. В рассматриваемых системах выделены главные нелинейные положительно однородные члены. В терминах свойств главных нелинейных членов сформулированы критерии существования периодических и ограниченных решений. Для периодической задачи доказано, что ранее известное достаточное условие существования периодических решений является и необходимым. В вопросе существования ограниченных решений доказано, что при гомотопии главных нелинейных членов сохраняется свойство существования ограниченных решений. На основе этого доказан новый критерий существования ограниченных решений с использованием методов качественной теории дифференциальных уравнений и нелинейного анализа, в том числе метода направляющих функций и топологического метода Важевского. Полученные результаты в дальнейшем можно обобщить для многомерных систем дифференциальных уравнений.
Ключевые слова: трехмерная система нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений, периодическое решение, ограниченное решение, метод направляющих функций, вращение векторного поля, отношение гомотопности, топологический метод Важевского
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Немыцкий В.В., Степанов В.В. Качественная теория дифференциальных уравнений. М.: ОГИЗ, 1947. 448 с.
2. Хартман Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Мир, 1970. 720 с.
3. Красовский Н.Н. Некоторые задачи теории устойчивости движения. М.: Физматлит, 1959. 211 с.
4. Красносельский М.А. Оператор сдвига по траекториям дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1966. 331 с.
5. Красносельский М.А., Забрейко П.П. Геометрические методы нелинейного анализа. М.: Наука, 1975. 512 с.
6. Мухамадиев Э. О построении правильной направляющей функции для системы дифференциальных уравнений // Докл. АН СССР. 1970. Т. 190, № 4. C. 777–779.
7. Мухамадиев Э. Ограниченные решения и гомотопические инварианты систем нелинейных дифференциальных уравнений // Докл. АН. 1996. Т. 351, № 5. C. 596–598.
8. Мухамадиев Э. Число Морса направляющих функций и рекуррентные движения динамических систем // Известия РАЕН. Сер. Серия Математика. Мат. моделирование. Информатика и управление. 2000. Т. 4, № 4. C. 37–66.
9. Перов А. И., Каверина В. К. Применение идей метода направляющих функций при исследовании неавтономной системы обыкновенных дифференциальных уравнений // Вестн. Тамбов. ун-та. Сер. Естест. и техн. науки. 2018. Т. 23, № 123. C. 510-516.
doi: 10.20310/1810-0198-2018-23-123-510-516
10. Перов А. И., Каверина В. К. Об одной задаче Владимира Ивановича Зубова // Дифференц. уравнения. 2019. Т. 55, № 2. C. 269-272. doi: 10.1134/S0374064119020146
11. Obukhovskii V., Kornev S., van Loi N., Zecca P. Method of guiding functions in problems of nonlinear analysis. 2013. 173 p. (Lecture Notes in Math.; vol. 2076). doi: 10.1007/978-3-642-37070-0
12. Голузин Г. М. Геометрическая теория функций комплексного переменного. М.: Наука, 1966. 630 с.
Поступила 15.01.2021
После доработки 8.02.2021
Принята к публикации 15.02.2021
Мухамадиев Эргашбой
д-р физ.-мат. наук, профессор
профессор кафедры математики и информатики
Вологодского государственного университета
г. Вологда
e-mail: emuhamadiev@rambler.ru
Наимов Алижон Набиджанович
д-р физ.-мат. наук, профессор
профессор кафедры математики и информатики
Вологодского государственного университета
г. Вологда
e-mail: naimovan@vogu35.ru
Ссылка на статью: Э. Мухамадиев, А.Н. Наимов. Критерии существования периодических и ограниченных решений для трехмерных систем дифференциальных уравнений // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2021.Т.27, № 1. C. 157-172.
English
E. Mukhamadiev, A.N. Naimov. Criteria for the existence of periodic and bounded solutions of three-dimensional systems of differential equations
We study necessary and sufficient conditions for the existence of periodic and bounded solutions for one class of three-dimensional systems of nonlinear ordinary differential equations. The main nonlinear positively homogeneous terms are distinguished in the systems under consideration. Criteria for the existence of periodic and bounded solutions are formulated in terms of the properties of main nonlinear terms. For the periodic problem, it is proved that the previously known sufficient condition for the existence of periodic solutions is also a necessary condition. In the question of the existence of bounded solutions, it is proved that under a homotopy of the main nonlinear terms, the property of the existence of bounded solutions is preserved. Based on this, a new criterion for the existence of bounded solutions is proved with the use of methods of the qualitative theory of differential equations and nonlinear analysis, including the method of guiding functions and the topological method of Vazhevsky. The obtained results can be further generalized for multidimensional systems of differential equations.
Keywords: three-dimensional system of nonlinear ordinary differential equations, periodic solution, bounded solution, method of guiding functions, rotation of a vector field, homotopy relation, Vazhevsky topological method
Received January 15, 2021
Revised February 8, 2021
Accepted February 15, 2021
Ergashboy Mukhamadiev, Dr. Phys.-Math. Sci., Prof., Vologda State University, Vologda, 160000 Russia, e-mail: emuhamadiev@rambler.ru
Alizhon Nabidjanovich Naimov, Dr. Phys.-Math. Sci., Prof., Vologda State University, Vologda, 160000 Russia, e-mail: naimovan@vogu35.ru
Cite this article as: E. Mukhamadiev, A.N. Naimov. Criteria for the existence of periodic and bounded solutions of three-dimensional systems of differential equations, Trudy Instituta Matematiki i Mekhaniki UrO RAN, 2021, vol. 27, no. 1, pp. 157–172.
[References -> on the "English" button bottom right]
