УДК 512.542, 512.547
MSC: 20C33, 20B15, 20C20, 20D06
DOI: 10.21538/0134-4889-2021-27-1-103-109
Полный текст статьи (Full text)
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект 20-01-00456).
Пусть $G$ - группа, $K$ - алгебраически замкнутое поле и $V_1$, $V_2$ - $KG$-модули. В работе рассматривается вопрос: при каких ограничениях на $G, K, V_1, V_2$ выполняется изоморфизм $V_1 \otimes V_2 \cong V_1 \otimes I$, где $I$ - тривиальный $KG$-модуль (размерности $\dim(V_2)$)? Ранее при рассмотрении одной проблемы П. Камерона о конечных примитивных группах подстановок автором были получены и использованы некоторые результаты по этому вопросу. Настоящая работа продолжает исследование вопроса. Получены следующие результаты:
1. Пусть $G$ - неединичная связная редуктивная алгебраическая группа над $K$ и $V_1, V_2$ - точные полупростые $KG$-модули. Тогда $V_1 \otimes V_2 \ncong V_1 \otimes I$.
2. Пусть $G$ - неединичная конечная группа, $\mathrm{char}(K) = 0$, $V_1$ - $KG$-модуль, $V_2$ - точный $KG$-модуль. Тогда $V_1 \otimes V_2 \cong V_1 \otimes I$ в том и только том случае, когда $V_1$ - прямая сумма $\frac{\dim(V_1)}{|G|}$ регулярных $KG$-модулей.
Кроме того, в работе рассматривается вопрос о возможности того, чтобы $V_1 \otimes V_2 \cong V_1 \otimes I$ в случае, когда $G=SL_2(p^n)$, $V_1$ и $V_2$ - простые $KG$-модули и $\mathrm{char}(K) = p$.
Ключевые слова: конечная группа, алгебраическая группа, представление группы, тензорное произведение модулей
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Cameron P.J. Suborbits in transitive permutation groups // Combinatorics: Proc. NATO Advanced Study Inst. (Breukelen, 1974). Part 3: Combinatorial Group Theory. Amsterdam: Math. Centrum, 1974. P. 98–129. (Math. Centre Tracts; vol. 57).
2. Curtis Ch.W., Reiner I. Representation theory of finite groups and associative algebras N Y; London: Interscience Publishers, 1962. 689 p.
3. Doty S., Henke A. Decomposition of tensor products of modular irreducibles for $SL_2$ // Q. J. Math. 2005. Vol. 56, no. 2. P. 189–207. doi: 10.1093/qmath/hah027
4. Fulton W., Harris J. Representation theory: A first course. N Y: Springer, 2004. 551 p. (Graduate Texts in Mathematics, Readings in Mathematics, 129).
5. Jantzen J.C. Representations of algebraic groups Providence: American Mathematical Society, 2003. 576 p. (Mathematical Surveys and Monographs; vol. 107). ISBN: 978-0-8218-4377-2 .
6. Humphreys J.E. Introduction to Lie algebras and representation theory. N Y: Springer, 2000. 173 p.
7. Humphreys J.E. Modular representations of finite groups of Lie type Cambridge: Cambridge Univ. Press, 2011. 206 p. doi: 10.1017/CBO9780511525940
8. Liebeck M.W., Nikolov N., Shalev A. Groups of Lie type as products of $SL_2$ subgroups // J. Algebra. 2011. Vol. 326, no. 1. P. 201–207. doi: 10.1016/j.jalgebra.2008.12.030
9. Malle G., Testerman D. Linear algebraic groups and finite groups of Lie type Cambridge: Cambridge Univ. Press, 2011. 309 p. doi: 10.1017/CBO9780511994777
Поступила 22.11.2020
После доработки 30.12.2020
Принята к публикации 11.01.2021
Коныгин Антон Владимирович
канд. физ.-мат. наук, науч. сотрудник
Институт математики и механики им. Н.Н. Красовского УрО РАН
г. Екатеринбург
e-mail: konygin@imm.uran.ru
Ссылка на статью: А.В. Коныгин. Об одном вопросе, касающемся структуры тензорного произведения модулей // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2021. Т. 27, № 1. С. 103-109.
English
A.V. Konygin. On а question concerning the tensor product of modules
Assume that $G$ is a group, $K$ is an algebraically closed field, and $V_1$ and $V_2$ are $KG$-modules. The following question is considered: under what constraints on $G$, $K$, $V_1$, and $V_2$ does $V_1 \otimes V_2 \cong V_1 \otimes I$ hold, where $I$ is the trivial $KG$-module (of dimension $\dim(V_2)$)? Earlier, when considering a problem of P. Cameron on finite primitive permutation groups, the author obtained and used some results on this question.This work continues the study of the question. The following results were obtained.
1. Assume that $G$ is a nontrivial connected reductive algebraic group, and $V_1$ and $V_2$ are faithful semisimple $KG$-modules. Then $V_1 \otimes V_2 \ncong V_1 \otimes I$.
2. Assume that $G$ is a nontrivial finite group, $\mathrm{char} (K) = 0$, $V_1$ is a $KG$-module, and $V_2$ is a faithful $KG$-module. Then $V_1 \otimes V_2 \cong V_1 \otimes I $ if and only if $V_1$ is the direct sum of $\frac {\dim (V_1)} {|G|}$ regular $KG$-modules.
In addition, we consider the question of the possibility that $V_1 \otimes V_2 \cong V_1 \otimes I$ in the case where $G = SL_2(p^n)$, $V_1$ and $V_2$ are simple $KG$-modules, and $\mathrm{char}(K) = p$.
Keywords: finite group, algebraic group, group representation, tensor product of modules
Received November 22, 2020
Revised December 30, 2020
Accepted January 11, 2021
Funding Agency: This work was supported by the Russian Foundation for Basic Research (project no. 20-01-00456).
Anton Vladimirovich Konygin, Cand. Sci. (Phys.-Math.), Krasovskii Institute of Mathematics and Mechanics of the Ural Branch of the Russian Academy of Sciences, Yekaterinburg, 620108 Russia e-mail: konygin@imm.uran.ru
Cite this article as: A.V. Konygin. On a question concerning the tensor product of modules, Trudy Instituta Matematiki i Mekhaniki UrO RAN, 2021, vol. 27, no. 1, pp. 103–109.
[References -> on the "English" button bottom right]
