УДК 519.17
MSC: 05C25
DOI: 10.21538/0134-4889-2021-27-1-146-156
Полный текст статьи (Full text)
Исследование выполнено при финансовой поддержке гранта Российского фонда фундаментальных исследований — ГФЕН Китая в рамках проекта № 20-51-53013.
Если дистанционно регулярный граф $\Gamma$ диаметра 3 содержит максимальный локально регулярный 1-код, совершенный относительно последней окрестности, то $\Gamma$ имеет массив пересечений $\{a(p+1),cp,a+1;1,c,ap\}$ или $\{a(p+1),(a+1)p,c;1,c,ap\}$, где $a=a_3,c=c_2,p=p^3_{33}$ (А. Юришич и Я. Видали). В первом случае $\Gamma$ получаем собственное значение $\theta_2=-1$ и $\Gamma_3$ - псевдогеометрический граф для $GQ(p+1,a)$. Если $a=c+1$, то $\bar \Gamma_2$ есть псевдогеометрический граф для $pG_2(p+1,2a)$. Если в этом случае псевдогеометрический граф для обобщенного четырехугольника $GQ(p+1,a)$ обладает квазиклассическими параметрами, то $\Gamma$ имеет массив пересечений $\{q^2-1,q(q-2),q+2;1,q,(q+1)(q-2)\}$ (Махнев А.А., Нирова М.С.). В работе найдены возможные автоморфизмы графа с массивом пересечений $\{q^2-1,q(q-2),q+2;1,q,(q+1)(q-2)\}$.
Ключевые слова: дистанционно регулярный граф, обобщенный четырехугольник, автоморфизм графа
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Brouwer A.E., Cohen A.M., Neumaier A. Distance-regular graphs. Berlin; Heidelberg; N Y: Springer-Verlag, 1989. 495 p.
2. Jurisic A., Vidali J., Extremal 1-codes in distance-regular graphs of diameter 3 // Des. Codes Cryptogr. 2012. Vоl. 65. P. 29–47.
3. Нирова М.С. Коды в дистанционно регулярных графах с $\theta_2=-1$ // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2018. Т. 24, № 3. С. 155–163 . doi: 10.21538/0134-4889-2018-24-3-155-16
4. Махнев А.А., Нирова М.С. Дистанционно регулярные графы с массивами пересечений {15,8,4;1,2,12}, {27,16,4;1,2,24} и {195,168,14;1,12,182} не существуют // Теория групп и ее приложения: тез. докл. XIII шк.-конф. по теории групп. 2020. С. 70. URL: group.imm.uran.ru
5. Payne S.E., Thas J.A. Finite generalized quadrangles. Boston: Pitman, 1984. 312 p. (Ser. Research Notes in Math; vol. 110).
6. Гаврилюк А.Л., Махнев А.А. Об автоморфизмах дистанционно регулярных графов с массивом пересечений {56,45,1;1,9,56} // Докл. АН. 2010. Т. 432, № 5. C. 512–515.
7. Behbahani M., Lam C. Strongly regular graphs with nontrivial automorphisms // Discrete Math. 2011. Vol. 311, no. 2-3. P. 132–144.
Поступила 10.09.2020
После доработки 20.12.2020
Принята к публикации 11.01.2021
Махнев Александр Алексеевич
д-р физ.-мат. наук, чл.-корр. РАН
главный науч. сотрудник
Институт математики и механики им. Н.Н. Красовского УрО РАН;
Уральский федеральный университет
г. Екатеринбург
e-mail: makhnev@imm.uran.ru
Падучих Дмитрий Викторович
д-р физ.-мат. наук
главный науч. сотрудник, профессор РАН
Институт математики и механики им. Н.Н. Красовского УрО РАН
г. Екатеринбург
e-mail: dpaduchikh@gmail.com
Ссылка на статью: А.А. Махнев, Д.В. Падучих. О дистанционно регулярных графах с массивами пересечений $\{q^2-1,q(q-2),q+2;1,q,(q+1)(q-2)\}$ // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2021. Т. 27, № 1. С. 146-156.
English
A.A. Makhnev, D.V. Paduchikh. On distance-regular graphs with intersection arrays $\{q^2-1,q(q-2),q+2;1,q,(q+1)(q-2)\}$
If a distance-regular graph $\Gamma$ of diameter 3 contains a maximal locally regular 1-code that is last subconstituent perfect, then $\Gamma$ has intersection array $\{a(p+1),cp,a+1;1,c,ap\}$ or $\{a(p+1),(a+1)p,c;1,c,ap\}$, where $a=a_3$, $c=c_2$, and $p=p^3_{33}$ (Jurisic, Vidali). In the first case, $\Gamma$ has eigenvalue $\theta_2=-1$ and the graph $\Gamma_3$ is pseudogeometric for $GQ(p+1,a)$. If $a=c+1$, then the graph $\bar\Gamma_2$ is pseudogeometric for $pG_2(p+1,2a)$. If in this case the pseudogeometric graph for the generalized quadrangle $GQ(p+1,a)$ has quasi-classical parameters, then $\Gamma$ has intersection array $\{q^2-1,q(q-2),q+2;1,q,(q+1)(q-2)\}$ (Makhnev, Nirova). In this paper, we find possible automorphisms of a graph with intersection array $\{q^2-1,q(q-2),q+2;1,q,(q+1)(q-2)\}$.
Keywords: distance-regular graph, generalized quadrangle, graph automorphism
Received September 10, 2020
Revised December 20, 2020
Accepted January 11, 2021
Funding Agency: This work was supported by the Russian Foundation for Basic Research — the National Natural Science Foundation of China (project no. 20-51-53013).
Aleksandr Alekseevich Makhnev, Dr. Phys.-Math. Sci., RAS Corresponding Member, Prof., Krasovskii Institute of Mathematics and Mechanics of the Ural Branch of the Russian Academy of Sciences, Yekaterinburg, 620108 Russia; Ural Federal University, Yekaterinburg, 620083 Russia, e-mail: makhnev@imm.uran.ru
Dmitrii Viktorovich Paduchikh, Dr. Phys.-Math. Sci., Prof., Krasovskii Institute of Mathematics and Mechanics of the Ural Branch of the Russian Academy of Sciences, Yekaterinburg, 620108 Russia, e-mail: dpaduchikh@gmail.com
Cite this article as: A.A. Makhnev, D.V. Paduchikh. On distance-regular graphs with intersection arrays $\{q^2-1,q(q-2),q+2;1,q,(q+1)(q-2)\}$, Trudy Instituta Matematiki i Mekhaniki UrO RAN, 2021, vol. 27, no. 1, pp. 146–156.
[References -> on the "English" button bottom right]
